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Kurzinfo

Schülerbeitrag
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Schülerbeiträge.

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Inhaltsverzeichnis

Elementarer Beweis der Gauß-Formel für ungerade n

Grundgedanke

Der Summand, welcher bei der Summenbildung \sum_{i=1}^{n} i nach dem Einsetzen von n (n muss eine ungerade Zahl sein)am Ende übrigbleibt, kann durch \frac{1+n}{2} berechnen / ersetzen werden. Dabei war \frac{n-1}{2} als Anzahl der Pakete gedacht , und \frac{n+1}{2}wurde als Solo-Summand ohne Partner zu der Rechnung hinzu addiert.

Beispiel n=15

Vorgaben:


n=15


Rechnung:


(15+1)\cdot\frac{15-1}{2} +\frac{15+1}{2}=112+8=120


(1+15)+(2+14)+(3+13)+(4+12)+(5+11)+(6+10)+(7+9)+8=112+8=120


allgemeine Behauptung für ungerade n

\sum_{x=1}^{n} i = (n+1)\cdot\frac{n-1}{2} +\frac{n+1}{2}

Beweis dieser Formel

\sum_{i=1}^{n} i = (n+1)\cdot\frac{n-1}{2} + \frac{n+1}{2}


=\frac{n-1+n^2-n+1+n}{2}


=\frac{n^2+n}{2}


=\frac{n(n+1)}{2}


=\frac{n} {2} \cdot (n+1)


q.e.d

Using Ob 17:33, 11. Aug. 2011 (CEST)