Protokolle vom Juni 2014

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Schülerbeitrag
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Schülerbeiträge.

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Inhaltsverzeichnis

Protokoll vom 06.06.14 Thema: Erwartungswert bei der Binomialverteilung

Protokoll von: --Hellmann (Diskussion) 12:08, 8. Jun. 2014 (CEST) (Schuljahr 2013 / 14)
Lehrer C.-J. Schmitt (3 Unterrichtsstunden)
verbessert von:

Hausaufgaben vom 30.05.14

S.344 #8

Grafik zur Aufgabe

S.344 #5

a) X= Zahl der Köpfe/ Zahlen; p=0,5

b) X= Zahl der 6 (bzw. eine der anderen Zahlen); p=1/6

c) X= Zahl der (nicht) funktionierenden Maschinen; p

d)X= Zahl der wirkenden Arznei; p (Allerdings kann die Wirkung der Arznei auch durch Krankheitet etc. von verschiedenen Personen beeinflusst werden, was dazu führt, dass der Versuch nicht mehr unabhängig wäre.)


S.346 #1

n=15; p=0,2


a) P(X=4)=18,76%

P(X \le 4)=83,58%


b) P(X \ge 3)=60,20%


c) P(1 \le X \le 5)=90,37%

P(X \le 1 \vee X \ge 5)=33,13%



S.346 #3

n=16; p=0,9; unabhängig


a) X= Zahl der Zwiebeln, die Keimen.


b) 1: P(X=16)=18,53%

2: P(X=14)=27,45%

3: P(X \ge 14)=78,92%

4: P(X \le 13)=21,08%

5: P(12 \le X \le 15)=79,77%



S.347 #4

n=20; p=0,75


a) X= Zahl der Leute, die essen gehen.


b) 1: P(X=15)=20,23%

2: P(X<15)=38,28%

3: P(X>15)=41,48%

4: P(10<X<16)=57,13%

5: P(X<10 \vee X>16)=22,91%


c)  \mu =n \cdot p=20 \cdot 0,75=15

P(X \le 16)=77,48%



S.346 #5

p=0,03; X= Zahl der defekten Schrauben; unabhängig


A: n=10

P(X=0)=73,74%


B: n=20

P(X \ge 1)=45,62%


C: n=50

P(X>1)=44,47%



S.346 #11

n=100; p=0,02; X= Zahl der defekten Schalter; unabhängig


A: P(X=4)=9,02%

B: P(X \le 3)=85,90%

C: P(X \le 5)=98,45%

D: P(E)=0,0001%

E: P(E)=0,0055%



"Multiple Choice Aufgabe" (statt HÜ)

Das Ablesen der Daten aus der Tabelle der Summenverteilung der Binomialverteilung wird überprüft (Inhalt der letzten Unterrichtsstunden).


Es gibt 10 Fragen mit jeweils 3 Antwortmöglichkeiten und der Kandidat weiß keine einzige Antwort und muss deswegen alle Antworten raten.

n=10; p=1/3; X= Zahl der richtigen Antworten


P(X=5)=13,66%

P(X=6)=5,69%

P(X=7)=1,63%

P(X=8)=0,30%

P(X=9)=0,03%

P(X=10)=0,00%


P(X>5)=1-P(X \le 5)=1-0,9234=7,66%=P(X=6)+P(X=7)+...+P(X=10)


 \mu =n \cdot p=10 \cdot  \frac{1}{3}= \frac{10}{3}


Anfang des Beweises für den Erwartungswert bei der Binomialverteilung

Als Beispiel wurde n=4 verwendet (zur Veranschaulichung)

Vermutung:

 \mu = \sum_{i=0}^n  p_i \cdot x_i


B_{4;p}(k)= {4 \choose k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{4-k}

k 0 1 2 3 4
P(X=k) (1-p)^4 4 \cdot p \cdot (1-p)^3 6 \cdot p^2 \cdot (1-p)^2 4 \cdot p^3 \cdot (1-p) p^4


 \mu =4 \cdot p \cdot (1-p)^3 + 12 \cdot p^2 \cdot (1-p)^2 +12 \cdot p^3 \cdot (1-p) +4 \cdot p^4= (4p \cdot (1-3p+3p^2 -p^3))+(12p^2 -24p^3 +12p^4)+(12p^3-12p^4)+4p^4

=4p-12p^2+12p^3-4p^4+12p^2-24p^3+12p^4+12p^3-12p^4+4p^4=4p




Annahme:

A(n): (a+b)^n= \sum_{i=0}^n  {n \choose i} \cdot a^i \cdot b^{n-i}

\rightarrow binomischer Leersatz

(siehe S.311 #12)


Beispiel:

A(2): (a+b)^{2}=  {2 \choose 0} \cdot a^0 \cdot b^{2}+ {2 \choose 1} \cdot a \cdot b +{2 \choose 2} \cdot a^2 \cdot b^0= b^2 +2ab+a^2


Behautung:

A(n) \Rightarrow A(n+1)

A(n+1): (a+b)^{n+1}= \sum_{i=0}^{n+1}  {n+1 \choose i} \cdot a^i \cdot b^{n+1-i}


Nun wird die Behautung mit der Strategie RT=LT bewiesen:

RT:  \sum_{i=0}^{n+1}  {n+1 \choose i} \cdot a^i \cdot b^{n+1-i}= \sum_{i=0}^{n}  {n+1 \choose i} \cdot a^i \cdot b^{n+1-i}+ {n+1 \choose n+1} \cdot a^{n+1} \cdot b^0=\sum_{i=0}^{n}  {n+1 \choose i} \cdot a^i \cdot b^{n+1-i}+a^{n+1}


setze: n+1=m


=\sum_{i=0}^{m-1}  {m \choose i} \cdot a^i \cdot b^{m-i}+a^{m}

Nun wird der Summenoperator von m-1 auf m verändert, damit man den binomischen Leersatz anwenden kann. Gleichzeitig muss aber auch die Wahrscheinlichkeit von P(X=m) abgzogen werden, da die Binomialverteilung ursprünglich nur bis m-1 läuft und nicht bis.

=\sum_{i=0}^{m}  {m \choose i} \cdot a^i \cdot b^{m-i}-{m \choose m} \cdot a^m \cdot b^0+a^m=(a+b)^m-a^m+a^m=(a+b)^m=(a+b)^{n+1}=LT


q.e.d.




Summe der Wahrscheinlichkeiten

 \sum_{k=0}^n P(X=k)=  \sum_{k=0}^n {n \choose k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}=(p+1-p)^n=1^n=1=100%

Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ergibt 100%.



Erwartungswert bei der Binomialverteilung (Beweis)

Nun werden die vorher erarbeiteten Formeln angewandt, damit unsere Vermutung bewiesen werden kann.

(für nähere Erklärung siehe AB von Arthur Usings Referat!)


\mu = \sum_{k=0}^n p_k \cdot k=  \sum_{k=0}^n {n \choose k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \cdot k= \sum_{k=0}^n  \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \cdot k=(n \cdot p) (  \sum_{k=0}^n  \frac{(n-1)!}{k! \cdot (n-k)!} \cdot p^{k-1} \cdot (1-p)^{n-k} \cdot k)

=(n \cdot p) ( \sum_{k=1}^n  \frac{(n-1)!}{(k-1)! \cdot (n-k)!} \cdot p^{k-1} \cdot (1-p)^{n-k})


Setze: k-1=m

und n-1=r


=(n \cdot p) ( \sum_{m=0}^r  \frac{r!}{m! \cdot (r-m)!} \cdot p^m \cdot (1-p)^{r-m})= (n \cdot p) (\sum_{m=0}^r {r \choose m} \cdot p^m \cdot (1-p)^{r-m}=(n \cdot p) \cdot (p+1-p)^r=n \cdot p


q.e.d.


Testen von Hypothesen

in dubio reo (im Zweifel für den Angeklagten)

Hypothese: Er ist unschuldig

Hypothese stimmt Annahme: ok Ablehnung: Fehler 1. Art (\alpha)
Hypothese stimmt nicht Annnahme: Fehler 2. Art (\beta) Ablehnung: ok


1. Wenn die Hypothese, dass der Angeklagte unschuldig ist stimmt und der Richter die Hypothese auch annimmt, dann ist alles ok, da der Unschuldige freigesprochen wird.

2. Wenn der Angeklagte aber unschuldig ist und der Richter ihn trotzdem bestraft, dann ist dies ein Fehler 1. Ordnung, da ein Unschuldiger falscherweise schuldig gesprochen wurde.

3. Ist der Angeklagte schuldig aber wird trotzdem freisgesprochen, so ist dies ein Fehler 2. Ordnung, da ein Schuldiger nicht bestraft wird. Allerdings ist dieser Fehler nur 2. Ordnung, da der in Nummer 2 beschriebene Fehler schlimmer ist.

4. Wenn ein Angklagter schuldig ist und vom Richter schuldig gesprochen wird, so ist alles ok, da der Straftäter seine gerechte Strafe bekommt.



Hausaufgaben für den 11.06.14

S.346 #2, (6, 7), 12, 13, 14

S.364-365 und Skript lesen

Ziegenproblem im Wiki bearbeiten!!!

Protokoll vom 11.6.2014 Thema: Testen von Hypothesen

Protokoll von: --Vincent97 (Diskussion) 20:34, 11. Jun. 2014 (CEST) (Schuljahr 2013 / 14)
Lehrer C.-J. Schmitt (2 Unterrichtsstunden)
verbessert von: --Vincent97 (Diskussion) 18:49, 13. Jun. 2014 (CEST)

Lösungen der Hausaufgaben vom 06.06.

Seite 346:

2. a)

P(X=4)=9,11%

P(X \leq 4)=15,15%

P(X  \geq  3)=92,84%

P(1 \leq X   \leq 5)=29,69%

P(1 \leq X   oder X  \geq 5)=85,18%

b)

P(X=4)=17,06%

P(X \leq 4)=81,79%

P(X  \geq  3)=58,02%

P(1 \leq X   \leq 5)=87,16%

P(1 \leq X   oder X  \geq 5)=37,67%


12.

P(X > 4)=12,09%

P(X > 6)=22%

P(X > 10)=41,64%


13. a)

P(X \geq 1)=1-P(X=0)=1-(1-0,0186)^6=10,65%

b)

P(X \geq 1)=67,58%

c)

Durch Probieren kamen wir auf die Werte 123 und 124. Eine Rechnung hat das gleiche ergeben:

n \geq 123


14. a)

P_{p=0,02}(X \geq 1)=18,29%

b)

P_{p=0,04}(X \geq 1)=33,52%

P_{p=0,01}(X \geq 1)=9,56%

c) P(X \geq 1)=1-P(X=0)=1-(1-p)^{10}

14C Graf.jpg

Testen von Hypothesen

Einführung und Begriffserklärungen

Jemand behauptet, dass er mit 60% Trefferwahrscheinlichkeit giftige von ungiftigen Pilzen unterscheiden könne.

Nun muss die Hypothese so aufgestellt werden, dass der Fehler I. Art (\alpha) dort ist, wo die Hypothese stimmt, der schlimmere Fehler ist.

Die Hypothese kann man auf zwei verschiedene Weisen formulieren:

  1. Er kann es.
  2. Er kann es nicht.

Wir haben uns für die zweite Hypothese entschieden, da dort der schlimmere Fehler wäre. Man würde vergiftet werden, da man sie ablehnt, obwohl sie stimmt.

Hypothese annehmen Hypothese ablehnen
Hypothese stimmt (Nullhypothese Ho) ok Fehler I. Art, vergiftet
Hypothese falsch (Alternativhypothese H1) Fehler II. Art, er könnte es, aber man glaubt ihm nicht ok

Die Nullhypothese hat die Wahrscheinlichkeit p=0,5 , da wir ihm nicht glauben und bei jedem Pilz er mit 50% richtig liegen kann, dass er Pilz ungiftig ist. Die Alternativhypothese besagt das wir ihm glauben. Damit hat sie die von ihm angegebene Wahrscheinlichkeit p=0,6. Weil man von der niedrigeren Wahrscheinlichkeit auf die höhere schließt, ist diese Verfahren ein rechtseitiger Test. \alpha ist die Irrtumswahrscheinlichkeit oder auch Signifikanzniveau genannt. Diese Wahrscheinlichkeit wird meistens unter 10% gehalten, da bei ihr der Fehler I. Art eintreten würde und dies der schlimmere Fehler ist, den man vermeiden möchte.


Berechnung des Beispiels

Ho: p=0,5 , n=100 , \mu=50 , X: Zahl der ungiftigen Pilze

Annahmebereich: A=[0;50]

Ablehnungsbereich: \overline{A}=[51;100]

\alpha =P_{p=0,5}(X \geq 51)=1-P(X \leq 50)=1-0,5398=46,02%

Die Wahrscheinlichkeit, die wir ausgerechnet haben, gibt an, dass man denkt er kann es, obwohl er es nicht kann. Dies ist der schlimmere Fehler und der ist mit 46% noch viel zu hoch. Der Fehler II. Art ist dafür aber sehr gering:

 \beta =P_{p=0,6}(X \geq 50)=2,71%

Da wir aber den schlimmeren Fehler verringern möchten, ändern wir den Annahmebereich.


A=[0;60]

\overline{A}=[61;100]

\alpha =P_{p=0,5}(X \geq 61)=1-P(X \leq 60)=1-0,9814=1,76%

 \beta =P_{p=0,6}(X \geq 60)=53,79%

Diesmal ist der schlimmere Fehler sehr klein, also genauso wie wir es wollen. Dafür ist der andere Fehler hoch. Beide Fehler hängen also zusammen. Da man nicht alle Zahlen durchprobieren will, bis man auf die bestmögliche Zahl kommt, an der beide Fehler annehmbar sind, setzt man a als Grenze für den Annahmebereich ein. Jetzt kommt auch das Signifikanzniveau ins Spiel, das den Fehler I. Art begrenzt. In diesem Fall liegt es bei 10%.

A=[0;a]

\overline{A}=[a+1;100]

\alpha =0,1

 \alpha   =P_{p=0,5}(X \geq a+1) \leq 0,1

1-P(X \leq a) \leq 0,1

0,9 \leq P(X \leq a)

Nun muss man nur noch aus der Tabelle ablesen welcher Wert auf a zutrifft.

a=56

P(X \leq 56)=0,9033

\alpha =P_{p=0,5}(X \geq 57)=1-P(X \leq 56)=1-0,9033=9,67%

 \beta =P_{p=0,6}(X \geq 56)=23,65%


Nun haben wir das Signifikanzniveau auf 5% gesenkt.

 \alpha   =P_{p=0,5}(X \geq a+1) \leq 0,05

1-P(X \leq a) \leq 0,05

Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): \0,95 \leq P(X \leq a)


P(X \leq 58)=0,9033

\alpha =P_{p=0,5}(X \geq 59)=1-P(X \leq 58)=1-0,9557=4,43%

 \beta =P_{p=0,6}(X \geq 58)=37,75%

Auch hier sieht man wie die beiden Fehler zusammenhängen und der Fehler II. Art größer wird.


Am Ende der Stunde haben wir nochmal eine Übersicht über alle Annahmebereiche und deren Fehler gemacht.

Ablehnung ab \alpha \beta
51 43,02% 2,71%
61 1,76% 53,79%
55 13,56% 17,89%
57 9,67% 23,65%
59 4,43% 37,75%

Hausaufgaben für den 13.06.

  • Übungsblatt 5, Nr. 3 (Ho, p=0,25 , H_1= \frac{1}{3}), 13-15
  • Seite 348 Nr. 13c, 14c
  • Seite 365 Nr. 1

Protokoll vom 13.06.14 Thema: Anwendungen zu Signifikanztests

Protokoll von: --Marius95 (Diskussion) 17:09, 13. Jun. 2014 (CEST) (Schuljahr 2013 / 14)
Lehrer C.-J. Schmitt (3 Unterrichtsstunden)
verbessert von:--Marius95 (Diskussion) 21:23, 17. Jun. 2014 (CEST)

Lösungen der Hausaufgaben vom 11.06.

Seite 348

A13 c)

P(X \geq 1)=1-P(X=0)=1-0,9814^{n} \ \ \ \  \mapsto n_{0}=123


A14 c)

P(X \geq 1)=1-P(X=0)=1-(1-p)^{10}

14C Graf.jpg

Seite 365

A1 a)

\alpha =1-P_{0,5}(X \leq 17)=2,16%


b)

\beta =P_{0,6}(X \leq 17)=84,64%

\beta =P_{0,75}(X \leq 17)=27,35%

\beta =P_{0,9}(X \leq 17)=0,23%


c) mit Signifikanz 10 %

 \alpha =P_{0,5}(X \leq 18)=0,23%

\beta=P_{0,6}(X \leq 18)=92,64 %

\beta =P_{0,75}(X \leq 18)=43,89%

 \beta =P_{0,9}(X \leq 18)=0,95%


d)

\alpha =P_{0,5}(X \leq 58)=4,43%

\beta =P_{0,6}(X \leq 58)=37,75 %

 \beta =P_{0,75}(X \leq 58)=0,001%

 \beta =P_{0,9}(X \leq 58)=0,00%


Übungsblatt Nr.5

A 3)

A \ [0;32]

b)

Bei 25-maligen Eintreten würde man die Nullhypothese annehmen, d.h. man nimmt an, dass die Trefferwahrscheinlichkeit 25% beträgt.


A 13)

Fehler 1. Art (zu vermeiden): Der Pilz ist giftig, er lehnt diese Hypothese aber ab!

Fehler 2. Art (weniger schlimm): Der Pilz ist eigentlich nicht giftig, er nimmt die Hypothese an, dass er giftig ist, trotzdem an!


A 14)

Hypothese: Medikament A ist besser als B

Fehler 1. Art: Hypothese ist richtig, die Aärztin lehnt sie ab und gibt damit ggf. das schlechtere Medikament!

Fehler 2. Art: Hypothese ist falsch, die Ärztin nimmt sie trotzdem an, was nicht weiter schmlimme Folgen hätte, da ja beide Medikamente gleich sein sollen !


A 15)

a)

\overline{A} \  [47;100]


b)

\beta =P_{0,5}(X \leq 46)=24,21%


Praktische Handhabung

Bei Aufgaben, bei denen es sich um Signifikanztests handelt, werden meist die Irrtumswahscheinlichkeit, bzw. das Signifikanzniveau, sowie mindestens der Annahme- oder Ablehnungsbereich der Werte für "X" angegeben. Zum Beispiel...


\alpha  < 5% \ \ \ [Signifikanzniveau]


\overline{A}=[59;100]  \ \ \ [Ablehnungsbereich]


\Rightarrow P(X   \epsilon   \overline{A})  \ \ \ [Wahrscheinlichkeit, \ dass \ X \ im \ Ablehnungsbereich \ ist]


Daraus folgt:


P(X  \epsilon  \overline{A}) \leq  0,05 \ \  \Rightarrow P(X \epsilon A) \geq 0,95


Anwendungsbeispiel "Zu schnell fahren"

Linksseitiger Hypothesentest


Nehmen wir an, wie haben eine beruhigte Straße oder eine Fußgängerzone, in der man nur mit Schritttempo durchfahren dürfte. Nun wird die Nullhypothese H0 aufgestellt, dass 50% der Fahrer zu schnell fahren würden. Jemand anderes stellt die Alternativhypothese H1 auf, dass 30 % zu schnell fahren (so galt es bisher).


H_{0} \ : \ p=0,5

H_{1} \ : \ p=0,3


Die Polizei muss entscheiden, ob sie die Hypothesen an- oder abnimmt. Dabei wäre der schlimmere Fehler, Fehler 1. Art, vorallem für die Kinder, wenn die Nullhypothese H0 abgelehnt werden würde und somit keine Radarkontrollen eingeführt werden würden.

Dagegen wäre die Meinung, dass die Nullhypothese H0 nicht stimmt, weniger schlimm, da dann die Alternativhypothese H1 als richtig angesehen werden würde und somt Radarkontrollen eingeführt werden würden. Dies lässt sich in einer Tabelle gut darstellen:


Nullhypothese \ H_{0}: \ p = 0,5 Hypothese Annehmen Hypothese Ablehnen
Stimmt Ok Fehler I. Art = \alpha kein Radar
Stimmt nicht Fehler II. Art = \beta Radar Ok


Nun muss ein Hypothesentest gemacht werden. Zur weiteren Anwendung nehmen wir an, dass wir 100 Autofahrer überprüfen, die mit einer angenommenen 50-prozentigen Wahrscheinlichkeit zu schnell fahren. Der Erwartungswert dabei, sind somit 50 zu schnell fahrende Autos...


n=100 \ \ \ p=0,5 \ \ \ \mu =50

A=[46;100]

\overline{A} =[0;45]


Zum Berechnen vom Fehler I. Art benutzen wir den Ablehnungsbereich:


\alpha =P_{0,5}(X \leq 45)=18,41%

Wir lehnen H0 ab, aber auch bis p=0,5 gibt es eine Wahrscheinlichkeit für X \leq 45.


Zum Berechnen vom Fehler II. Art benutzen wir den Annahmebereich und die Wahrscheinlichkeit für die Alternativhypothese:


\beta = P_{0,3}(X \geq 46)=1-P(X \leq 45)=0,05%


Man erkennt, dass die Wahrscheinlichkeit für den schlimmeren Fehler I.Art wesentlich höher liegt, als die des weniger schlimmeren Fehlers II.Art. Um die Wahrscheinlichkeit für den Fehler I. Art zu verringern, muss man den Ablehnungsbereich verringern. Dadurch wird logischerweise der Annahmebereich und damit auch der Fehler II. Art größer.

Wir haben dies schrittweise gemacht...


1.)

\overline{A}=[0;42]

\alpha =P_{0,5}(X \leq 42)=6,66%

\beta = P_{0,3}(X \geq 43)=1-P(X \leq 42)=0,4%


2.)

\overline{A}=[0;40]

\alpha =P_{0,5}(X \leq 40)=2,84%

\beta = P_{0,3}(X \geq 41)=1-P(X \leq 40)=1,25%


3.)

\overline{A}=[0;37]

\alpha =P_{0,5}(X \leq 37)=0,6%

\beta = P_{0,3}(X \geq 38)=1-P(X \leq 37)=5,3%



Man sollte aber auch wie folgt ein Signifikanzniveau festlegen, worunter die Wahrscheinlichkeit für den Fehler I. Art liegen muss.

Wir haben das Signifikanzniveau in 2 Schritten verringert...


1.)

 \alpha  \leq 10%


\overline{A}=[0;a]

A=[a+1;100]


 \alpha=P_{0,5}(X \leq a)  \leq ^{!} 0,1=10%

P(X \leq 43)=9,67%


Um den Wert für \alpha zu bestimmen schaut man in die Tabelle für Binomialverteilung/Summenverteilung. Man sucht hier für die gegebene Wahrscheinlichkeit p und der Stichprobenanzahl n einen Wert, der unterhalb des Signifikanzniveaus, hier unter 10% liegt. Dieser Wert zeigt in Dezimalen die Wahrscheinlichkeit für den Fehler I. Art!


\overline{A}=[0;43]

{A}=[44;100]


\alpha =P_{0,5}(X \leq 43)=9,67%

\beta = P_{0,3}(X \geq 44)=0,21%


2.)

 \alpha  \leq 5%


\overline{A}=[0;a]

A=[a+1;100]


 \alpha=P(X \leq a)  \leq ^{!} 0,05

P_{0,5}(X \leq 41)=4,43%


\overline{A}=[0;41]

{A}=[42;100]


\alpha =P_{0,5}(X \leq 41)=4,43%

\beta = P_{0,3}(X \geq 42)=0,72%


Letztendlich stellen wir fest, dass die Wahrscheinlichkeit für den Fehler I. Art durch Verringerung des Ablehnungsbereichs oder des Signifikanzniveaus verkleinert werden kann.


Anwendungsbeispiel "Gezinkter Würfel"

Rechtsseitiger Hypothesentest

Glücksspiele verleiten einen dazu, Kontrolle über sie erlangen zu wollen, um fälschlicherweise mehr Glück zu haben und damit seinen Gegner zu übertrumphen. Dies kann man zum Beispiel durch einen gezinkten Würfel. Gehen wir davon aus, dass es in dem Glückspiel darum geht eine Sechs zu werfen und man hat 10 Würfe.

Eine passende Nullhypothese H0wäre: Die 6 kommt nicht öfter vor.


Die Alternativhypothese H1 könnte dann lauten: Die 6 kommt öfter vor.

Zu jeder Hypothese denken wir uns eine Wahrscheinlichkeit aus. Willkürlich wählen wir einen Annahme- und Abnahmebereich aus:


H_{0} \ : \ p= \frac{1}{6}

H_{1} \ : \ p= \frac{1}{3}

n= 10 \ \ \  \mu =1,6


A=[0;2]

 \overline{A} =[3;10]


Wir möchten nun auch wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass wir die Tatsache, dass der Würfel gezinkt ist, ablehnen.

\alpha =P_{ \frac{1}{6} }(X \geq 3)=1-P_{ \frac{1}{6} }(X  \leq  2)=22,58%


Sie liegt mit 22,58 % noch ziemlich hoch, weshalb wir einmal den Ablehnungsberich verkleinern, ein anderes mal das Signifikanzniveau...


1.) Ablehnungsbereich verringern


\overline{A}=[4;10]

\alpha =P_{ \frac{1}{6}}(X \geq 4)=1-P_{ \frac{1}{6}}(X \leq 3)=6,97%


\beta =P_{ \frac{1}{3}} (X \leq 3)=55,93%


2.)Signifikanzniveau verringern


\alpha  \leq 0,01

P_{ \frac{1}{6}}(X \geq a) \leq 0,01

1-P_{ \frac{1}{6}}(X  \leq a) \leq 0,01

0,99 \leq P_{ \frac{1}{6}}(X \geq a)

a = 5


\overline{A} =[6;10]

\alpha =P_{ \frac{1}{6}}(X \geq 6)=0,24 %


\beta =P_{ \frac{1}{3}} (X \leq 5)=92,34%


Nun beträgt die Wahrscheinlichkeit für den Fehler I. Art nur noch 0,24 %. Stattdessen hat die Wahrscheinlichkeit für den Fehler II.Art zugenommen von 55,39% auf 92,34% !


Hausaufgaben zum 18.06.

Seite 366 A4,5 (6a)

Seite 362 A1 a)-d), A2 b)+d), A3 a)+ c), A6

Seite 365 A1 c) mit 10%

--Marius95 (Diskussion) 21:14, 13. Jun. 2014 (CEST)

Protokoll vom 18.06.14 Thema: Hypothesentest in Abhängigkeit vom Umfang der Stichprobe

Protokoll von:--Jugu5797 (Diskussion) 21:31, 25. Jun. 2014 (CEST) (Schuljahr 2013 / 14)
Lehrer C.-J. Schmitt (2 Unterrichtsstunden)
verbessert von:--Jugu5797 (Diskussion) 21:31, 25. Jun. 2014 (CEST)

Hausaufgaben vom 13. Juni.2014

Buch S.366

Aufgabe 4

a.)

n=100

rechtsseitiger Test

Hypothese: Der Ausschlussanteil ist 3%

-> p_0=0,03

Alternativ:Der Ausschlussanteil liegt größer 3%

-> p_1>0,03

_________________________________________


b.)

Bei einem Signifikanzniveau von kleiner gleich 5% ergibt sich der folgende Annahmebereich und Ablehungsbereich der Hypothese:

A=[0;6]

\overline{A}=[7;100]

Daraus ergeben sich die Werte 3,12% für den Fehler Erster Art \alpha und 89,36& für den Fehler Zweiter Art \beta.

________________________________

Aufgabe 5

a.)

n=20

rechtsseitiger Test

Hypothese: Er kann es nicht und rät nur.

-> p_0=0,5

Alternative: Er kann es wirklich.

-> p_1=0,6;0,7;0,8;0,9

Bei einem Signifikanzniveau von 5% ergibt sich der folgende Annahmebereich und Ablehnungsbereich.

A=[0;14]

\overline{A}=[15;20]

_______________________________

b.)

Bei 13 wird die Hypothese angenommen.

_______________________________

c.)

P_{0,6}(X\leq 14)=87,44%

P_{0,7}(X\leq 14)=58,36%

P_{0,8}(X\leq 14)=19,58%

P_{0,9}(X\leq 14)=1,13%

________________________________

Buch S.362

Aufgabe 1

a.)

rechtsseitig \quad p_0=0,5  \quad n=50 \quad \alpha \leq 5%

A=[0;31]

\overline {A}=[32;50]

\rightarrow \alpha=3,25%

______________________________________

b.)

linksseitig \quad p_0=0,5 \quad n=50 \quad \alpha \leq 5%

A=[19;50]

\overline {A}= [0;18]

\rightarrow \alpha=3,25%

____________________________________

c.)

rechtsseitig \quad p_0=0,5  \quad n=50 \quad \alpha \leq 1%

A=[0;33]

\overline {A}=[34;50]

\rightarrow \alpha =0,77%

________________________________________

d.)

linksseitig \quad p_0=0,5 \quad n=50 \quad \alpha \leq 1%

A=[28;50]

\overline {A}=[0;27]

\rightarrow \alpha=4,24%

______________________________________

Aufgabe 2

b.)

linksseitig \quad p_0=0,5 \quad n=25 \quad \alpha \leq 1% \quad k=10


A=[7;25]

\overline {A}=[0;6]

\rightarrow 10 liegt im Annahmebereich.

_______________________________________

d.)

linksseitig \quad p_0=0,5 \quad n=100 \quad \alpha \leq 5% \quad k=40

A=[42,100]

\overline {A}=[0;41]

\rightarrow 40 liegt im Ablehnungsbereich

_______________________________________

Aufgabe 3

a.)

linksseitig \quad p_0=0,5 \quad n=100 \quad \alpha \leq 5%

A=[42;100]

\overline {A}=[0;41]

\rightarrow \alpha= 4,43%

_______________________________________

c.)

rechtsseitig \quad p_0=0,5 \quad n=100 \quad \alpha \leq 5%

A=[0;58]

\overline {A}=[59;100]

\rightarrow \alpha = 4,43%

________________________________________

Aufgabe 6

a.)

Die Stadtverwaltung wird rechtsseitig testen.

Hypothese: 75% der Bürger stimmen zu.

Alternative: Mehr als 75% der Bürger stimmen zu.

n=100 \quad H_0: P=0,75 \quad H_1: p=0,8 \quad \alpha \leq 5%

A=[0;82]

\overline {A}=[83;100]

__________________________________________

b.)

Die Bürgerinitiative wird linksseitig testen.

Hypothese :75% der Bürger stimmen zu.

Alternative: Weniger als 75% der Bürger stimmen zu.

n=100 \quad H_0: p=0,75 \quad H_1: p=0,7 \quad \alpha \leq 5%

A=[68;10]

\overline {A}=[0;67]

__________________________________________

c.)

Die Schnittmenge der Annahmebereiche von dem Test der Stadtverwaltung und dem Test der Bürgerinitiative ist der Bereich wo beide Hypothesen angenommen werden.

Das heißt:

A:[68;82]

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Fazit Würfel

Nachdem wir in der letzten Stunde uns mit der Hypothese, ob der Würfel gezinkt ist, beschäftigt haben, haben wir in dieser Stunde den Hypothesentest erweitert, indem wir statt n=10 n=50 und n=100 verwendet haben

Zunächst haben wir die "Formel", um bei einenem Signifikanzniveau von 1% den Ablehungs- und Annahmebereich auszurechnen, für diese Aufgabe herausgehoben:

P_{\frac{1}{6}}(x \leq (a-1)) \geq 0,99

Somit konnen wir dann die Ablehnungsbereiche (und Annahmebereiche),sowie die Fehler 1. und 2.Art berechnen.

n Ablehnung ab: \alpha \beta
10 3 22,48% 5,47%
10 4 6,97% 17,19%
10 6 0,24% 92,34%
50 16 0,57% 36,9%
100 27 0,62% 7,15%

Man erkennt das bei dem vorgegebenen Signifikanzniveau von 1% der Fehler 2. Art kleiner wird. \Alpha bleibt auf Grund der Vorgabe natürlich unter 1%. Der Annahmebereich zieht sich prozentual zusammen, während der Ablehnungsbereich prozentual breiter wird. Der Fehler 2. Art wird kleine da sich der Annahmebereich von \mu entfernt.

Themen für die Klausur

Die Themen für die 4. Klausur am 27.Juni sind die Themen, welche wir seit der Rückgabe der 3.Klausur behandelt haben inklusive des Additionsverfahrens.

Hausaufgaben

Bearbeitung der Musterklausur

Übungsblatt Nummer 8 lösen

Protokoll vom 25.06.14 Thema: Wiederholung und Vorberitung auf die Klausur

Protokoll von:--[[--Schiffert1996 (Diskussion) 23:15, 26. Jun. 2014 (CEST)]] ( (Schuljahr 2013 / 14)
Lehrer C.-J. Schmitt (2 Unterrichtsstunden)
verbessert von:--[]]



Lösung der Hausaufgaben

Die Musterklausur wurde richtig gelöst!

Lösung der Musterklausur



Übungbatt Nr.8
1)

n=20
p=0,15
X=Anzahl der Schwänzer

P(X \geq 2)=1-P(X \leq 1)
=1-(P(X=1)+P(X=0))
=1-({20 \choose0 } \cdot 0,8 ^{20} +{20 \choose1 }\cdot 0,15\cdot 0,85^{19} =82,46%


2)
a)
Folgende Vierfeldertafel lässt sich aus den im Text erhaltenen Informaltionen bilden:

S \bar{S}  Summe
G P(G \cap S)=0,006 P(G \cap  \bar{S} )=0,244 0,25
\bar{G} P( \bar{G}  \cap  S )=0,053 P( \bar{G}  \cap   \bar{S}  )=0,697 0,75
Summe 0,059 0,941 1


Zwischenablage02.jpg


Laut Aufgabenstellung ist P_G(S) gesucht.

Wir wissen, dass P(G \cap S)=P(G)\cdot  P_G(S) ist.

Wendet man dies an, kommt man auf diese Ergebnis:
  P_G(S)= \frac{P(G \cap S)}{P(G)} = \frac{0,006}{0,25} \approx 2,4%


b)
Nun ist nach   P_S(G) gefragt.

Wir wissen, dass P(S \cap G)=P(S)\cdot  P_S(G) ist.

Also kommen wir zu diesem Ergebnis:
P_{S}(G)= \frac{P(S \cap G)}{P(S)}  = \frac{0,006}{0,059}  \approx 10,17%
Da P(S)=5,9% ist, folgern wir, dass es sich hierbei um eine abhängige Rechnung handelt!


Wiederholung

Um den links-und rechtsseitigen Hypothesentest zu widerholen, haben wir weitere Beispiele hierzu gemacht:
Buch S. 362 Nr.4
ADAC:
H_0:p=0,7
H_1:p=0,8
\alpha  \leq 5%
n=100
\mu =70
\mapsto rechtsseitig

A= [0;a]
 \bar{A} = [a+1;100]

P(X \geq a+1)=1-P(x \leq a) \leq 0,05
=0,95 \leq P(X \leq a) \mapsto P(X \leq 7)=95,21%

A= [0;77]
 \bar{A} = [78;100]

\alpha =4,7%
\beta =26,11%


Polizei:
H_0:p=0,7
H_1:p=0,6
\alpha  \leq  5%
 \mapsto linksseitig

A= [a;100]
 \bar{A} = [0;a-1]

P(X \leq a-1) \leq 0,05
P(X \leq 61)=0,034

A= [62;100]
 \bar{A} = [0;61]



 \alpha =3,4%
\beta =38,22%


b) Der ADAC würde ablehnen, während die Polizei die Hypothese annehmen würde.


"2.HÜ-Aufgabe"
Wie oft muss man mindestens würfeln damit man mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% mindestens eine Primzahl zu würfeln?
n=?
k=1
p=0,5

P(X \geq 1) \geq 0,99
=1-P(X=0) \geq 0,99

=0,01 \geq 0,5^n

 \frac{ln(0,01)}{ln(0,5)}  \leq n

=6,64 \leq n

n_0=7


Linksseitiger Hypothesentest:
Berechnen Sie den An- und Ablehnungsbereich für H_0:p= \frac{1}{6} und H_1:p=\frac{1}{10} , sowie den Fehler erster-und zweiter Art.
A=[15;100]
 \bar{A} =[0;14]

 \alpha =28,74%
 \beta =7,25%



A=[13;100]
 \bar{A} =[0;12]

 \alpha =12,97%
 \beta =19,82%


\alpha =P(X \leq a) \leq 0,05
a=10
P(X \leq 10)=4,27%

\beta =P(X \leq 10)=1-0,5832=41,68%

A=[10;100]

 \bar{A} =[0;9]