Protokolle vom September 2013

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Kurzinfo

Schülerbeitrag
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Schülerbeiträge.

Bitte beachte die Hinweise für Schüler.

Inhaltsverzeichnis

Protokoll vom 4.9.2013 / Thema: Einführung in die Integralrechnung Teil 2

Protokoll von --Hellmann 22:01, 5. Sep. 2013 (CEST) (Schuljahr 2013 / 14)
Lehrer C.-J. Schmitt (1 Unterrichtsstunde)


Lösungen der Hausaufgaben vom 31.08.13

a)\int_{12}^{13} x\,dx=12,5


b)\int_{15}^{17} x\,dx=32


Untersuchung des Flächeninhalts der Funktion f(x)=x2

\int_{0}^{2} x^{2} \,dx

CJSchmitt Streifen.jpg

Beispiele

Annäherung an Flächeninhalt durch die Verwendung von Obersummen.

n=2 \ \Rightarrow  \Deltax = \frac{2}{2} = 1


  • O2 = 5


n=4 \ \Rightarrow \Deltax = \frac{2}{4} = 0,5


  • O4 = 3,75


n beliebig \ \Rightarrow \Deltax = \frac{2}{n}


  • On = \Deltax (\Delta x2 + 4\Deltax2 + 9\Deltax2 +...+ n2\Deltax2) = \Deltax3 (1 + 4 + +9 +...+ n2) = \frac{8}{n^{3} } (\frac{n (n + 1)(2n + 1)}{6}) = \frac{4(2n^{2}+3n+1) }{3n^{2} }

\rightarrow \lim_{x\to\infty} O_{n} = \frac{4}{3}\lim_{x\to\infty}(\frac{2n^{2} }{n^{2}}+\frac{3n}{n^{2}}+\frac{1}{n^{2}})=\frac{8}{3}=\int_{0}^{2} x^{2}\,dx

Allgemeine obere Grenze b

\int_{0}^{b} x^{2}\,dx \Rightarrow   \Delta x=\frac{b}{n}

O_{n}=\Delta  x^{3}(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6})=\frac{b^{3}(n+1)(2n+1)}{6n^{2}}

Um den genauen Flächeninhalt zu erhalten, lassen wir die Zahl der Streifen gegen unendlich gehen.

\rightarrow \lim_{x\to\infty} O_{n}=\frac{b^{3}}{6}\lim_{x\to\infty}  (\frac{2n^{2}+3n+1}{n^{2}})=\frac{b^{3}}{3}

\rightarrow \int_{0}^{b} x^{2}\,dx=\int_{0}^{b} x^{2}\,dx-\int_{0}^{a} x^{2}\,dx=\frac{b^{3}}{3}-\frac{a^{3}}{3}=\left[  \frac{x^{3}}{3} \right] _{a} ^{b}

F(x)=\frac{x^{3}}{3} heißt Stammfunktion von f(x)=x^{2}, da F'(x)=x^{2}=f(x)


Hausaufgaben für den 06.09.13

a) \int_{2}^{5} x^{2}\,dx


b) \int_{3}^{6} x^{2}\,dx

Protokoll vom 06.09.2013 / Thema: Eigenschaften von Stammfunktionen

Protokoll von --Philipp95 16:59, 6. Sep. 2013 (CEST) (Schuljahr 2013 / 2014)
Lehrer C.-J. Schmitt (3 Unterrichtsstunden)

Lösung der Hausaufgaben

\int_{2}^{5} x^2\,dx= 39

\int_{3}^{6} x^2\,dx= 63


Ermitlung der Stammfunktion für f(x)=x3

\Delta x = \frac{b}{n}

O_{n} = \Delta x \cdot (\Delta x^3 + 8\Delta x^3 + 27\Delta x^3....+ n^3 \Delta x^3)

= \Delta x^4 \cdot (1+8+27....+n^3) = \frac{b^4}{n^4} \cdot [\frac{1}{4} \cdot n^2 \cdot (n+1)^2]

= \frac{b^4 \cdot (n^2+2n+1)}{4n^2} = \frac{b^4}{4} \cdot (1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2})



\lim_{n\to\infty}On = \lim_{n\to\infty} \frac{b^4}{4} \cdot (1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}) = \frac{b^4}{4} \lim_{n\to\infty} \cdot (1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}) = \frac{b^4}{4}


\rightarrow \int_{a}^{b} f (x)\,dx  = \left[ \frac{x^4}{4}\right]  _a ^b

Damit haben wir die Stammfunktion von f(x)=x3 ermitellt. Diese lautet entsprechend F(x) = \frac{x^4}{4}



Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung

Sei F Stammfunktion von f auf dem Intervall \left[ a,b\right].
Dann gilt:
\int_{a}^{b} f (x)\,dx  = \left[ F(x)\right]  _{a} ^{b}


Beispiel:
f(x)=x^4<br />F(x)=\frac{x^5}{5}
F'(x)=5 \cdot \frac{x^4}{5}=x^4=f(x)


\int_{1}^{2} x^4\,dx = \left[ \frac{x^5}{5}\right]  _{1} ^{2} = \frac{31}{5} = 6,2




Die 3 Sätze über Stammfunktionen

Voraussetzung:
Sei F Stammfunktion von f
Sei G Stammfunktion von g
h(x)=f(x)+g(x)

Behauptung:
H(x)=F(x)+G(x) H ist Stammfunktion von h

Beweis:
H'(x)=F'(x)+G'(x)=f(x)+g(x)=h(x)
q.e.d



Voraussetzung:
Sei F Stammfunktion von f
h(x)=c \cdot  f(x)

Behauptung:
H(x)=F(x)  \cdot    c

Beweis:
H'(x)=c   \cdot   F'(x)=c \cdot f(x)=h(x)
q.e.d



Voraussetzung:
Sei F Stammfunktion von f

Behauptung:
H(x)=F(x)+c ist auch Stammfunktion

Beweis:
H'(x)=F'(x)+0=f(x)
q.e.d



Orientierter- und Absoluter Flächeninhalt

Am Ende der Stunde besprachen wir Integrale mit negativen Zahlen.(Mit den Grenzen von 2 bis -2)

Beispiel:
Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): \int_{-2}^{2} x\,dx = \left[ \frac{x^2}{2}\right] _{-2} ^{2

= \frac{1}{2} \cdot [2^2-(-2^2)] = \frac{1}{2} \cdot (4-4) = 0

Man erkennt ,dass das Integral 0 ist.Deshalb muss man es in zwei Integrale auf teilen.(Grenzen von 0 bis -2 und von 0 bis 2)

\int_{-2}^{0} x\,dx = \left[ \frac{x^2}{2}\right]  _{-2} ^{0} = \frac{1}{2} \cdot [0^2-(-2^2)] = -2 (orientierter Flächeninhalt \rightarrow Ergebnis des Integrals)

\int_{0}^{2} x\,dx = \left[ \frac{x^2}{2}\right]  _{0} ^{2} = \frac{1}{2} \cdot [2^2-0] = 2 (absoluter Flächeninhalt \rightarrow geometrischer Flächeninhalt)


Die beiden Flächeninhalte haben wir danach im Betrag addiert.
|-2|+|2|=4
Mit 4 haben wir nun das eigentliche Integral gefunden.


Hausaufgaben

HA1 Im Buch Seite 47-49 und Seite 51-52 lesen.

HA2 Bearbeiten sie im Buch auf der Seite 53 die Nummern 1 e+g , 2 a+b ,3 a+e , 5
(7),(8) Für die Aufgaben in KLammern gibt es hinten Lösungen, und wir vergleichen die Egebnisse nicht; eingeklammerte Aufgaben also in eigener Verantwortung, aber mit Ergebniskontrolle :-).


Tabelle der Stammfunktionen

f(x) x x^2 x^3 x^4 3 C
F(x) \frac{x^2}{2} \frac{x^3}{3} \frac{x^4}{4} \frac{x^5}{5} 3x C*x

Protokoll vom 11.09.2013 / Thema: Die ersten 3 Integralsätze

Protokoll von Schiffert1996 19:55, 12. Sep. 2013 (CEST) (Schuljahr 2013 / 14)
Lehrer C.-J. Schmitt (2 Unterrichtsstunden)


Lösungen der Hausaufgaben vom 06.09.13

S.53 Nr.1 e+g


e)F(x) =5 \cdot \frac{r^3}{3}


b)F(x)=0,1\cdot\frac{x^4}{4} =\frac{x^4}{40}


S.53 Nr.2 a+b


a)F(x) =x^3


 Also ist a=3.


b)"a" it beliebig, und \in \mathbb{R}


S.53 Nr.3 a+e


a)\int_{0}^{4} f (x^2)\,dx =\left[ \frac{1}{3}x^3\right]^4_{0} =\frac{1}{3} \cdot 4^3 \approx 21,3


e)\int_{10}^{20} f (5)\,dx =\left[ 5x\right]^20_10 =5 \cdot 20-5 \cdot 10=100-50=50


S.54 Nr.5



(II) stimmt:-(-1)^2-(-(-2)^2)=-1-(-4)=3


S.57 Nr. 5 a



Schiffert1996 Stammfunktion1.jpg



f(x) =-\frac{1}{2}x+1


F(x) =-\frac{1}{2} \cdot\frac{x^2}{2} +x+c=x\cdot (-\frac{1}{4} x+1)


Andere Aufgaben:



\int_{2}^{5} f (x^3)\,dx=\left[  \frac{1}{4}x^4\right]^5_{2}  =\frac{1}{4} \cdot 5^4-\frac{1}{4} \cdot 2^4=156,25-4=152,25


\int_{3}^{6} f (x^3)\,dx =\left[ \frac{1}{4}x^4\right]^6_{3}  =\frac{1}{4} \cdot 6^4-\frac{1}{4} \cdot 3^4=324-20,25=303,75


Die ersten drei Intergralsätze

1.Summenregel


Voraussetzung:


F'(x) =f(x)


G'(x)= g(x)


Behauptung:


\int_{a}^{b}  (f (x)+g(x)) \,dx =\int_{a}^{b} f (x)\,dx +\int_{a}^{b} g (x)\,dx


Beweis:


\int_{a}^{b} \left( f (x)+g(x)\right) \,dx =\left[ F(x)+G(x) \right]^b_{a}

=F(b)+G(b)-F(a)-G(a)

=F(b)-F(a)+G(b)-G(a)

=\left[ F(x)\right]^b_{a} +\left[ G(x)\right]^b_{a} = \int_{a}^{b} f (x)\,dx +\int_{a}^{b} g (x)\,dx

q.e.d


2.Faktorregel


Voraussetzung:


F'(x)=f(x) ;  c\in \mathbb{R}


Behauptung:


\int_{a}^{b} \left(c \cdot f (x)\right) \,dx = c \cdot \int_{a}^{b} f (x)\,dx


Beweis:


\int_{a}^{b} \left( c \cdot f (x)\right) \,dx =\left[ c \cdot F(x)\right]^b_a


=c \cdot F(b)-(c \cdot F(a))=c \cdot (F(b)-F(a))


=c \cdot\left[ F(x)\right]^b_a =c \cdot \int_{a}^{b} f (x)\,dx


3.Dritte Regel


Voraussetzung:


f(x) =x^n


Behauptung:


F(x)=\frac{n^n+1}{n+1}


Beweis: Wurde schon oft von uns durchgeführt.


Beispiele zur Anwendung der Integralsätze

1.\int_{1}^{2}  (x^3-3x+2)\,dx


Lösung:


=\int_{1}^{2}  (x^3)\,dx -3 \cdot \int_{1}^{2}  (x)\,dx +\int_{1}^{2}  (2)\,dx


=\left[ \frac{1}{4}x^4\right]^2_1  -3*\left[ \frac{1}{2}x^2\right]^2_1  +\left[ 2x\right]^2_1


=\frac{1}{4} \cdot \left[  2^4-1^4\right]^2_{1} -\frac{3}{2} \cdot \left[ 4-1\right]^2_{1} +2 \cdot \left[ 2-1\right]^2_{1}


=\frac{1}{4}\cdot 15-\frac{3}{2} \cdot 3+2\cdot 1


=\frac{15}{4}-\frac{9}{2}+2=\frac{15}{4} -\frac{18}{4}+\frac{8}{4}=\frac{5}{4} =1,25


2.\int_{-2}^{0}  (3x^2-\frac{1}{3}x )\,dx


Lösung:


=3 \cdot \int_{-2}^{0} (x^2)\,dx -\frac{1}{3} \cdot \int_{-2}^{0} (x)\,dx


=3\cdot \left[ \frac{1}{3}x^3\right]^0_{-2}  -\frac{1}{3} \cdot \left[ \frac{1}{2}x^2\right]^0_{-2}


=3 \cdot (0-(-\frac{8}{3} ))-\frac{1}{3} \cdot (0-\frac{4}{2} )


=3\cdot \frac{8}{3} -\frac{1}{3} \cdot(-\frac{4}{2}) = 8+\frac{4}{6}=8+\frac{2}{3}  \approx 8,67



3.Bezieht sich auf die Formvariable (Konstante)"a"


\int_{1}^{2}  (3ax^2+6x)\,dx =2


Frage: Wie muss man "a" wählen, damit 2 rauskommt?


Lösung:


3a\cdot\int_{1}^{2}  (x^2)\,dx + 6 \cdot \int_{1}^{2} f (x)\,dx


\frac{3a}{3} \cdot \left[ x^3\right]^2_{1} +\frac{6}{2} \cdot \left[ x^2\right]^2_{1}


=a\cdot \left[ 8-1\right]^2_{1} +3\cdot\left[ 4-1\right]^2_{1}


=7a+9=2


"a" ausrechenen:


7a+9=2                                                                                 |-9


7a=-7                                                                                  |:7


a=-1


Probe:


\int_{1}^{2}  (-3x^2+6x)\,dx = -3 \cdot \int_{1}^{2}  (x^2)\,dx +6 \cdot \int_{1}^{2}  (x)\,dx


=-3\cdot \left[ \frac{1}{3}x^3\right]^2_1  +6 \cdot \left[ \frac{1}{2} \cdot 1^2\right]^2_1


=(-3 \cdot \frac{1}{3} )+(6\cdot \frac{1}{2} )


=-1+3=2


Hausaufgaben für den 13.09.13:


Ausrechen von:


\int_{1}^{2}  (x^2+3x+1)\,dx


\int_{3}^{4}  (5x^2+6)\,dx

+ S.53 Nr.2 c+d/ Nr.4a

S.54 Nr.13a/14a/15a


Protokoll vom 13.09.2013 / Thema: Weitere Integralsätze & das allgemeine Integral

Protokoll von--Jugu5797 11:22, 14. Sep. 2013 (CEST) (Schuljahr 2013 / 14)
Lehrer C.-J. Schmitt (3 Unterrichtsstunden)

Lösungen der Hausaufgaben vom 11.September.2013

Übungsaufgaben

a.)\int_{2}^{1}(x^{2}+3x+1)\,dx \approx 7,83

b.)\int_{4}^{3}(5x^{2}+6)\,dx\approx 67,67


Buch S.53/54

2c.) a\in \mathbb{R} \rightarrow da bei Ableitung 0

2d.) a=1 \rightarrow da kein Restbetrag als Potenz

4a.) F(x)=x²+99 \rightarrow F(1)= 1²+99=100

13a.) z=6

14a.) x1=2 ; x2=(-1)

15a.) x1≈ 4,12 ; x2≈ (-0,12)

Kurze Wiederholung Satz des Vieta

f(x)=x2-px+q Normalform

p= -(x1 + x2) Summe der Lösungen = -p

q= x1 • x2 Produkt der Lösungen = q

Genauere Erklärungen hierzu lassen sich hier oder hier finden.

Beutekammer

"Neuzugang"

f(x) xr \sqrt{x} \frac{1}{x^{2}} \frac{1}{x}
F(x) \frac{x^{r+1}}{r+1} \frac{2}{3}x \cdot \sqrt{x}  -\frac{1}{x}   ?


Weitere Integralsätze

4. Intervalladdivität

Voraussetzung: F'(x)=f(x)

Behauptung: \int_{a}^{b} f (x)\,dx + \int_{b}^{c} f (x)\,dx = \int_{a}^{c} f (x)\,dx

Beweis: \int_{a}^{b} f (x)\,dx + \int_{b}^{c} f (x)\,dx = F(b) - F(a)+ F(c)-F(b) = F(c) - F(a)= \int_{a}^{c} f (x)\,dx

\rightarrow q.e.d.


5. Namenlos1

Voraussetzung: F'(x)= f(x)

Behauptung: \int_{a}^{a} f (x)\,dx = 0

Beweis: \int_{a}^{a} f (x)\,dx = F(a) - F(a) = 0

\rightarrow q.e.d.

6. Namenlos2

Voraussetzung: F'(x)= f(x)

Behauptung: \int_{a}^{b} f (x)\,dx = -  \int_{b}^{a} f (x)\,dx

Beweis: \int_{a}^{b} f (x)\,dx = F(b)- F(a) = -( F(a) - F(b))= -\int_{b}^{a} f (x)\,dx

\rightarrow q.e.d.

7. Namenlos3

Voraussetzung: Seien F1(x) und F2(x) Stammfunktionen von f

F1'(x)=f(x)

F2'(x)=f(x)

Behauptung: Stammfunktionen unterscheiden sich lediglich durch eine Konstante.

Beweis: F2(x) - F1(x) = d(x)

d'(x)= F2'(x) - F1'(x) = f(x) - f(x)= 0

\rightarrow d'(x)= 0 \rightarrow d(x)= c

F2(x)- F1(x) = c \rightarrow F2(x) = F1(x) + c

\rightarrow q.e.d.

\rightarrow Bei bestimmten Integralen brauche ich die Konstante nicht zu Berücksichtigen, da diese sich in der Differenz weghebt!

Das allgemeine Integral

\int f (x)\,dx  = F(x)+C

F'(x) = f(x)

\rightarrowDer Allgemeine Integral ist eine Schreibweise für Stammfunktionen

\rightarrowDie Konstante muss Berücksichtigt werden!

Aufgaben für den 18.September.2013

Buch S.54: 4b,c ; 13b,c; 14f ; 15c

Buch S.57: 3b,d ; 5b ; (8a); (10); 15a

Aufgaben Blatt: 1b ; 3a ; 5b

Protokoll vom 18.9.2013 / Thema: Orientiertes und absolutes Integral

Protokoll von --Vincent97 21:43, 18. Sep. 2013 (CEST) (Schuljahr 2013 / 14)
Lehrer C.-J. Schmitt (2 Unterrichtsstunden)


Lösungen der Hausaufgaben vom 13.09.

Buch S.54/57

S.54:

4b) F(x)=\frac{1}{3} x^{3}+99\frac{2}{3}

4c) F(x)=5x+95

13b) z=4

13c) z=9

14f) L={-3;-2;2,2;3}

15c) L={-3;0;3}

S.57:

3b) \int_{2}^{3} (1+\frac{1}{x^{2} }) \,dx \approx 1.17

3d) \int_{0}^{9} (\frac{2}{5}\sqrt{x}  ) \,dx = 7.2

5b) f(x)=x^2-x-1

   F(x)=\frac{1}{3}x_{3} -\frac{1}{2}x^{2} -x  

Die Stammfunktion kann um c verschoben werden

Stammfkt.jpg

F'(x)=f(x) Daraus folgt das dort wo die Funktion f(x) positive Funktionswerte hat, dass die Steigung der Funktion F(x) positiv ist. Bei den Nullstellen von f(x) hat F(x) eine waagerechte Tangente.

8a) F(x)=\frac{1}{30} x^{3}+\frac{2}{x}

10) Aussagen A,C und F stimmen

15a) \int_{-1}^{3,3} 5x^2\,dx -10\int_{-1}^{3,3} \frac{1}{2} x^2\,dx=0


Arbeitsblatt

1b) \int_{-1}^{2} (x^2-1)\,dx -\int_{-1}^{2} (1-x)\,dx =-3

3a) 3\int_{-1}^{1} (x^2-2x)\,dx -2\int_{-1}^{1} (2x-x^2)\,dx\approx 3,33

5b) \int_{-2}^{1} (3x^2+5x-4)\,dx +\int_{1}^{4} (3x^2+5x-4)\,dx=78



Wiederholung Trigonometrie

Gradmaß Bogenmaß sin (x) cos (x)
0^{o} 0 0 1
90^{o} \frac{\pi }{2} 1 0
180^{o} \pi 0 -1
270^{o} \frac{3\pi }{2} -1 0
360^{o} 2\pi 0 1

Die daraus folgende Sinuskurve sieht so aus:

Sin20.09.jpg

Die Kosinuskurve sieht so aus:

Cos20.09.jpg



Beispiele zum Satz des Vieta

x^2-10x+24=0

x_1=4

x_2=6

Dies müssen die Nullstellen sein, da q=x_{1}\cdot x_{2} und p=-(x_{1}+ x_{2} ) ist. Der Satz des Vieta eignet sich besonders bei ganzen Zahlen als Nullstelle.

Probe:

24=6\cdot4

-10=-(6+4)




Orientiertes Integral

Beim Orientierten Integral rechnet man einfach das Integral aus, wie man es gewohnt ist. Das Ergebnis kann auch negativ sein

\int_{-5}^{0} (-x^2-5x-4)\,dx=\left[ -\frac{1} {3}x^3-\frac{5}{2} x^2-4x\right] ^0_{-5}=(\frac{-250+375-120}{6} )=\frac{5}{6} \approx 0,83


Absolutes Integral

Beim Absoluten Integral will man die tatsächliche Fläche aus. Das Ergebnis muss positiv sein.

Damit wir die Flächen getrennt ausrechnen können, müssen wir die Nullstellen berechnen (Satz des Vieta).

x^2+5x+4=0

x_{1}=-4

x_{2}=-1

Bei unsere Funktion gibt es drei Teilflächen die wir berechnen müssen:

Absolutes integral.jpg

Als erstes berechnen wir die Fläche A_2.

\int_{-4}^{-1} (-x^2-5x-4)\,dx=\left[ -\frac{1} {3}x^3-\frac{5}{2} x^2-4x\right] ^{-1}_{-4}=\frac{1}{3}-\frac{5}{2}+4-\frac{64}{3}+40-16=\frac{2-15-128+168}{6}= \frac{27}{6}=4,5

Die nächste Fläche ist A_3:

\int_{-1}^{0} (-x^2-5x-4)\,dx=\left[ -\frac{1} {3}x^3-\frac{5}{2} x^2-4x\right] ^{0}_{-1}=0+\frac{1}{3}-\frac{5}{2}+4=\frac{2-15+24}{6}=\frac{11}{3}\approx -1,83

A_{3}=\left| -1,83 \right|

Da A_1und A_3 gleich groß sind, kann man einfach 2\cdot A_3rechnen.

A_{ges}=A_2+2\cdot A_3=4,5+2\cdot1,83\approx 8,17

Die 8,17 ist die wirkliche Fläche unter der Funktion. Dazu gibt es auch einen Merksatz im Buch auf Seite 64.

Probe zum orientierten Wert von oben:

\int_{-5}^{0} (-x^2-5x-4)\,dx=4,5-2\cdot1.83\approx 0,83

Es muss wieder der gleiche Wert rauskommen wie beim Orientierten ntegral, weil man die beiden negativen Flächen von der großen positiven Fläche abzieht. Dies hat man vorher in einem Integral gemacht


Anwendung für Funktionenscharen

Seite 66 Aufgabe 8

CJSchmitt Schar.jpg

Die Hyperbeln sehen im wesentlichen gleich aus, aber da man für t jede Zahl einsetzten kann, gibt es eine Funktionenschar.

Hausaufgaben für den 20.09.

Buch: S.65 Nr.1a;3b;(6;12);9

S.54 Nr. 15c

S.57 Nr.3d;13a

Arbeitsblatt: 4a

Protokoll vom 20.9.2013 / Thema: Flächeninhalt zwischen zwei Graphen

Protokoll von --------Hellmann 10:56, 24. Sep. 2013 (CEST) (Schuljahr 2013 / 14)
Lehrer C.-J. Schmitt (3 Unterrichtsstunde)



Lösungen der Hausaufgaben vom 18.09.13

S.65 #1: A=2

S.66 #3b: A=\frac{4}{3}\approx  1,33

S.66 #9:

1. Schritt: f(x)_{t}=x^{2}-t^{2} \rightarrow x_{1}=t und x_{2}=-t

2. Schritt: |\int_{-t}^{t} (x^{2}-t^{2})  \,dx|=|[\frac{1}{3}x^{3}-t^{2}x]_{-t}^{t}|=\frac{4}{3}t{^3}=A(t)

3. Schritt: \frac{4}{3}t^{3}=36 \rightarrow t=3

S.54 #15c: x_{1}=0 ; x_{2}=-3 ; x_{3}=3

S.57 #3d: 7,2

S.57 #13a: F(x)=\frac{1}{3}(x+2)^{3}-\frac{5}{3}

Übungsblatt 1 #4a: \frac{16}{3}\approx  5,33



Flächeninhalt zwischen zwei Grafen messen und berechnen


1. Beispiel

Hellmann 1.jpg

geschätzter Flächeninhalt anhand der Kästchengröße: 4,19cm^{2}

Berechnung:

1.) Schnittsellen: -x+6=x^{2}-6x+10 \rightarrow x_{1}=1 und x_{2}=4

2.) erste, einfachere Möglichkeit: f(3) und g(3) ausrechnen. Größerer y-Wert gibt an dass Kurve in dem Intervall über der anderen liegt. In diesem Fall hat f(3) einen größeren y-Wert.

3.)zweite Möglichkeit:

Behauptung \rightarrow g(x)-f(x)\ge 0

Beweis \rightarrow x^{2}-5x+4\ge  0 \Rightarrow stimmt nicht!!

\Rightarrow da f(x)\ge g(x)

\Rightarrow wenn Lösung ein negatives Ergebnis ist dann den Betrag nehmen!

|\int_{1}^{4} [g(x)-f(x)]\,dx|=|\int_{1}^{4} (x^{2}-5x+4)\,dx|=|[\frac{1}{3}x^{3}-\frac{5}{2}x^{2}+4x]_{1}^{4}|=4,5


Strategie zur Berechnung zwischen den Grafen

Hellmann 2.jpg

1.) Schnittstellen berechnen.
2.) |\int_{x_{1}}^{x_{2}} (f(x)-g(x))\,dx|=A

2. Beispiel

wenn die beiden Grafen 3 gemeinsame Schnittstellen haben:

A=|\int_{x_{1}}^{x_{2}} (f(x)-g(x))\,dx|+|\int_{x_{2}}^{x_{3}} (f(x)-g(x))\,dx|




3. Beispiel (Übungsblatt 3c)

Hellmann 3.jpg

Schnittstellen: 0,5x^{3}=-x^{3}+4x \Rightarrow x_{1}=0; x_{2}=-4; x_{3}=2

Flächeninhalt A:

A=|\int_{-4}^{0} (f(x)-g(x)) \,dx|+|\int_{0}^{2} (f(x)-g(x))\,dx|=|\int_{-4}^{0} (0,5x^{3}+x^{2}-4x) \,dx|+|\int_{0}^{2} (0,5x^{3}+x^{2}-4x)\,dx|=|[0,125x^{4}+\frac{1}{3}x^{3}-2x^{2}]_{-4}^0|+|[0,125x^{4}+\frac{1}{3}x^{3}-2x^{2}]^2_0|=24,67



Hausaufgaben für den 25.09.13

Buch: S.58 #10; S.65 #1b,c #3c #4a,b #5a (#7)

Übungsblatt 3 #a,d

Übungsblatt 1 #1e






Protokoll vom 25.09.2013 / Thema: Polynomdivisionen

Protokoll von --Philipp95 19:52, 25. Sep. 2013 (CEST) (Schuljahr 2013 / 2014)
Lehrer C.-J. Schmitt (2 Unterrichtsstunden)


Hausaufgaben vom 20.9.2013

Seite 58 Nr. 10

A:Richtig

B:Falsch

C:Richtig

D:Falsch

E:Richtig


Seite 65 Nr. 1c,3c,4a+b,5a

Nr.1c:
Um diese Aufgabe zu lösen, müssen wir die Funktion um drei Stellen auf der y-Achse nach oben verschieben.
Deshalb:(-x^2+1)\rightarrow (-x^2+4)
Nun kann man ganz einfach von 0 bis 2 integrieren ,da die gesuchte Fläche sich mit der Funktion nach oben verschobte.


\int_{0}^{2}(-x^2+4)\,dx = [-\frac{1}{3}x^3+4x]_0^2=\frac{16}{3}\approx5,33



Nr.3
c.) \int_{-2}^{2} ( x^4-4x^2)\,dx \approx 8,53


Nr.4
a.) \int_{-1}^{1} (0,5x)-(-x^2+4)\,dx = 7\frac{1}{3}

b.) \int_{1}^{4} (x^3-x)\,dx = \frac{1}{4}



Nr.5

a.) \int_{0}^{2} [x^2-(-x^2+4x)]\,dx = \frac{8}{3}=2\frac{2}{3}



Ü3

a.) \int_{0}^{1} (x^2-x)\,dx = \frac{1}{6}

d.) \int_{0}^{2} [(x^3-x^2+x-1)-(4x^2-5x-1)]\,dx = \frac{8}{3}

\int_{2}^{3} [(x^3-x^2+x-1)-(4x^2-5x-1)]\,dx = \frac{5}{12}

Gesamt:\frac{8}{3}+\frac{5}{12}=\frac{37}{12} \approx 3,08


Ü1 Nr.1
e.) \int_{1}^{4} (1+\sqrt{x})^2-(1+\sqrt{x})  \,dx = \frac{73}{6} \approx 12,17


Polynomdivision

Am Anfang der Stunde machten wir ein kleine Wiederholung vom letzten Jahr :D

(x-2) \cdot (x+3)=x^2+x-6


(x^2+x-6)\cdot(x+1)=x^3+2x^2-5x-6


\begin{matrix} (x^3 & + 2x^2 &-5x & -6) : (x &  +1) = & x^2+x-6\\
\underline{-(x^3}  & \underline{+x^2)} \\
0 & {x^2}  & {-5x} \\
& \underline{-(x^2} & \underline{+x)} \\
& 0 & -6x & -6 \\
& & \underline{-(6x}  & \underline{-6)} \\
& & & 0 \\
\end{matrix}

Man muss bei der Polynomdivision eine Nullstelle raten um es auszurechnen.Mit der erratenen Nullstelle muss man nun durch den Lienarfaktorfor dividieren. :).


Weiteres Beispiel

\begin{matrix} (x^3 & - 0.5x^2 &-11x & -12) : (x &  +2) = & x^2-2.5x-6\\
\underline{-(x^3}  & \underline{+2x^2)} \\
0 & {-2.5x^2}  & {-11x} \\
& \underline{-(-2.5x^2} & \underline{-5x)} \\
& 0 & -6x & -6 \\
& & \underline{-(6x}  & \underline{-6)} \\
& & & 0 \\
\end{matrix}


Aufgabe am Ü4

Aufgabenstellung:Eine Bahnhofshalle wird über zwei Ventilatoren belüftet, deren Leistung jeweils ca. 80 Kubikmeter pro Minute beträgt. Welche Zeit wird für einen kompletten Luftaustausch benötigt? Das Dach der Halle ist eine Parabelförmige Holzkonstruktion.

Volumen der Halle = V_1 + V_2

V_1 = 8 \cdot 60 \cdot 20 = 9600m^3




Philipp95 Bildschirmfoto 2013-09-25 um 21.19.54.png

Da die Nullstelle und durch die Zeichnung am Blatt schon bekannt ist,muss man nur noch den Faktor a ausrechnen.

f(x)=-ax^2+10
f(10)=-a \cdot 10^2 +10
a=0,1

Nun muss man V_2 ausrechnen.
2 \cdot \int_{0}^{10} (-0,1x^2+10)\,dx=2\cdot[-\frac{1}{30}x^3=10x]_0 ^{10}=2\cdot(\frac{100}{3}+100)-0=2\cdot \frac{200}{3}=\frac{400}{3}=133\frac{1}{3}
V_2=\frac{400}{3}\cdot60=8000

Volumen der Halle=9600m^3+8000m^3=17600m^3

17600m^3:160\frac{m^3}{min}=110min=1h50min \rightarrow Die Ventilatoren brauchen also 1h50min. für einen kompletten Luftaustausch.




Hausaufgaben für den 27.9.2013

Logbuch auf beobachten stellen

Ü1 A3c

Ü4 A2 und A3

Seite 66 A7

Polynom ausrechnen:(x^3-x^2-22x+40):(x-4)



Protokoll vom 27.09.2013 / Thema: Anwendungsaufgaben zur Integralrechnung und Bearbeitung der Musterklausur

Protokoll von --Schiffert1996 19:26, 30. Sep. 2013 (CEST) 20:05, 29. Sep. 2013 (CEST)] 19:52, 25. Sep. 2013 (CEST) (Schuljahr 2013 / 2014)
Lehrer C.-J. Schmitt (2 bzw. 3 Unterrichtsstunden)


Übungsblatt 1, Aufgabe 3 c.)

\frac{1}{4}\int_{1}^{2} \frac{2-4x^2}{x^2} \,dx  +\frac{1}{5} \int_{1}^{2} (2-\frac{1}{x^2}) \,dx

=\frac{1}{4}\cdot \left[  \frac{-2}{x}-4x\right] ^2_1 +\frac{1}{5}\cdot \left[  2x+\frac{1}{x} \right] ^2_1 

=\frac{1}{4} \cdot ((\frac{-2}{2} -4\cdot 2)-(\frac{-2}{1}-4\cdot1))+\frac{1}{5}\cdot ((2 \cdot 2+\frac{1}{2} )-( 2 \cdot 1+1))

=\frac{1}{4} \cdot (-1-8)-(-2-4)+\frac{1}{5}\cdot (4+0,5)-(2+1)

=\frac{1}{4}\cdot (-3)+\frac{1}{5}\cdot 1,5

=(-\frac{3}{4})+\frac{3}{10}

=(-\frac{9}{20})= - 0,45


Übungblatt 4, Aufgabe 2.)

f_{a}(x)=a\cdot x^2

a \cdot x^2 =\sqrt{x}

a^2x^4=x

a^2x^4-x=0


"x" ausklammern:


x(a^2x^3-1)=0

= x_{1}=0 \  \vee a^2x^3=1

x^3= \frac{1}{a^2}

x_2=a^-\frac{2}{3}


"a" berechnen:


A=|\int_{0}^{a^-{\frac{2}{3} }   } (ax^2-\sqrt{x}) \,dx |=|\left[ \frac{a}{3}x^3 -\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2} } \right]^{  a^{-\frac{2}{3} } }_0 |
=|\frac{1}{3a}-\frac{2}{3a} |

=\frac{1}{3a}


A=2


=2=\frac{1}{3a}

=6a=1

a=\frac{1}{6}


Übungblatt 4, Aufgabe 3.)

f(x) =x^2-4x+4

g(x)= -x^2+4x-2

=f(x) =g(x)

=x^2-4x+4=-x^2+4x-2   |+x^2-4x+2

=x^2-4x+3=0

Satz von Vieta:

x_{1}=3 ; x_{2}=1

Berechnung des Integrals:

\int_{1}^{3} (g(x)- f (x))\,dx =\int_{1}^{3} (-2x^2+8x-6)\,dx

=\left[ -2\cdot\frac{1}{3}^3 +8\cdot\frac{1}{2}x^2-6x \right] ^3_1

=((-2\cdot\frac{1}{3}\cdot 3^3)+(8\cdot \frac{1}{2} \cdot 3^2)-(6\cdot 3))-((-2\cdot\frac{1}{3}\cdot1^3)+(8\cdot\frac{1}{2}\cdot1^2)-(6\cdot1))

=(-18+36-18)-(-\frac{2}{3}+4-6)

=\frac{8}{3}\approx 2,67


Buch Seite. 66 Nr.7

a.)

\int_{0}^{2} (f (x)-g(x))\,dx = \int_{0}^{2} (x^3-4x^2+4)\,dx =\left[  \frac{1}{4}x^4-\frac{4}{3}x^3 +2x^2\right]^2_0

=\frac{1}{4} \cdot 2^4 -\frac{4}{3}\cdot 2^3 +2\cdot 2^2

=4-\frac{32}{3}+8

=\frac{4}{3}\approx  1,33

b.)

\int_{2}^{4} f (x)\,dx-\int_{2}^{3} g (x)\,dx  =\int_{2}^{4} (-x^2+4x)\,dx -\int_{2}^{3} (-x^3+3x^2)\,dx

=\left[ -\frac{1}{6}x^3+2x^2\right]  ^4_2-\left[ -\frac{1}{4}x^4+x^3\right]  ^3_2

=(-\frac{64}{3} +32)-(-\frac{8}{3}+8) -\left[ (-20,25+27) -(-4+8)\right]

=\frac{16}{3}-\frac{11}{4}

=\frac{31}{12}\approx  2,58

c.)

\int_{0}^{2} (4-f(x)) \,dx = \int_{0}^{2} (4+x^2-4x)\,dx =\left[ 4x+\frac{1}{3}x^3-2x^2\right]  ^2_0

=(4 \cdot 2)+(\frac{1}{3}\cdot 2^3)-(2\cdot 2^2 )

=8+\frac{8}{3}-8

=\frac{8}{3}\approx  2,67


Polynom:


\begin{matrix} (x^3 & - x^2 &-22x & +40) : (x &  -4) = & x^2+3x-10\\
\underline{-(x^3}  & \underline{-4x^2)} \\
0 & {3x^2}  & {-22x} \\
& \underline{-(3x^2} & \underline{-12x)} \\
& 0 & -10x & +40 \\
& & \underline{-(-10x}  & \underline{+40)} \\
& & & 0 \\
\end{matrix}



=> f(x) = x^2+3x-10