Musteraufgaben

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Schülerbeitrag
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Hier können Lösungsvorschläge eingestellt werden, wenn eine Hausaufgabe nicht so gut gelaufen ist....

--CJSchmitt 14:28, 27. Aug. 2011 (CEST)

Inhaltsverzeichnis

Hausaufgabe zum 17.8.11 (Induktionsbeweis für die Summe der Kubikzahlen)

1^3+2^3+3^3+...+n^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2}\right) ^2

hier habe ich es mal mit den großen Klammern versucht--CJSchmitt 14:38, 19. Aug. 2011 (CEST)


Induktionsanahme:

\sum_{i=1}^{n}i^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2


Induktionsbehauptung:

\sum_{i=1}^{n+1}i^3 = (\frac{(n+1) \cdot (n+2)}{2} )^2

= (\frac{n^2+2n+n+2}{2})^2 = (\frac{n^2+3n+2}{2})^2

= (\frac{n^2+3n}{2}+\frac{2}{2}  )^2 = \frac{n^4+6n^3+9n^2}{4} + (n^2+3n) +1

\sum_{i=1}^{n+1}i^3 = \frac{n^4+6n^3+13n^2+12n}{4} +1

Beweis:

\sum_{i=1}^{n+1}i^3 = \sum_{i=1}^{n}i^3 + (n+1)^3

=(\frac{n(n+1)}{2})^2 + (n+1)^3 = \frac{n^4+2n^3+n^2}{4} + (n+1)^2*(n+1)

=\frac{n^4+2n^3+n^2}{4} +(n^2+2n+1)*(n+1) =\frac{n^4+2n^3+n^2}{4} + n^3+2n^2+n+n^2+2n+1 =\frac{n^4+2n^3+n^2}{4} + \frac{4n^3+12n^2+12n}{4}+1

=\sum_{i=1}^{n+1}i^3 = \frac{n^4+6n^3+13n^2+12n}{4}+1

Carlos 19.8.11


Alterernativer Beweis (hoffentlich leichter nachvollziehbar, da weniger Summenterme ausmultipliziert)

  • Ind. Anfang:

A(1):

LS: 13=1

RS:(1+1)^2 \cdot (\frac{1}{2} )^2=2^2 \cdot \frac{1}{4} =1

  • Ind. Annahme

\sum_{i=1}^{n} i^3=\left( n+1\right) ^2 \cdot \left( \frac{n}{2} \right) ^2

  • Ind.Behauptung

\sum_{i=1}^{n+1} i^3=\left( n+2\right) ^2 \cdot \left( \frac{n+1}{2} \right) ^2

  • Beweis

\sum_{i=1}^{n+1} i^3=\sum_{i=1}^{n} i^3+(n+1)^3 =(n+1)^2 \cdot (\frac{n}{2})^2 +(n+1)^3  =\left( \frac{n+1}{2} \right)^2 \left( n^2+4 \cdot(n+1)\right) =\left( \frac{n+1}{2} \right)^2  (n+2)^2

q.e.d.

--CJSchmitt 20:47, 22. Aug. 2011 (CEST)


Hausaufgaben für den 21.09.2011

Ü3 A1

Am Anfang der Übung ist das Volumen eines Bahnhofes zu bestimmen, welcher aus einem Quader ( Höhe = 8m / Breite = 20 m / Länge = 60m) und einer Säule ( Breite = 20m / Höhe = 10m / Länge = 60m ) besteht.

Im Bahnhof sind zwei Ventilatoren angebracht, welche pro Minute 80m3 Luft austauschen sollen .

Es gilt die Zeit zu bestimmen, welche die Ventilatoren brauchen, um im Bahnhof die komplette Luft auszutauschen.


Anfangs muss man die Formel eines Quaders und einer Säule aufschreiben.

V_S=G\cdot h

V_Q=a\cdot b\cdot c = Grundfläche  \cdot Breite \cdot Höhe


Nun kann man den Flächeninhalt des Quaders bestimmen:

V_Q=8m \cdot 20m \cdot 60m = 9600 m^3

Um den Flächeninhalt der Säule zu berechnen, brauchen wir die Grundfläche und die Höhe.

Während die Höhe uns gegeben ist ( 60m ), müssen wir die Grundfläche noch bestimmen.

Da wir drei Punkte der parabelförmigen Grundfläche kennen, können wir versuchen diese in ein Koordinationssystem übertragen.

Man erkennt unmittelbar, dass die Funktion ihren absoluten Hochpunkt in 10 Metern Höhe hat , und das sie eine Parabelfunktion ist.

Da sie um 10m verschoben ist , kann man die Funktion teilweise bestimmen, jedoch ist der Parameter der Funktion noch zu berechnen.


f(x)=ax^2+10


Um den Parameter zu berechnen , setzen wir einen Punkt ein , welchen wir kennen.

P_1(10|0)


0=a\cdot 100 + 10

0=100a+10 \quad | -10

-10=100a  \quad | : 100

-0,1=a

Unsere Funktion ist daher:

f(x)=-0,1x^2+10


Graphisch dargestellt:

Using Ob Bildschirmfoto 2011-09-24 um 16.37.03.png


Nun gilt es die Fläche zwischen -10 und 10 zu berechnen, welche die Breite (20m) der Säule wiedergibt.

Fläche:

Using Ob Bildschirmfoto 2011-09-24 um 16.55.29.png

Daher müssen wir nun eine Integralrechnung anwenden.


\left|  \int_{-10}^{10} -0,1x^2+10 \,dx \right|


= \left|-\frac{1}{30} \left[ x^3\right]^{10}_{-10}  + 10 \left[x\right]  ^{10}_{-10}   \right|


= \left|-\frac{1}{30} \left( 10^3-(-10^3)\right)  + 10 \left(10-(-10)\right)   \right|


= \left|-\frac{1}{30} \left(2000\right)  + 10 \left(20)\right)   \right|


= \left|-\frac{200}{3}   + 200   \right| = \left|133\frac{1}{3} \right| =133\frac{1}{3}

Nun haben wir die Grundfläche bestimmt und können nun das Volumen der Säule und somit das Volumen des Bahnhofs ausrechnen.


V_S=133\frac{1}{3}m^2 \cdot 60m = 8000m^3


V_S+V_Q=V_B


9600m^3+8000m^3=17600m^3


Nun sollte man berechnen wie lange 2 Ventilatoren mit der Leistung 80 Kubikmeter pro Minute für einen kompletten Luftaustausch im Bahnhof benötigen. Da es zwei Ventilatoren sind , beträgt die Leistung der Ventilatoren gemeinsam 160 Kubikmeter pro Minute

Um die ausgetauschte Luft zu berechnen, muss man die Leistung der Ventilatoren mal die Zeit nehmen.

Da die Luft, welche ausgetauscht werden muss, gleich des Volumens des Bahnhofs ist, ergibt sich folgende Gleichung:

ausgetauschte Luft (Volumen des Bahnhofs)= Leistung der Ventilatoren \cdot Zeit

bzw. Zeit ist gleich Volumen des Bahnhofs durch die Leistung der Ventilatoren.

Mathematisch dargestellt:


t=\frac{V_B}{P_V}


Rechnung:

17600m^3=160\frac{m^3}{min}\cdot t \quad | : 160\frac{m^3}{min}


\frac{17600m^3}{160\frac{m^3}{min}} = t


 110 min = t


Somit beträgt die Zeit für den Luftaustausch 110 Minuten bzw. eine Stunde und fünfzig Minuten (1h50m).

--Using Ob 13:41, 30. Sep. 2011 (CEST)


Beispiel zur Anwendung der Tangentengleichung

t(x) = f '(x0)(x-x0)+f(x0)

Sei f(x)=x2 +3 \Rightarrow f'(x)=2x

Gesucht sei die Funktionsgleichung der Tangente an der Stelle x0 = 1

Es gilt t(x)=f'(1)(x-1)+f(1)=2(x-1)+4=2x -2 +4 =2x+2

Also t(x)=2x+2


Jetzt könnten wir also auch dann die Tangente zeichnen, wenn der Graf der Funktion f (also Gf) noch gar nicht vorhanden ist....  :-)

Zur Probe die Grafen von f und t, also Gf und Gt:


Tangente im Punkt P


Man sieht auch leicht (und könnte es auch berechnen), dass die Tangente die Nullstelle -1 hat.

Vgl. bitte auch Europa-Schule Obermayr/LK M 13/Protokolle (Das erste Protokoll)

--CJSchmitt 22:09, 26. Sep. 2011 (CEST)


Pdf20.gif Musterlösung für Ü5 A2


Pdf20.gif Musterlösung für Ü5 A3


Pdf20.gif Synopse unserer beiden Integrationsmethoden