Protokolle vom Oktober 2013

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Schülerbeitrag
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Inhaltsverzeichnis

Protokoll vom 4.10.2013 / Thema: Beweis des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung

Protokoll von--Vincent97 19:08, 4. Okt. 2013 (CEST) (Schuljahr 2013 / 14)
Lehrer C.-J. Schmitt (3 Unterrichtsstunden)


Besprechung der Kursarbeit

  1. Bevor man rechnet, sollte man sich einen Lösungsweg überlegen.
  2. Form: Rand lassen, dünner Bleistift und Parabelschablone verwenden
  3. Pünktlich abgeben



Besprechung der Hausaufgabe

Übungsblatt 1 Nr. 3e

\int_{1}^{2} \left( \frac{3^3-8}{4x^2}\right)  \,dx-\frac{1}{2}\cdot  \int_{1}^{2} \left( \frac{2}{x^2}-\frac{3x}{4}  \right)  \,dx =\frac{3}{16}

Übungsblatt 4 Nr.4:

Richtige Lösung

Übungsblatt0403.jpg

f(x)=ax^4+bx^2+c\Rightarrow ungerade Exponenten fallen weg, da die Fkt. symmetrisch ist

f(0)=-6

c=-6

f'(x)=4ax^3+2bx

f(10)=10000a+100b-6=0

f'(10)=4000a+20b=0\| \cdot (-5)

f'(10)=-20000a-100b=0

Wir nehmen das Additionsverfahren und bestimmen dadurch die Parameter.

\ 10000a+100b=6 \wedge -20000a-100b=0

\Leftrightarrow

\ -10000a=6 \wedge -20000a-100b=0

\Leftrightarrow

\ a=-0,0006 \wedge 10000a+100b=6

\Leftrightarrow

\ a=-0,0006 \wedge 10000\cdot(-0,0006)+100b=6

\Leftrightarrow

\ a=-0,0006 \wedge -6+100b=6

\Leftrightarrow

\ a=-0,0006 \wedge 100b=12

\Leftrightarrow

\ a=-0,0006 \wedge b=0,12

f(x) =-0,0006x^4+0,12x^2-6

2\cdot \int_{0}^{10} (-0,0006x^4+0,12x^2-6)\,dx =2\cdot\left[ -\frac{3}{25000}x^5+\frac{1}{25}x^3-6x\right] ^{10}_{0} = 2(-12+40-60)=-64

A=\left| -64 m^2\right|

A_{Brunnen}=\pi r^2=1\cdot \pi=\pi m^2

A=64m^2-\pi m^2\approx 60,86m^2


Andere Lösungsvorschläge

Wir nehmen eine Parabel als Kurve:

f(x)=ax^2-6

f(10)=0=100a-6

a=0,06

f'(x)=2ax

f'(10)=20a=0

a\neq0,06

Da a unterschiedlich ist, ist es ein Widerspruch.

Der Kosinus wird als Kurve genommen:

-cos2.jpg

f(x)=-a\cos(\frac{x}{10} \cdot \frac{\pi}{2})

f(x)=-6\cos(\frac{\pi}{20} \cdot x)

f(10)=0=-6\cos(\frac{\pi}{20} \cdot x)

f'(x)=6\sin(x)

f'(10)=6\sin(10)\neq 0



Beweis des Haupsatzes der Differenzial- und Integralrechnung

Grundbegriffe, die wir dafür brauchen.

1. Stetigkeit: Eine Funktion ist vollständig definiert und hat keine Lücken.

\lim_{x\to x_0} f(x) =f(x_0) 


2. Differenzierbarkeit einer Funktion

\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

Das ist der Differenzenquotient.

f'(x_0)=\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

Wenn man den Grenzwert noch in die Funktion mit einbezieht, ergibt sich daraus der Differenzialquotient.

Als nächstes Substituieren wir x=x_0+h:

f'(x_0)=\lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

3. Integralfunktion:

I_a(x)=\int_{a}^{x} f (t)\,dt




Voraussetzung: f auf [a;b] stetig

Behauptung:

  1. Es existiert eine differenzierbare Funktion F.
  2. F'(x)=f(x)

Beweis: F(x)=\int_{a}^{x} f (t)\,dt

F(x_0+h)-F(x_0)=\int_{a}^{x_0+h} f (t)\,dt-\int_{a}^{x_0} f (t)\,dt



1.Fall: f sei streng monoton wachsend

Mon steigend neu.jpg

h\cdot min\le F(x_0+h)-F(x_0)\le h\cdot max

min=f(x_0)

max=f(x_0+h)

f(x_0)\le F(x_0+h)-F(x_0)\le f(x_0+h)

Diese Ungleichung stellt den Differenzquotienten dar.

\lim_{h\to0} \frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h} =F'(x_0)=f(x_0)

Im 1.Fall ist die Differenzierbarkeit bewiesen, da der Grenzwert aus beiden Richtungen f(x_0) gibt.

F'(x_0)=\lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

F'(x)=f(x)



2.Fall: f sei streng monoton fallend

Mon fallend.jpg

h\cdot min\le F(x_0+h)-F(x_0)\le h\cdot max

min=f(x_0+h)

max=f(x_0)

Man macht den gleichen Beweis, wie beim 1.Fall. Damit ist auch die Differenzierbarkeit bei fallenden Funktionen bewiesen.



3.Fall: f ist nicht monoton

Sin neu1.jpg

h\cdot min\le F(x_0+h)-F(x_0)\le h\cdot max

min=f(y)

max=f(z)

\lim_{h\to0} =f(y)=f(x_0)

\lim_{h\to0} =f(z)=f(x_0)

Man verfährt wieder wie beim Beweis des 1.Falls und damit ist die Differenzierbarkeit auch bei nicht monotonen Funktionen gültig.



Hausaufgaben für den 09.10.

Übungsblatt 4 Nr.3,4; Klausur korrigieren und Beweis nacharbeiten



Protokoll vom 9.10.2013 / Thema:Wiederholung und Abschluss des Beweises des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung. Gegenüberstellung Flächenberechnung und orientierter Integral

Protokoll von--Marius95 19:08, 4. Okt. 2013 (CEST) (Schuljahr 2013 / 14)
Lehrer C.-J. Schmitt (2 Unterrichtsstunden)


Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung

F'(x)=f(x) \Rightarrow \int_{a}^{b} f (t)\,dx =F(b)-F(a)

Wir haben bislang gezeigt:

F'(x)=f(x)

Vor:

  1. f ist stetig


Dann gilt (Beh.): ex. F

F differenzierbar und F'(x)=f(x)

Bew: Sei F(x)=\int_{a}^{x} f (t)\,dt


Beweis, dass sich zwei Stammfunktionen nur durch die Zahl C \left( C\in \mathbb{R} \right) unterscheiden

Bedingung: G sei eine beliebige Stammfunktion von f

 G'(x)=f(x)

G(x)=F(x)+C \Rightarrow   F(x)=G(x)-C

Dann gilt:

\int_{a}^{b} f (t)\,dt=F(b)-F(a)=G(b)-c-(G(a)-c)=G(b)-G(a) q.e.d.


Besprechung der Hausaufgabe: Übungsblatt 4 Nr.3

Marius95 A1 2 2.jpg

Zuerst lässt sich die Fläche A1 berechnen, die von beiden Funktionen eingeschlossen ist:

A1=\int_{1}^{3}( f (x)-g(x))\,dx = \int_{1}^{3} (2x^{2}-8x+6) \,dx=\left[  \frac{2}{3}x^{3}-4x^{2}+6x\right]^{3}_{1}=0-\frac{8}{3}\approx      2,67

Danach erschließen sich 2 Lösungswege

  1. Man verschiebt beide Graphen um -1 auf der y-Achse und berechnet A2.
  2. Man integriert einfach von 0 bis 1 und berechnet so A2.

1.) Marius95 A2 1 2.jpg

\int_{0}^{1} f (x)\,dx=\int_{0}^{1} (x^2-4x+3)\,dx=\left[   \frac{1}{3}x^{3}-2x^{2}+3x\right]^{1}_{0}=\frac{1}{3}-2+3=\frac{4}{3}

\int_{0}^{1} f (x)\,dx=\int_{0}^{1} (-x^2+4x-3)\,dx=\left[  -\frac{1}{3}x^{3}+2x^{2}-3x\right]^{1}_{0}=-\frac{1}{3}+2-3=-\frac{4}{3}

A2=\frac{3}{4}+|-\frac{4}{3}|=\frac{8}{3}=\int_{0}^{1} (f(x)-g(x))\,dx


2.) Marius95 Spezial A3.jpg

In dieser Zeichnung ist zusätzlich eine Fläche A3 markiert, die beim ersten Integrieren zu viel ist und beim zweiten Integral abgezogen wird.

\int_{0}^{1} f (x)\,dx=\int_{0}^{1} (x^{2}-4x+4) \,dx=\left[   \frac{1}{3}x^{3}-2x^{2}+4x\right]^{1}_{0}=\frac{1}{3}+2+2=2\frac{1}{3}

\int_{0}^{1} f (x)\,dx=\int_{0}^{1} (-x^{2}+4x-2) \,dx=\left[   -\frac{1}{3}x^{3}+2x^{2}-2x\right]^{1}_{0}=-\frac{1}{3}+2-2=-\frac{1}{3}

A_{2}=2\frac{1}{3}-(-\frac{1}{3})=2\frac{2}{3}=|\int (f(x)-g(x)\,dx |


Aber bei beiden Rechenwegen fehlt noch die Fläche zwischen den Funktionen im Bereich x=\left[ -1;0\right] , A3:

Marius95 A3 2 2.jpg

A3=\int_{-1}^{0} (f (x)-g(x))\,dx=\int_{a}^{b} (2x^{2}-8x+6)\,dx=\left[   \frac{2}{3}x^{3}-4x^{2}+6x\right]^{0}_{-1}=0-\left(-\frac{2}{3}-4-6\right)=10\frac{2}{3}

Aus der Zeichnung der Funktionen und der gesuchten Fläche erkennt man, dass man die Flächen A2 und A3 auch als eine Fläche zusammenrechnen kann ( Intervalladditivität).

\Rightarrow (A2+A3)=\int_{-1}^{0} (f(x)-g(x))\,dx+\int_{0}^{1} (f (x)-g(x))\,dx=\int_{-1}^{1} (f(x)-g(x))\,dx=13\frac{1}{3}


Nun fehlt nur noch die Fläche A4:

Marius95 A4 2 2.jpg

\int_{3}^{4} (f(x)-g(x))\,dx=\int_{3}^{4} (2x^{2}-8x+6)\,dx=\left[   \frac{2}{3}x^{3}-4x^{2}+6x\right]^{4}_{3}=(42,67-64+24)-(18-36+18)=2,67


A=A1+A2+A3+A4=2,67+13\frac{1}{3}+2,67=18,67

Fazit: |\int_{-1}^{1} (f(x)-g(x))\,dx |+|\int_{1}^{3}(f(x)-g(x))\,dx|+|\int_{3}^{4} (f(x)-g(x))\,dx|

Unser langer Weg war eine Probe, dass man aufgrund der Intervalladditivität einfach integrieren kann:

|\int_{a}^{x_{1} } (f(x)-g(x))dx|+|\int_{x_{1}}^{x_{2}} (f(x)-g(x))dx|+|\int_{x^{2} }^{d} (f (x)-g(x))\,dx



Besprechung Übungsblatt 5 Nr.1 a)

Marius95 Kurvenschar 2.jpg

Zuerst müssen wir die Nullstellen ausrechnen.

f_{t}(x)=x^{2}+tx=0=x(x+t)

x_{1}=0  \vee x=-t

Nun integrieren wir in dem Bereich \left[ -t;0\right]

|\int_{-t}^{0} (x^{2}+tx)\,dx|=|\left[  \frac{1}{3}x^{3}+\frac{t}{2}x^{2}\right]^{0}_{-t}|=|0-\left(-1+\frac{t^{3} }{2}\right)|=|-\left( \frac{1}{6}t^{3}\right)|=\frac{1}{6}t^{3}=4,5

A=|-\frac{t^{3} }{6}|=4,5=\frac{t^{3} }{6} |\cdot6

t^{3}=27 |\cdot \sqrt[3]{c}

t=3

f_{t}(x)=x^{2}+3x

Protokoll vom 30.10.2013 / Thema: Differenzialrechnung,Flächeninhalte bei Funktionsscharen

Protokoll von--Jugu5797 18:31, 30. Okt. 2013 (CET) (Schuljahr 2013 / 14)
Lehrer C.-J. Schmitt (2 Unterrichtsstunden)


Summenregel (Wdh.)

f(x)= g(x) + k(x)

f'(x)= g'(x)+ k'(x)

\rightarrow \quad Man leitet die einzelnen Summanden der Funktion einzeln ab um die Ableitung der Funktion zu erhalten.

Produktregel

Um der Produktregel auf den Grund zu gehen und sie im einzelnen zu verstehen muss man sich mit ihrer Herleitung beschäftigen.

Zunächst mussten wir feststellen, dass die Funktion, die aus dem Produkt aus g(x) und k(x) zusammengesetzt ist, nicht gleich wie die Summenregel zu handhaben ist.

Bsp.:

f(x)= x \cdot x

f'(x)\neq 1 \cdot 1

f'(x)= 2x

Das heißt die Ableitung des Produkts der Faktoren ist nicht das Produkt der Ableitungen.

Wir wissen: Jede Ableitung wird durch ihren Differenzialquotienten bestimmt. Er hilft uns auch bei der Problemlösung.

f(x)= g(x) \cdot k(x)

Wir befassten uns mit der Ablenkung der einzelnen Faktoren.

Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): f'(x)= \lim_{h\to\0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}


Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): g'(x)= \lim_{h\to\0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}


Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): k'(x)= \lim_{h\to\0}\frac{k(x+h)-k(x)}{h}


Diese setzten wir dann in die "Grundform" von f' ein.

Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): f'(x)= \lim_{h\to\0}\frac{g(x+h)\cdot k(x+h)-g(x)\cdot k(x)}{h}


Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): = \lim_{h\to\0}\frac{g(x+h)\cdot k(x+h)-g(x)\cdot k(x+h)+ g(x)\cdot k(x+h)-g(x)\cdot k(x)}{h}


Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): = \lim_{h\to\0}\frac{k (x+h) \cdot (g(x+h)- g(x)) + g(x) \cdot (k(x+h) - k(x))}{h}


Wenn h gegen Null strebt so strebt k(x+h)gegen k(x). Von (g(x+h)-g(x)) sowie (k(x+h)-k(x)) bezeichnen, wie wir wissen, jeweils g'(x) und k'(x). g(x) bleibt g(x)da dieser Faktor unabhängig von h ist. Daraus ergibt sich:

f'(x)=k(x) \cdot g'(x) + g(x) \cdot k'(x)

Nun zum Satz:

Voraussetzung: g, k sind differenzierbar und stetig und f(x)= g(x) \cdot k(x)

Behauptung: f'(x)=k(x) \cdot g'(x) + g(x) \cdot k'(x)

Beweis: Die Behauptung haben wir mit der Herleitung bewiesen.

Beispiele:

Beispiel 1:

f(x)= x \cdot x

f'(x)= 1 \cdot x + 1 \cdot x = 2x

Beispiel 2:

f(x)=\frac{\sqrt{x} }{y}

f'(x)= -\frac{\sqrt{x} }{2x^2}

Beispiel 3:

Jugu5797 Mathe korrektur 2.JPG

f(x)= x \cdot sin(x)

Jugu5797 Mathe korrekur.JPG

f'(x)= g'(x) \cdot k(x) + g(x) \cdot k'(x)

= 1 \cdot sin(x) + x \cdot cos(x)

Bei weiteren Beispielen wurde deutlich, dass man manchmal die Lösung über die Summenregel findet, indem man den Term ausmultipliziert. Jedoch soll man die Aufgabenstellung dies bezüglich beachten.g(x)= \frac{1}{2\cdot\sqrt{x} }  g'(x)= \frac{1}{2\cdot\sqrt{x} }

Flächeninhalte bei Funktionsscharen

Zur "Entspannung" befassten wir uns Richtung Ende der Stunde mit Integralen.

Anhand von Übungsblatt 5 (Aufgabe 1b,ausgeteilt am 9.Oktober.2013) befassten wir uns mit Funktionsscharen.

Die Funktion lautet:

f_t (x) = x^2 + tx

t \epsilon {-3,-2,-1,0,1,2,3}

Jugu5797 Mathe 3.JPG

Wir legen fest: t>0

Zunächst errechnen wir die Nullstellen, die wir beim Integrieren als Grenzen benutzen.

x^2 + tx = 0 = x(x+t)

\Rightarrow x_1= 0

\Rightarrow  x_2=(-t)

\int_{-t}^{0} (x^2 + tx)\,dx = \frac{1}{3} \cdot (0 + t^3) + \frac{t}{2} \cdot (0 - t^2) = -\frac{t^3}{3} + \frac{t^3}{2}

Das Ergebnis setzten wir dann mit der vorgegebenen Größe für den Flächeninhalt (4,5) gleich, um t zu ermitteln. Dabei sind die negativen Vorzeichen zu vernachlässigen, da die Fläche in jedemfall positiv sein soll.

-\frac{1}{6} t^3 = -4,5 |\cdot 6

t^3=27

t= 3

Die Probe beweist das unsere Lösung richtig ist:

f(3) = \frac{3^3}{3} + \frac{3^3}{2} = 4,5

Theoretisch könnte man auch die Festlegung vornehmen das t kleiner als Null sein soll. Dabei bekommen wir dann (-3) heraus. Das heisst das richtige Ergebnis für diese Aufgaben lautet: t=+/- 3

Hausaufgaben für den 1. November 2013

Übungsblatt 5 Aufgabe 2

Buch Seite 21 Aufgabe: 1b),c),e),i) ; 3 ; (5) ; 9