Lösungsvorschläge für die erste Musterklausur

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Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 1)

f(x)=\frac{1}{2} x^2-2

 \qquad g(x)=-\frac{1}{3} x+\frac{7}{2}


Zuerst die beiden Funktione gleichsetzen und die Nullstellen berechnen.

Daraus erhalten wir: x_1=3 \quad x_2=-\frac{11}{3}


Jetzt noch integrieren: A= \left| \int_{-\frac{11}{3} }^{3} (\frac{1}{2}x^2-2+\frac{1}{3}x-\frac{7}{2})\,dx \right|

 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad  \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad A= 24,69


Aufgabe 2a)

Bei dieser Aufgabe gilt es, die Gemeinsamkeiten der Funktionsschar f_k(x)-x^2+kx (0<k\le 3) ausfindig zu machen.

Zunächst betrachte man sich eine Skizze der Funktionen:

Using Ob Bildschirmfoto 2011-10-02 um 14.50.56.png

Man bemerkt, dass alle Funktionen durch den Nullpunkt gehen.

Dies kann man auch belegen:

f(x)=-x^2+kx

0=-x^2+kx

0=x(-x+k)

Wir erkennen, dass x_1 bei jeder Funktion der Funktionsschar gleich 0 ist und man erkennt auch, dass x_2 bei jeder Funktion kist.

Des Weiteren liegt die Vermutung nahe, dass jede Funktion der Funktionsschar, sowohl bei x gegen positiv unendlich, als auch bei x gegen negativ unendlich, gegen negativ unendlich läuft.

Dies kann man überprüfen, indem man x gegem \pm \infty streben lässt.

\lim_{x\to\infty} = -\infty

\lim_{x\to -\infty} =-\infty

Man sagt: "Das Verhalten der Potenz mit größter Hochzahl, also -x2 entscheidet. --CJSchmitt 07:06, 4. Okt. 2011 (CEST)

Des Weiteren kann man die Graphen auf Hoch- und Tiefpunkte prüfen.

f(x)=-x^2+kx

f'(x)=-2x+k

0=-2x+k \qquad|+2x

2x=k \qquad| :2

x=\frac{k}{2}

f''(x)=-2 <----- Hochpunkt

Jeder Graph hat einen Hochpunkt an der Stelle  x=\frac{k}{2} .

Aufgabe 2b)

Bei dieser Aufgabe gilt es, die Fläche zwischen f_t(x) und der x-Achse zwischen x=0 und x=3 zu berechnen.

Zunächst betrachte man sich die Funktion und die Vorgaben:


f_k(x)=-x^2+kx


0<k\le 3


Wir erkennen, dass k kleiner als 3 ist, somit muss es zwei Teilflächen zwischen 0 und 3 geben, da die Graphen der Funktionsschar die x-Achse in jedem Fall vor der Stelle x=3 schneiden,da k (Schnittpunkt mit der x-Achse) kleiner 3 ist.

Zur Illustration ( Beispiel ):

Using Ob Bildschirmfoto 2011-10-02 um 16.13.16.png

Daher müssen wir von 0 bis k und von k bis 3 integrieren (Zur Erinnerung: k und 0 waren unsere Nullstellen (Siehe 2a.)).

Wir wissen, dass die Fläche von 0 bis k positiv wird, daher können wir in diesem Fall die Betragsstriche weglassen.


\int_{0}^{k} -x^2+kx\,dx = -\frac{1}{3} \left[  x^3\right]_0^k +\frac{k}{2}  \left[x^2 \right]_0^k


=-\frac{1}{3}  \left( k^3-0\right)  +\frac{k}{2}  \left( k^2-0\right) =-\frac{1}{3}k^3+\frac{k^3}{2}


=\frac{1}{6}k^3


Unser erster Flächeninhalt beträgt \frac{1}{6}k^3


Nun integrieren wir von k bis 3.

Normalerweise setzen wir dies in Betragsstriche, jedoch wissen wir das ein negativer Wert herauskommt , daher können wir , um den Betrag herauszufinden, direkt ein Minus vor das Integral setzen, welches wir am Ende der Rechnung auflösen werden.


- \left( \int_{k}^{3} -x^2+kx\,dx \right) =- \left(  -\frac{1}{3} \left[  x^3\right]_k^3 +\frac{k}{2}  \left[x^2 \right]_k^3 \right)


=- \left(  -\frac{1}{3} \left(  3^3-k^3 \right)  + \frac{k}{2} \left(  3^2-k^2 \right) \right)  = - \left(  -9+\frac{1}{3}k^3+\frac{9}{2}k-\frac{1}{2}k^3 \right)


=- \left(  -\frac{1}{6}k^3 +\frac{9}{2}k -9  \right)


= \frac{1}{6}k^3 -\frac{9}{2}k +9


Nun haben wir unsere beiden Flächeninhalte und können nun k so bestimmen, dass der Flächeninhalt minimal wird.


A_1 + A_2 =A


= \frac{1}{6}k^3 -\frac{9}{2}k +9  + \frac{1}{6}k^3 =\frac{1}{3}k^3 -\frac{9}{2}k +9


A(k)=\frac{1}{3}k^3 -\frac{9}{2}k +9

Um das Minimum einer Variable in einer Funktion zu bestimmen, muss man die Funktion ableiten und gleich Null setzen.


A'(k)=k^2 -\frac{9}{2}


0=k^2 -\frac{9}{2} \qquad |+\frac{9}{2}


\frac{9}{2} =k^2


\sqrt{\frac{9}{2}} = k


\pm 2,12 \approx   k


A: Da 0<k sein soll ist unsere Lösung k \approx 2,12 .

A''(k)=2k>0

A''(2,12)=4,24>0


Also A: An der Stelle 2,12 ist ein Minimum. --CJSchmitt 07:19, 4. Okt. 2011 (CEST)

--Using Ob 15:59, 2. Okt. 2011 (CEST)



Aufgabe 3) (Der Beweis des Satzes des Vieta)

Den Satz des Vieta haben wir mit Hilfe der p-q Formel bewiesen.

x^2+px+q=0

x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\,

\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \Downarrow

x_{1}=-\frac{p}{2} + \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\,

x_{2}=-\frac{p}{2} - \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\,

Erstmal der Beweis für p:

Laut dem Satz des Vieta muss  x_1 plus  x_2 \qquad -p ergeben.

Und in der Tat, rechnen wir  x_1 + x_2 , dann kürzen sich die \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q} weg und wir haben am Ende -\frac{p}{2} - \frac{p}{2} = -p übrig.

Jetzt der Beweis für q der lautet:

 x_1 \cdot x_2 =q

Wir rechnen also  \left(-\frac{p}{2} + \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\ \right) \cdot \left(-\frac{p}{2} - \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\ \right)

Dies entspricht der 3. Binomischen Formel ( \left( a+b \right) \cdot \left( a-b \right) = a^2-b^2 )

\Rightarrow \left(-\frac{p}{2} \right)^2-\left( \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}^2\right)

= \frac{p^2}{4}-\frac{p^2}{4} +q

=q

q.e.d