Landesabitur Hessen 2011 C1

Aufgabe 2 Lösungsvorschlag von --Jugu5797 (Diskussion) 22:43, 18. Mai 2014 (CEST)

2.1

Wir machten uns zunächst eine Legende:

$S$: Die Person hat Schweinegrippe.

$\overline {S}$: Die Person hat keine Schweinegrippe.

$+$: Der Schnelltest hatte ein positives Ergebnis.

$\overline {+}$: Der Schnelltest hat ein negatives Ergebnis.

Daraufhin zogen wir alle Informationen aus der Aufgabenstellung und konnten daraus wiederum neue Informationen schlussfolgern.

$P(S)$=0,0025

$\rightarrow P(\overline {S})$=0,9975

$P_S(+)$=0,76

$\rightarrow P_S(\overline{+})$=00,24

$P_{\overline {S}}(+)=0,08$

$\rightarrow P_{\overline{S}}(\overline{+})=0,92$

Mit diesen Informationen konnten wir Schnittmengen ausrechnen, und mithilfe einer Vierfeldertafel noch mit weiteren Werten erweitern.

$P(S \cap +)=P_S(+)\cdot P(S)= 0,76 \cdot 0,0025=0,0019$

$P(\overline {S} \cap +)=P_{\overline {S}}(+) \cdot P(\overline{S})= 0,08 \cdot 0,9975=0,0798$

	S	$\overline {S}$
+	0,0019	0,0798	0,0817
$\overline {+}$	0,0006	0,9177	0,9183
	0,0025	0,9975	1

Nun haben wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Test ein positives Ergebnis anzeigt (P(+)=8,17%). Diesen Wert benötigen wir, um die Wahrscheinlichkeit auszurechenen,dass wenn der Test ein positives Ergebnis anzeigt,dass die Person auch wirklich an der Schweinegrippe erkrankt ist.

$P_+(S)=\frac {P (S \cap +)}{P(+)}=\frac {0,0019}{0,0817}=2,3%$

Dieser Wert ist sehr alarmierend, da der Test eine nicht sehr hohe Trefferquote hat. Er zeigt also 97,7% ein falsches Ergebnis an.

2.2

Mit der Tabelle, welche ergänzend zur Aufgabe zur Verfügung stand, konnten wir die folgende Information herauslesen:

Wenn die Anzahl der Erkrankten steigt, so steigt auch die Zuverlässigkeit des Tests.

Wir legen fest, dass die Wahrscheinlichkeit für die Schweinegrippe,den Buchstaben p bezeichnet.

Des Weiteren gehen wir zunächst davon aus, dass die Erkennungsrate von dem Schnelltest nach wie vor bei 76% liegt,da es sonst zwei Variablen gäbe.

$P_+(S)=\frac {P(S \cap +)}{P(+)}=\frac {P(S)\cdot P_S(+)}{P(S \cap +)+ P( \overline{S}) \cdot P_{ \overline{S}} (+)}= \frac {p \cdot 0,76}{p\cdot 0,76 + \overline {p} \cdot 0,08} = \frac {p \cdot 0,76}{p \cdot 0,68 + 0,08}$

Nochmal den ganzen Vorgang in Worten: Wir haben den Ursprünglichen Term so viel erweitert, eingesetzt und vereinfacht, sodass wir letzten Endes einen Term haben, der ganz einfach die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person mit positivem Testergebnis tatsächlich erkrankt ist in Abhängigkeit von p, der Wahrscheinlichkleit an Schweinegrippe erkrankt zu sein.

Beim Einsetzen von einzelnen Werten für p kann man einerseits erkennen das wir richtig Vereinfacht haben,da der herauskommende Wert,dem Wert der Tabelle entspricht und andererseits erkennen dass die Anzahl tatsächlich steigt.

$p =0,01 -> P_+(S)=0,0876$

$p=0,1 -> P_+(S)=0,5135$

Wenn man den Wert mit p vereinfacht so erhalten wir einen Bruch im Nenner und können so auch sagen, dass der Wert des Bruchs größer wird, da Wenn der Nenner kleiner wird, so wird der Wert des Bruchs größer.

$\frac {0,76}{0,68 + \frac {0,08}{p}}$

Diesen Term verdeutlicht die folgende Funktion:

Graph zur Abituraufgabe

Aufgabe 3 Lösungsvorschlag von --Vincent97 (Diskussion) 19:35, 11. Jul. 2014 (CEST)

$n=82\cdot 10^6$

$p=0,3048$

$\mu=24993600$

$\sigma=4268,4$

$P(X \leq 25\cdot 10^6) = \Phi \left ( \frac{25\cdot 10^6+0,5-24993600}{4186,4}\right ) -\Phi \left ( \frac{-0,5-24993600}{4186,4} \right )=\Phi (1,54)-\Phi (-5995,97)=93,82%$