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. Aufgabe. Lösungsvorschlag von --Jugu5797 (Diskussion) 20:57, 19. Nov. 2014 (CET)

Um sich zunächst einen Überblick zu verschaffen zeichnen wir eine Skizze:

SKIZZE10

Aus den Informationen im Text zuvor haben wir gezogen, dass das Stadion 340m breit ist, woraus wir Nullstellen bei -170 und +170 ziehen. Aus der Maximalhöhe des Stadions, ziehen wir den Scheitelpunkt der Funktion.

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Wir setzten in die erste gegebene Formel die Informationen der Nullstellen ein:

p(x)= a \cdot (x-x_1) \cdot (x + x_1)

\Rightarrow a \cdot (x-170) \cdot (x+170)=p(x)

Wir wissen, das p(0) gleich der Schnitt mit der y-Achse bei 103 sein muss, dass heißt wir fügen die Information mit dem Scheitelpunkt ein:

p(0)=103=a \cdot (-170) \cdot (170)

\Rightarrow a=-0,00356 

p(x)= -0,00356 \cdot (x^2-170^2)

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Zur Erinnerung, so sieht die Cosinuskurve aus:

cosinus

Sie hat sie hat keine Nullstellen,sonder f(0)=1 und an der x-Achse (die Ersten in der Nähe von 0) jeweils bei \frac{\pi}{2}.

Zur Erinnerung: Unsere gesuchte Funktion benötig die Nullstellen bei 170 und -170 sowie bei der Stelle 103 einen Scheitelpunkt.

Deswegen dienen A und T als streckende Faktoren.

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c(x)= A \cdot cos(\frac{2\pi}{T}\cdot x)

A ist 103 da dort der Scheitelpunkt unserer Funktion ist.

Damit gilt \frac{2\pi}{T} \cdot 170 gleich \frac{\pi}{2}

T muss gleich 4 \cdot 170 sein. Dass heißt T ist 680

c(x)=103 \cdot cos(\frac{2\pi}{680}\cdot 170)

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. Aufgabe. Lösungsvorschlag von --Jugu5797 (Diskussion) 20:56, 19. Nov. 2014 (CET)

.Aufgabe

k(x)= C- \frac{1}{2\lambda} \cdot(e^{-\lambda \cdot x}+ e^{\lambda \cdot x})

Damit eine Funktion Achsensymmetrisch ist gilt das folgende:

k(-x)=k(x)

Also setzen wir -x in die obrige Gleichung ein:

k(-x)= - \frac{1}{2\lambda} \cdot(e^{-\lambda \cdot x}+ e^{\lambda \cdot x}) = k(x)

\rightarrow Die Funktion ist achsen-symmetrisch.

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.Aufgabe

k'(x)= - \frac{1}{2} \cdot (e^{-\lambda \cdot x} - e^{\lambda \cdot x})

Nachdem wir für die Funktion zunächst die Ableitung bestimmt haben, setzten wir diese mit 0 gleich um die Extremstellen zu bestimmen:

- \frac{1}{2} \cdot (e^{-\lambda \cdot x} - e^{\lambda \cdot x})=0

1= \frac {e^{\lambda \cdot x}}{ e^{-\lambda \cdot x}}

\rightarrow e^{2\lambda x} = 0

\rightarrow x = 0

Damit die letzte Gleichung gilt, muss x gleich 0 sein.

Nachdem wir den herausgekommenen Wert 0 in k(x) eingesetzt haben, kamen wir auf das Ergebnis:


HP(0|C-\frac{1}{\lambda})

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. Aufgabe. Lösungsvorschlag von --Jugu5797 (Diskussion) 20:56, 19. Nov. 2014 (CET)

.Aufgabe

(1) Die Bogenlänge zwischen den Punkten P und Q auf dem Graphen k ist dasselbe wie die Differenz des Bogens zwischen a und x_0 + \Delta x sowie a und x_0.

(2) Die Länge der Sekante zwischen den Punkten P und Q ist kleiner als die Länge des Bogens. Die Länge der Sekante ist nach Pythagoras gegeben aus der Wurzel aus der Summe der Quadrate der Katheten \Delta x und \Delta y.

(3) Man dividiert nun die Ungleichung durch \Delta x und bringt aus der linken Seite das \Delta x als Quadrat unter die Wurzel.

Im Allgemeinen wurde dort die Formel für die Länge eines Kurvenstücks gezeigt. Dies zeigte Vincent bereits als Referat, welches hier einzusehen ist:

.Aufgabe

Damit man hier herausfinden kann, ob linker und rechter Term identisch sind, muss man von beiden Termen die Ableitung bilden.

Linker Term:

Das Integral wird abgeleiten, so entspricht der Term der Form welche im Integral steht. Dieser muss weitmöglichst vereinfacht werden: 
\sqrt{1+ (k'(x))^2}=\sqrt{1+(-\frac{1}{2}\cdot (e^{\lambda\cdot x}-e^{-\lambda\dot x}))^2}= \sqrt{1 + (\frac{1}{4}\cdot(e^{2\lambda x}-2 + e^{-2\lambda x}))}= \sqrt{\frac{2+e^{2\lambda x}+e^{-2\lambda x}}{4}}= \frac{e^{\lambda x}+e^{-\lambda x}}{2}

Rechter Term:


[\frac{1}{2 \cdot \lambda} \cdot (e^{\lambda \cdot x}-e^{-\lambda \dot x})]'=\frac{1}{2 \cdot \lambda} \cdot (e^{\lambda \dot  x}\cdot \lambda + \lambda \cdot e^{-\lambda \cdot  x}) = \frac{1}{2} \cdot (e^{\lambda \cdot x}+ e^{-\lambda \dot x})

</math>Dadurch das wir beide Terme abgeleitet haben, können wir zeigen:

f'(x)=g'(x)

\rightarrow f(x)= g(x) +C

Man kann sagen das beide dem gleichen Term entsprechen. C ist kein Problem auf Grund der Stammfunktion.

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.Aufgabe

Nun müssen wir das Integral bestimmen.

Wir erinnern uns an unsere Anfangs-Skizze: Der Schnitt mit der y-Achse ist bei x=0 und der Schnitt mit der x-Achse ist bei 170 bzw. -170.

Da die Bahn vom Boden bis zum höchsten Punkt gehen soll, berechnen wir das Integral vom Scheitelpunkt bei x=0 bis zur Nullstelle bei x=170.

\int_{0}^{170}\sqrt{1+(k'(x))^2} dx= [\frac{1}{2 \lambda}\cdot(e^{\lambda x}-e^{-\lambda x})]_{0}^{170} \approx 206,22 -0=206,22

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