Vierte Kursarbeit

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Vierte Kursarbeit



Inhaltsverzeichnis

.Aufgabe Lösungsvorschlag von --Marius95 (Diskussion) 18:15, 1. Jul. 2014 (CEST)

n=100 \ ; \ p=0,4 \ ; \ q=0,6

a)

P_{0,6}(X > 60)=1-P_{0,6}(X \leq 60)=1-0,5379=0,4612=46,21%


b)

P_{0,6}( 50\leq X  \leq  70)=P_{0,6}(X \leq 70)-P_{0,6}(X \leq 49)=0,9852-0,0168=0,9684=96,84%


c)

P_{0,6}( X=55)= \begin{pmatrix}
 100 \\
 55 
 \end{pmatrix} \cdot 0,6^{55} \cdot 0,4^{45}=0,0478=4,78%


.Aufgabe Lösungsvorschlag von --Philipp95 (Diskussion) 09:55, 1. Jul. 2014 (CEST)



a)
n=1500\cdot 0,1=150
P(D)=0,12
P( \overline{D} )=0,88



\mu =n\cdot p=150\cdot 0,12=18

P(X=18)={ 150 \choose 18} \cdot 0,12^{18}\cdot 0.88^{132}=0,998=9,98%

Die Wahrscheinlichkeit ,dass 18 Leute gedopt haben beträgt 9,98%.



b)

Baumdiagramm



P(D) 
P( \overline{D}) Summen
P(+) 0,1188 0,0264 0,1452
P( \overline{+}) 0,0012 0,8536 0,8548
Summen 0,12 0,88 1




P(+)=P(D \cap +)+P( \overline{D}  \cap  +)=0,1188+0,0264=0,1452=14,52%

A. Die Wahrscheinlichkeit ,dass der Test allgemein positiv ausfällt liegt bei 14,52%

\mu _{+}=150\cdot 0,1452=21,75



c)
P_{+}( \overline{D})= \frac{P( \overline{D} \cap +) }{P(+)}= \frac{0,0264}{0,1452}=0,1818=18,18%



d)
Die erste Spalte zeigt ,dass das Gruppenscreening beim ersten Test negativ ausfaellt.
Es ist also keine Positive Urinprobe enthalten.Dies tritt mit der Wahrscheinlichkeit von 0,88^n auf.

Die zweite Spalte zeigt ,dass im Gruppentest mindestens eine positive Urinprobe gefunden wurde.
Somit werden alle einzeln getestet und es sind weitere Tests notwendig.Insgesamt sind es n+1
Tests ,die mit einer Wahrscheinlichkeit von 1-0,88^n auftreten.



Nummer e und f von: --Hellmann (Diskussion) 18:58, 3. Jul. 2014 (CEST)

e)

Gesucht ist der Erwartungswert pro Person!


Erwartungswert für alle:

\mu = \sum_{i=0}^k k_i \cdot P(X=k_i) =1 \cdot 0,88^n+(1+n) \cdot (1-0,88^n)=0,88^n+1-0,88^n+n-0,88^n \cdot n=1+n-0,88^n \cdot n


Erwartungswert pro Person:

 \mu _{Person}=  \frac{\mu}{n} = \frac{1+n-0,88^n \cdot n}{n} = \frac{1}{n} +1-0,88^n=1-0,88^n+\frac{1}{n}


f)

E(n)=1-0,88^n + \frac{1}{n}

Beschriftung: y-Achse=E(n) und x-Achse=n


Es gibt zwei verschiedene Lösungsmöglichkeiten der Aufgabe:

1.) mit dem Lineal. Wenn man den Grafen mit einem Lineal nachgeht, stellt man fest, dass dieser seinen Tiefpunkt, wo die Gruppengröße optimal wäre, zwischen 3 und 4 liegt.


2.) mit der Anwendung von Analysis. Denn die erste Ableitung kann genutzt werden, um rechnerisch den Tiefpunkt der Funktion E(x) herauszufinden.

Dafür gilt dann die Definitionsmenge D_f =\mathbb{R}, damit man die Methoden der Differenzialrechnung anwenden kann.

(Das war in der Kursarbeit natürlich nicht verlangt.--CJSchmitt, Europa-Schule Obermayr (Diskussion) 12:55, 6. Jul. 2014 (CEST))

E'(x)= -0,88^x \cdot ln(0,88) + (-1)x^{-2}=-0,88^x \cdot ln(0,88) - \frac{1}{x^2}


Um herauszufinden, wo ein Extrempunkt der Funktion ist, muss nun die erste Ableitung gleich null gesetzt werden.

-0,88^x \cdot ln(0,88) - \frac{1}{x^2} =0


Grafische Lösung:

Grafik der Ableitung E'(x):

grafik zur aufgabe

Daraus folgt, dass x=3,5 eine Stelle mit waagrechter Tangente ist.ist. Da der Definitionsbereich bei \mathbb{D}=[0;5] liegt, weil nur dieser Abschnitt für E(x) gegeben war, und es außerdem keine negativen Personenanzahlen gibt.


Um herauszufinden, ob dies der gesuchte Tiefpunkt ist, muss E ''(3,5)>0 sein.

E''(x)=-0,88^x  \cdot ln^2(0,88)+ \frac{2}{x^3}

E''(3,5)=-0,88^{3,5} \cdot ln^2(0,88)+ \frac{2}{3,5^3}  \approx 0,04>0


Dadurch kann man berechnen bzw. aus der Grafik herauslesen, dass die optimale Gruppengröße 3,5 ist, also zwischen 3 und 4 liegt.

.Aufgabe Lösungsvorschlag von --Vincent97 (Diskussion) 13:33, 3. Jul. 2014 (CEST)

n=100 p_0=0,2 X: Zahl der fehlenden Studenten

A=[0;22]

\overline{A}=[23;100]

a)

P_{0,2}(X \geq 23)=1-P(X \leq 22)=1-0,7389=26,11%


b)

P_{0,25}(X \leq 22)=28,64%


c)

A=[0;a]

\overline{A}=[a+1;100]

 \alpha =P_{0,2}(X \geq a+1)=1-P(X \leq a) \leq 0,05

0,95 \leq P(X \leq a)

P(X=27)=0,9658

P(X=26)=0,9442

A=[0;27]

\overline{A}=[28;100]

\alpha =P(X \geq 28)=1-0,9658=3,42%

\beta =P_{0,25}(X \leq 27)=72,24%

\alpha wird wesentlich kleiner, da dies sowieso, durch das Signifikanzniveau vorgegeben wurde. Allerdings fällt auf, dass \beta viel größer wird. Das kommt daher, weil beide Fehler zusammenhängen und wenn ein Fehler kleiner wird, wird der andere folglich größer.

.Aufgabe Lösungsvorschlag von --Jugu5797 (Diskussion) 14:59, 6. Jul. 2014 (CEST)

a.)

E_1: Die Augensumme ist 7.

E_1= {(2;5),(3;4),(4;3),(5;2),(6;1),(1;6)}

E_1=6

E_2: Beider Kugeln Nummern sind unter 4.

E_2 ={(1;1),(1;2),(1;3),(2;1),(2;2),(2;3),(3;1),(3;2),(3;3)}

E_2=9

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b.)

Gesamt Kombinationsmöglichkeiten: 8\cdot 6=48

P(E_1)= \frac {6}{48}= \frac {1}{8}

P(E_2)=\frac {9}{48}=\frac {3}{16}

E_1 \cap E_2 = {()}

P(E_1 \cap E_2)=0

P( E_1 \cup E_2)= \frac {6}{48} + \frac {9}{48}= \frac {15}{48}= 31,25%

________________________________________

c.)

P(E_1 \cup E_2)= P(E_1) + P(E_2) + P(E_1 \cap E_2)

oder

P(A \cup B)= P(A) + P(B) + P(A \cap B)

Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigungsmenge ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A addiert mit der Wahrscheinlichkeit für das Ereignis B und subtrahiert mit der Wahrscheinlichkeit für die Schnittmenge von Ereignis A und B.

________________________________________

d.)

Mit der Wahrscheinlichleit von \frac {11}{16} muss der Besitzer des Spiels keine 2 Euro dem Spieler geben. (1- \frac {5}{16}=\frac {11}{16})

Das bedeutet, dass der Spieler mit einer Wahrscheinlichkeit von über 50% sein Geld los wird anstatt 1 Euro dazu zu gewinnen. Dauerhaft wäre es also kein Günstiges Spiel für ihn, da er mehr Geld los werden würde als welches zu Gewinnen.

.Aufgabe Lösungsvorschlag von --Hellmann (Diskussion) 19:52, 3. Jul. 2014 (CEST)

Allgemeine Formel für den Erwartungswert:

 \mu = \sum_{i=1}^n  x_i \cdot P(X=x_i)


Daraus folgt für n=4 und p=0,3:


x 1 2 3 4
P(X=x) {4 \choose 1} \cdot 0,3 \cdot 0,7^3=0,4116 {4 \choose 2} \cdot 0,3^2 \cdot 0,7^2=0,2646 {4 \choose 3} \cdot 0,3^3 \cdot 0,7=0,0756 {4 \choose 4} \cdot 0,3^4=0,0081


\mu = 1 \cdot 0,4116 + 2 \cdot 0,2646 + 3 \cdot 0,0756 + 4 \cdot 0,0081=0,4116+0,5292+0,2268+0,0324=1,2


\Rightarrow: \mu=n \cdot p= 4 \cdot 0,3=1,2



.Aufgabe Lösungsvorschlag von --Hellmann (Diskussion) 19:32, 3. Jul. 2014 (CEST)

n=100; p=0,96

Der Erwartungswert ist 96, aber der Koch will 98 Essen vorbereiten. Um dessen Begründung zu verstehen werden zunächst ein paar Wahrscheinlichkeiten benötigt.


P(X>98)=1-P(X  \leq 98)=1-0,9128=8,72%


P(X<98)=P(X  \leq 97)=0,7679=76,79%


\rightarrow Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 98 Leute essen ist sehr gering, wogegen die Wahrscheinlichkeit, dass weniger als 98 essen relativ hoch ist. Noch höher ist allerdings die Wahrscheinlichkeit, dass 98 Leute oder weniger essen, denn:

P(X  \leq 98)=0,9128=91,28%


P(X=99)=7,02%

P(X=97)=19,73%


\Rightarrow Der Koch hat sich entschieden lieber mehr Essen als 96 zu machen, damit niemand leer ausgeht. Allerding muss er auch darauf achten, dass er trotzdem keinen zu großen "Verlust" macht, indem er zu viele Essen hat und welche wegschmeißen muss.

Daher hat er sich für 98 entschieden, da die Wahrscheinlichkeit, dass mehr Leute essen mit unter 10% sehr gering ist und somit fast nicht eintrifft. Außerdem ist die Wahrscheinlichkeit, dass 97 Leute essen größer als die, dass 99 Leute essen, was dazu führt, dass 98 sozusagen eine goldene Mitte darstellt, bei der der Koch in den meisten Fällen nicht zu viele, aber auch nicht zu wenige Essen parat hat.


Da diese Aufgabe weit gefächerte Möglichkeiten bietet, kann man diese auch mit der Anwendung des zweiseitigen Testes angehen. (Dies war allerdings bei der Klassenarbeit nicht gefordert!)

n=100; p=0,96

Dabei kann man z.B. eine Signifikanz von 10% verlangen, um zu sehen, ob 98 dabei im Annahme- oder Ablehnungsberiech ist.

 \alpha  =10%:

A=[a;b]

P(X \leq a-1) \leq 0,05

P(X \leq 92) =0,0475

a=93

P(X \leq b) \geq 0,95

P(X \leq 98) = 0,9128

b=98

daraus folgt: A=[93;98]

Daran sieht man, dass die 98 bei einer Signifikanz von 10% im Annahmebereich ist. Dies zeigt, dass davon ausgegangen wird, dass die Trefferwahrscheinlichkeit 0,96 ist und 96 erwartet werden, aber es trotzdem 98 sein können, da Die Hypothese bei 98 Essen nicht abgelehnt, sondern angenommen wird.