Protokolle August September 2011

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Schülerbeitrag
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Woche 50

Inhaltsverzeichnis

Protokoll vom 10.8.2011 / Thema: Verfahren der vollständigen Induktion

erstellt am 10.8.2011 Protokoll von --OBX4 16:39, 18. Aug. 2011 (CEST)
Lehrer: C.-J. Schmitt (Schuljahr 2011 / 12)

Die Gaußsumme (von der Unterrichtsstunde am 08.08.2011)

Am 08.08.2011 beschäftigten wir uns mit der Gaußsumme.


Wir haben versucht die Gaußsumme nachzuvollziehen , indem wir sie erarbeiteten, teilweise durch Vorgaben , teilweise durch eigene Überlegungen .

Wir sollten überlegen , wie man eine Addition von 1 bis n in einer Formel darstellen könnte.

Mathematisch dargestellt : \sum_{i=1}^{n}  i = 1+2+3+4+5+....+n

Wir stellten fest, dass man die erste Zahl der Summe mit der letzten Zahl (n) addiert, und dies dann mal die Hälfte von n nehmen muss.

So kamen wir auf die Gaußformel.


Die Gaußsumme : \sum_{i=1}^{n} i = (1+n)\cdot\frac{n}{2}

Diese bewiesen wir später anhand des Verfahrens der vollständigen Induktion.


Dieses Wissen war Grundlage des nächsten Mathematikunterrichts .

Formel : \frac{n\cdot(n+1)\cdot(2n+1)}{6}=1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2

Am Anfang der Stunde setzten wir uns mit einer Formel auseinander,welche eine allgemeine Formel sein sollte, die uns das Ergebnis von \sum_{i=1}^{n}i^2 berechnen konnte. Diese hatte uns Herr Schmitt vorgegeben .

Sie lautet : =  1^2 +2^2+3^2+4^2+...+n^2 = \frac{n\cdot(n+1)\cdot(2n+1)}{6}

Dazu rechneten wir einige Beispiele . Hier eines der Beispiele :

A(1):

\frac{1\cdot(1+1)\cdot(2\cdot1+1)}{6} = 1

1^2=1

Nun setzten wir uns mit dem Summenoperator auseinander.

Summenoperator \sum_{i=1}^{n} i^2

Danach nahmen wir uns den Summenoperator \sum_{i=1}^{n}i^2 vor. Bereits letzte Mathestunde hatten wir uns mit Summenoperatoren auseinandergesetzt.

Dieser Summenoperator besagt, dass wir ab der Zahl 1 bis zur Variable n alle Zahlen hoch zwei setzen und danach addieren.

Beispiel :

n=5

1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=55= \sum_{i=1}^{5} i^2

Verfahren der vollständigen Induktion für die Formel : \frac{n\cdot(n+1)\cdot(2n+1)}{6}=\sum_{i=1}^{n} i^2

Das Verfahren der vollständigen Induktion wird in vier Schritte untergliedert.

Zuvor legten wir fest, dass wir dies nur können , wenn wir in der Induktion n --> n+1 setzen , um die Formel für jede natürliche Zahl brauchbar zu machen.

Wenn die Formel für n gelten sollte , so müsste sie auch für n+1 gelten. Dies drückten wir auch mathematisch aus : A(1) \Rightarrow A(2) \Rightarrow A(3) \Rightarrow . . . . \Rightarrow A(n)


1.Schritt: Der Induktionsanfang

Bei dem Induktionsanfang veranschaulicht man, dass die Behauptung ,die man aufgestellt hat, für ein konkretes n gilt.

Daher untersuchten wir unsere Behauptung nach den Regeln des Induktionverfahrens und verwendeten für unsere Variable in der Formel die Zahlen Eins, Zwei und Drei.

Hier eines der Beispiele :


Beispiel:

A(1):

LS: \sum_{i=1}^{1}i^2=1^2=1

RS: \frac{1\cdot(1+1)\cdot(2\cdot1+1)}{6} = 1

2.Schritt: Die Induktionsannahme

Bei der Induktionsannahme nimmt man, dass die Formel für ein beliebiges n gilt.

Wir nehmen an , dass diese Formel für alle n gilt : \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n\cdot(n+1)\cdot(2n+1)}{6}

Nun gilt es dies bei der Induktionsbehauptung rechnerisch darzustellen.

3.Schritt: Die Induktionsbehauptung

Hierbei gilt es zu zeigen, dass die Formel auch für n+1 gilt.

Mathematisch ausgedrückt heißt dies : A(n) \Rightarrow A(n+1)


\sum_{i=1}^{n+1}i^2 = \frac{(n+1)\cdot(n+2)\cdot(2(n+1)+1)}{6}

=\frac{(n+1)\cdot(n+2)\cdot(2n+3)}{6}

=\frac{(n+1)\cdot(2n^2+7n+6)}{6}

4.Schritt: Der Induktionsbeweis

Es gilt nun zu illustrieren, dass die Gleichung , welche man bei der Induktionsbehauptung ermittelt hat, die richtige ist.

Hier wird straight-foward gerechnet, um zu beweisen , dass LR gleich RS (Siehe Induktionsanfang) ist.

Rechnung:

\sum_{i=1}^{n+1} i^2=\sum_{i=1}^{n} i^2+(n+1)^2

=\frac{n\cdot(n+1)\cdot(2n+1)}{6} +(n+1)^2

=\frac{n\cdot(n+1)\cdot(2n+1)+6\cdot(n+1)^2}{6}

=\frac{(n+1)\cdot\left[ n\cdot(2n+1)+6(n+1)\right] }{6}

==\frac{(n+1)\cdot(2n^2+n+6n+6)}{6}

==\frac{(n+1)\cdot(2n^2+7n+6)}{6}    q.e.d. ( quod erat demonstrandum )

A : Mit dieser Rechnung haben wir bewiesen , dass unsere ursprüngliche Formel für jede natürliche Zahl gilt.


Erklärung der Rechnung

Anfangs haben wir den Summand am Ende der Gleichung auf den gemeinsamen Nenner 6 gebracht, und zugleich den Zähler versechstfacht, wie es nach den Regeln der Bruchrechnung notwendig ist.

Danach klammerten wir den Term ( n+1 ) aus und rechneten die Faktoren innerhalb der Klammer aus.

Als letzten Schritt rechneten wir zwei Summanden innerhalb der rechten Klammer zusammen , und kamen somit auf die Lösung.

Der Versuch, die Gaußformel für ungerade n, ohne die vollständige Induktion, zu beweisen

Wir versuchten, nach dem Einwand eines Schülers , man könne die Gaußsumme auch ohne die vollständige Induktion beweisen, dies zu belegen.

Dabei war der Gedanke des Schülers, man könne den Summanden, welcher bei der Summenbildung \sum_{i=1}^{n} i nach dem Einsetzen von n (n muss eine ungerade Zahl sein)am Ende übrigbleibt, durch \frac{1+n}{2} berechnen.

Daher behauptete er , man könne die Formel umstellen, um somit ohne eine Induktion einen Beweis zu finden : (n+1)\cdot\frac{n}{2} = (n+1)\cdot\frac{n-1}{2} + \frac{n+1}{2}

Vollständige Ausführung : Elementarer Beweis der Gaußsumme für ungerade n

Fallunterscheidung

Für grades n :

\sum_{i=1}^{n} i = \frac{(n+1)\cdot n}{2}

n ungerade,n-1 gerade:

\sum_{i=1}^{n} i = \sum_{i=1}^{n-1} i  + n=(1+n-1)\cdot\frac{n-1}{2}+n = n \cdot \left( \frac{n-1}{2}\right)  +n= \frac{n^2+n}{2} =n\cdot \frac{n+1}{2}=(1+n) \cdot \frac{n}{2}

q.e.d


Protokoll vom 15.8.2011 / Thema:Streifenmethode / Integralrechnung [Einführung für f(x)=x]

erstellt am 17.8.2011 Protokoll von Louisa Wünnenberg
Lehrer: C.-J. Schmitt (Schuljahr 2011 / 12)

Streifenmethode

Am 15.08.2011 beschäftigten wir uns mit der Streifenmethode.

Anhand einer Skizze, die den Grafen f(x)= x und \int_{0}^{4} f (x)\,dx 
zeigt, konnten wir uns die Streifenmethode veranschaulichen.

Um diese mathematisch darzustellen, legten wir eine Streifenbreite von \Delta x = 1 und n=4 fest.

Das Vorgehen der Skizze:

Um eine Ober- oder Untersumme einer Funktion ermitteln zu können, unterteilt man ein Intervall in n gleich breite Streifen. An diesen Stellen zeichnet man senkrechte Striche, diese schneiden die Funktion bei den Funktionswerten.

Bei einer Obersumme nimmt man in jedem der n kleinen Stücken den höheren der beiden Werte und multiplizierst ihn mit der Breite n. Das entspricht der Fläche eines Streifens, der genau über der Funktion liegt.

Nimmt man den niedrigeren der beiden Werte hat man die Untersumme, welche immer unter der Funktion liegt.


Bei der Streifenmethode werden zunächst gleich breite Streifen unter den Graphen gelegt, die die Höhe des kleinsten Funktionswertes im jeweiligen Intervall haben. Diese bilden zusammen die Untersumme.


Dann legt man Streifen der gleichen breite aber diesmal mit der Höhe des größten Funktionswertes im jeweiligen Intervall unter den Graphen. Diese bilden die Obersumme.

Beispiel 1

Skizze:


Skizze.jpg


gegeben:

Streifenbreite \Delta x = 1



n=4


A_\Delta=\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4=8



Obersumme:

O4=1\cdot1+ 1\cdot2+ 1\cdot3+ 1\cdot4 (Streifenbreiten · Höhe)

O4=10 (2 zu viel)

Untersumme:

U4=1\cdot0+ 1\cdot1 + 1\cdot2 + 1\cdot3

U4=6 (2 zu wenig)


6< \int_{0}^{4} x\,dx < 10

Beispiel 2

gegeben: n Streifen ; Streifenbreite \Deltax = \frac{4}{n}


Obersumme:


On=\Deltax(\Deltax +2\Deltax+3\Deltax+4\Deltax+...+n\Deltax)

On=\Delta x2(1+2+3+4+...+n)

On=\frac{16}{n^2}(1+n)\cdot\frac{n}{2}

On=8 \cdot \frac{1+n}{n}

On=8\cdot(\frac{1}{n} +1)

On=8+\frac{8}{n}


Bsp.:

O16=8\cdot(\frac{1}{16}+1)

O16=8,5


Untersumme:


gegeben: Streifenbreite \Deltax= \frac{4}{n}


Un=\Deltax(0+\Deltax+2\Deltax+3\Deltax+4\Deltax+...+(n-1)\Delta x )

Un=\Delta x2(1+2+3+4+...+n-1)

Un=\frac{16}{n^2} n\cdot\frac{n-1}{2}

Un=8 \cdot \frac{n-1}{n}


Un-On= 8-\frac{8}{n} - 8+\frac{8}{n}

Un-On=\frac{16}{n} (Fläche des größten Streifens)

Grenzwertübergang für sehr große n

\int_{0}^{4} x\,dx =\lim_{n\to\infty} On= \lim_{n\to\infty} (8+\frac{8}{n}) = 8

Beispiel 3

n Streifen; \Deltax=\frac{b}{n}

On=\Deltax(\Deltax +2\Deltax+3\Deltax+...+n\Deltax)

On=\Delta x2(1+2+3+...+n)

On=\Delta x2((n+1)\cdot \frac{n}{2} )

On=\frac{b^2}{n^2} ((n+1)\frac{n}{2})

On=Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): \frac{b^2}2} \cdot \frac{n+1}{n}


On=Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): \frac{b^2}2} (1+\frac{1}{n} )


\int_{0}^{b} x\,dx =\lim_{n\to\infty} On=\lim_{n\to\infty} (\frac{b^2}{2}(1+\frac{1}
{n}))=\frac{b^2}{2}



Daraus folgt :

\int_{a}^{b} x\,dx =\int_{0}^{b} x\,dx - \int_{0}^{a} x\,dx 
=\frac{b^2}{2}- \frac{a^2}{2}
=\left[ \frac{x^2}{2}\right] _{a}^{b}


\int_{a}^{b} x\,dx =\left[\frac{x^2}{2}\right]_{a}^{b}

Beispiel 4

\int_{5}^{9} x\,dx = \left[ \frac{x^2}{2}\right]_{5}^{9}
=\frac{81}{2} -\frac{25}{2}
=\frac{56}{2}
=28



Hausaufgabe

war ein Induktionverfahren zu der Formel: \sum_{i=1}^{n} i^3 = 1^3+2^3+3^3+...+n^3=(\frac{n\cdot(n+1)^2}{2} ) zu erstellen


Protokoll vom 17.8.2011 / Thema: Integralrechnung und verschiedene Stammfunktionen; orientierter und geometrischer Flächeninhalt

erstellt am 19.8.2011 Protokoll von Tolga Hamko
Lehrer: C.-J. Schmitt (Schuljahr 2011 / 12)

Wiederholung der letzten Woche

Wir haben zur Veranschaulichung die Stammfunktionen der letzten Stunden nochmal behandelt.

\int_{a}^{b} x\,dx= [\frac{x^2}{2}]_{a}^{b} Das war unsere bisherige Stammfunktion für das Integral.

Merke: Die erste Ableitung der Stammfunktion ergibt wieder den Integranden
.

Also d.h.:

F'(x) = f(x)

Beispiel: F(x) = \frac{1}{3}x^3+ d

F'(x) = x^2

f(x) = x^2


Vorfaktor im Integral

Für das Integral gilt:

\int_{a}^{b} kx\,dx = k \int_{a}^{b} x\,dx

Beispiel: \int_{a}^{b} 3x\,dx = \int_{0}^{b} 3x\,dx - \int_{0}^{a} 3x\,dx = \frac{3}{2}\cdot b^2 - \frac{3}{2}\cdot a^2 = 3\cdot(\frac{b^2}{2}-\frac{a^2}{2}) = 3\int_{a}^{b} x\,dx

Hier ist eine zweite Summenformel die wir am 17.8 behandelt haben: [kx]_{a}^{b}

und hier ist die Berechenung der Obersumme zu dieser Formel:

\Delta x \rightarrow O

n\rightarrow \infty

\Delta x ist die Breite der einzelnen Streifen also damit auch dx

nach wie vor gilt für \Delta x = \frac{b}{n}

Die Obersumme: O_{n}^{}= \Delta x (3\Delta x + 3\cdot2\Delta x+ 3\cdot3\Delta x +....+ 3n\Delta x) O_{n}^{}= 3\Delta x^2 (1 + 2 + 3 +....+ n)= 3\cdot \frac{b^2}{n^2} (n+1) \frac{n}{2} = \frac{3}{2}\cdot b^2\cdot  \frac{n+1}{n} = \frac{3}{2}\cdot b^2(1+\frac{1}{n})

\lim_{n\to\infty}O_n=\frac{3b^2}{2}=3 \cdot \int_{0}^{b} x\,dx

Die Untersumme: U_{n}^{}=\Delta x(0+ \Delta x+2\Delta x+n\Delta x)=\Delta x^2 ((n-1)\frac{n}{2})=\frac{b^2}{n^2}((n-1)\frac{n}{2})=\frac{b^2}{2} \cdot \frac{n-1}{n}=\frac{b^2}{2}(1-\frac{1}{n})


\int_{a}^{b} k\,dx = (b-a)\cdot k = [kx]_{a}^{b} auch diese Formel kann man beweisen:

F'(x)=f(x)

f(x) =k

F(x)= kx

F'(x)=k=f(x)

Diese Formel kann man verwenden um den Flächeninhalt des folgendem Graphens zu ermitteln:

Hamko Ob Grafik1.png


Die erste von uns verwendete Stammfunktion kann in Fällen wie diesen eingesetzt werden:

\int_{a}^{b} x\,dx=[\frac{x^2}{2}]_{a}^{b} Hamko Ob Grafik2.png


Doch bei so einem Graphen müssen beide Stammfunktionen angewendet werden Hamko Ob Grafik3.png


\int_{a}^{b} (x+2)\,dx = \frac{b^2}{2}-\frac{a^2}{2}+2\cdot(b-a)=\int_{a}^{b} x\,dx +\int_{a}^{b} 2\,dx  die dazu aufzustellende Stammfunktion lautet: \int_{a}^{b} (x+2)\,dx=(\frac{b^2}{2}+2b)-(\frac{a^2}{2}+2a)=[\frac{x^2}{2}+2x]_{a}^{b}

Orientierter und geometrischer Flächeninhalt eines Graphen

Bei einigen Graphen kann es vorkommen, dass das Ergebnis bei der Integralrechnung negativ wird. In diesem Fall wird das Ergebnis Orientierter Flächeninhalt genannt. Doch um auf das absolute Ergebnis zu kommen muss man den Betrag des Ergebnisses verwenden.

Hier ist ein Beispiel:

Hamko Ob Grafik4.png (wenn die 4 nicht zu sehen ist D_{f}^{}=[-4;4])

\int_{-4}^{0} x\,dx =[\frac{x^2}{2}]_{-4}^{0}=0-\frac{(-4)^2}{2}=-8 dieser Wert ist orientiert

\int_{-4}^{4} x\,dx=[\frac{x^2}{2}]=8-(\frac{(-4)^2}{2})=8-8=0  die Fläche kann nicht 0 sein

Hierbei handelt es sich um den orientierten Flächeninhalt


A=|\int_{-4}^{0} x\,dx|+|\int_{0}^{4} x\,dx|=|-8|+|+8|=8+8=16

Nullstelle: f(x) =x n_{1}^{}=0

Das Ergebnis wird als Absoluter Flächeninhalt bezeichnet. So erhält man den genauen Flächenwert.


Protokoll vom 22.8.2011 / Thema: Integrieren der Parabelfunktion über den Grenzwertübergang von Obersummen

erstellt am 23.8.2011 Protokoll von --Oeztuerk ob 16:54, 5. Dez. 2011 (CET)
Lehrer: C.-J. Schmitt (Schuljahr 2011 / 12)

Streifenmethode / Integralrechnung einer Parabelfunktion


Anhand einer Skizze, die den Grafen f(x) =x^2 zeigt, konnten wir uns die Streifenmethode veranschaulichen.
Skizze:
Oeztuerk ob Mathe.png



gegeben:
n=2
Streifenbreite \Deltax=1
Abschätzsumme der Dreiecksfläche A\Delta=\frac{1}{2}\cdot2\cdot4=4


O2=1\cdot1+1\cdot4=5

U2=1

O4=0,5 \cdot(0,5^2+1^2+1,5^2+2^2)=0,5\cdot7,5=3,75


n Streifen \Delta x = \frac{b}{n}

On=\Deltax(\Delta x ^2+(2\Delta x)^2+(3\Delta x)^2+...+(n\Delta x)^2)

On=\Delta x ^3 (1+4+9+n^2)

On=\frac{8}{n^3}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

On=\frac{4}{3}\cdot\frac{(n+1)(2n+1)}{n^2}

On=\frac{4}{3}\cdot\frac{2n^2+3n+1}{n^2}

On=\frac{4}{3}\cdot \frac{2+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}   }{1}

Da \frac{3}{n} und \frac{1}{n^2} gegen 0 streben, kommt für On=\frac{8}{3} raus.



\int_{0}^{2} x^2\,dx =\lim_{n\to\infty}On=\frac{4}{3}\cdot2=\frac{8}{3} =2,67


2,67 ist der genaue Wert der Dreiecksfläche.


Beute-Kammer:

\int_{a}^{b} x^2\,dx =\int_{0}^{b} x^2\,dx -\int_{0}^{a} x^2\,dx=\frac{b^3}{3} -\frac{a^3}{3}=\left[ \frac{x^3}{3}\right]_{a}^{b}

Beispiel 1


\int_{1}^{4} x^2\,dx =\left[ \frac{x^3}{3}\right]_{1}^{4}=\frac{4^3}{3} -\frac{1^3}{3}=\frac{4^3-1^3}{3}=\frac{63}{3}=21

Beispiel 2


\int_{3}^{4} (5x^2+6)\,dx =\left[5 \frac{x^3}{3}+6x+c\right]_{3}^{4}

\int_{3}^{4} (5x^2+6)\,dx =(5 \frac{4^3}{3}+6\cdot4+c)-(5\frac{3^3}{3}+6\cdot3+c)

\int_{3}^{4} (5x^2+6)\,dx =5 \cdot\frac{64}{3}+24+c-5\cdot9-18-c

\int_{3}^{4} (5x^2+6)\,dx =\frac{320}{3} +24-45-18

\int_{3}^{4} (5x^2+6)\,dx =106\cdot\frac{2}{3} -39=67\frac{2}{3}



Alternative:

\int_{3}^{4} 5x^2\,dx + \int_{3}^{4} 6dx

5\left[ \frac{x^3}{3}\right]_{3}^{4} +6\left[ x\right]_{3}^{4}

=5\cdot(\frac{64}{3}-\frac{27}{3})+6\cdot(4-3)

=5\cdot(\frac{37}{3})+6=\frac{185}{3}+6=61\frac{2}{3} +6

=67\frac{2}{3}

Hierbei wurden die Zahlen 5x^2 und 6 in einzelne Integrale unterteilt.

Es kommt das selbe Ergebnis raus wie bei Beispiel 2.



Hausaufgabe :

Seite 54 Nr. 14 a,b,f,g
Seite 54 Nr. 15 a,b
Seite 53 Nr. 1 c,d,e,g
Seite 53 Nr. 2 a,b

Protokoll vom 24.8.2011 / Thema: Integralberechnungen und Stammfunktionen

erstellt am 25 .8.2011 Protokoll von --Hebecker Ob
Lehrer: C.-J. Schmitt (Schuljahr 2011 / 12)


Aufgaben

(gelöste Aufgaben im Unterricht)

S. 50, Nr. 6a, c, e
a) positiv
b) negativ
c) negativ


S. 53, Nr. 1
c) f(x) = 3x --> \frac{3}{2}x2

d) f(x) = x5 --> \frac{1}{6}x6

e) f(x) = 5x2 --> \frac{5}{3}x3

g) f(x) = 0,1x3 --> \frac{0,1}{4}x4


Definition:
Eine differenzierbare Funktion "F" heißt Stammfunktion von "f", wenn gilt F´(x) = f(x)



Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung:
Sei "F" Stammfunktion von "f", dann gilt \int_{a}^{b} f (x)\,dx = F(b) - F(a)


2 Möglichkeiten der Integralberechnung:

Bemerkung:
\int_{a}^{b} f (x)\,dx = \left[ f(x)\right]^b_a

Beispiel:

\int_{1}^{2} (x^2 + 3x + 1)\,dx= \left[\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + x \right]^2_1
\int_{1}^{2} (x^2 + 3x + 1)\,dx= \frac{1}{3} (2)^3 + \frac{3}{2} (2)^2 + 2 - \left(  \frac{1}{3} (1)^3 + \frac{3}{2} (1)^2+ 1\right)
\int_{1}^{2} (x^2 + 3x + 1)\,dx= \frac{32}{3} - \frac{1}{3} - \frac{3}{2} - 1
\int_{1}^{2} (x^2 + 3x + 1)\,dx= \frac{47}{6}
\int_{1}^{2} (x^2 + 3x + 1)\,dx= 7\frac{5}{6}

Alternative Lösungsmethode:

\int_{1}^{2} x^2 \,dx +\int_{1}^{2} 3x \,dx +\int_{1}^{2} 1 \,dx = \left[ \frac{1}{3} x^3\right]^2_1 + \left[ \frac{3}{2} x^2\right]^2_1 + \left[x\right]^2_1
\int_{1}^{2} x^2 \,dx +\int_{1}^{2} 3x \,dx +\int_{1}^{2} 1 \,dx = \left( \frac{8}{3} - \frac{1}{3}\right) + \left( 6 - \frac{3}{2}\right) + \left( 2-1\right)
\int_{1}^{2} x^2 \,dx +\int_{1}^{2} 3x \,dx +\int_{1}^{2} 1 \,dx = 5\frac{17}{6}
\int_{1}^{2} x^2 \,dx +\int_{1}^{2} 3x \,dx +\int_{1}^{2} 1 \,dx = 7\frac{5}{6}

Das gleiche Ergebnis kommt raus!


2. Beispiel:

\int_{-2}^{4} xdx    = \left[ \frac{1}{2} x^2\right]_{-2}^{4} =  \frac{1}{2} \cdot 16 - \left( \frac{1}{2} \cdot 4\right)
= 6 <-- Orientierter Flächeninhalt

A = |\int_{-2}^{0} xdx | + |\int_{0}^{4} xdx |
A =  \mid\left[ \frac{1}{2} x^2\right] ^0_2  \mid + |\left[ \frac{1}{2} x^2\right] ^4_0 |
A = |-2| + |8|
A = 10 <-- Absoluter/Tatsächlicher Flächeninhalt


Für die "Beutekammer"

Beutekammer:

f(x) = x^n
F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1} +c



Hausaufgaben


Hausaufgaben ernst nehmen ;-)

S. 53 & 54
Nr. 14 d
Nr. 2 c,d
Nr. 3 a,c,h
Nr. 4 b
Nr. 5
Nr. 6 a,d,f
Nr. 9
Nr. 13 a




Protokoll vom 29.8.2011 / Thema: Bestimmung von Sätzen über Stammfunktionen

erstellt am 29.8.2011 Protokoll von --OBXY 11:46, 12. Feb. 2012 (CET)
Lehrer: C.-J. Schmitt (Schuljahr 2011 / 12)


Am Montag den 29.08.2011 arbeiteten wir an der Bestimmung von Sätzen über Stammfunktionen

Zunächst die Lösungen für die Hausaufgaben des 24.08.2011

Hausaufgaben des 24.08.2011

S. 53, Nr. 2c, d

c) a \in R

d) a = 1


Erklärung zu 2d)


f(x) = (a+1)x

Fehler beim Parsen(PNG-Konvertierung fehlgeschlagen. Bitte die korrekte Installation von LaTeX und dvipng überprüfen (oder dvips + gs + convert)): F(x)= x^a^+^1


Nun müssen wir herausfinden was a für eine Zahl sein kann.

Also integrieren wir f(x)

Dies sieht dann so aus:

F(x) = (a+1)\frac{x^2}{2}


Daraus schliessen wir, das das a = 1 ergeben muss da wir x^2 herausbekommen müssen und das geschieht nur wenn wir für a = 1 einsetzen da, Fehler beim Parsen(PNG-Konvertierung fehlgeschlagen. Bitte die korrekte Installation von LaTeX und dvipng überprüfen (oder dvips + gs + convert)): x^1^+^1 = x^2

 ergibt


S. 53, Nr. 3a, c, h

a) 21\frac{1}{3}
c) 24
h) -1\frac{1}{3}


S. 54, Nr. 4b

\frac{1}{3}x^3+99\frac{2}{3}


S. 54, Nr. 5

II(Römisch 2)


S. 54, Nr. 6a, d, f

a) -8
d) 3
f) 1


S. 54, Nr. 9

III(Römisch 3)


S. 54, Nr. 13a

x=6


Dies waren die Ergebnisse der Hausaufgaben des 24.08.2011

Ableitungen und Stammfunktionen

Danach haben wir unsere "Beutekammer" mit zwei Tabellen erweitert, die jeweils einmal die Ableitungsfunktion und die Stammfunktion von f(x) zeigt


Ableitungen

f(x) x^n \sin (x) \cos (x) \frac{1}{x} \sqrt{x}
f'(x) nx^{n-1} \cos (x) -\sin (x) -\frac{1}{x^2} \frac{1}{2\sqrt{x} }

Da sich die Ableitung von \frac{1}{x} sehr schwer zu merken ist, haben wir diese veranschaulicht.

f(x) = \frac{1}{x}

\frac{1}{x} ist das selbe wie x^{-1}. Leiten wir dies ab, sieht das so aus:

f'(x) = -x^{-2} umgeschrieben erkennen wir unsere Formel wieder:

f'(x) =- \frac{1}{x^2}


Auch für die Ableitung von \sqrt{x} haben wir uns eine veranschaulichte Lösung errechnet.

f(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} davon machen wir jetzt die Ableitung

f'(x) = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}} umgeschrieben erhalten wir wieder

\frac{1}{2\sqrt{x} }


Und vergesst nicht dies in eure Beutekammer zu schreiben ;-)

Stammfunktionen

f(x) 1 x x^2 x^3 x^n \sin (x) \cos (x) \frac{1}{x} \frac{1}{x^2} \sqrt{x} \frac{1}{\sqrt{x} }
F(x) x \frac{x^2}{2} \frac{x^3}{3} \frac{x^4}{4} \frac{x^{n+1}}{n+1} -\cos (x) \sin (x)  ? -\frac{1}{x} \frac{2}{3}x\sqrt{x} 2\sqrt{x}


Wir haben für \frac{1}{x} keine Funktion erhalten, da man nicht durch null dividieren darf. Die Stammfunktion ist keine normale Hyperbelfunktion

Allerdings haben wir uns auch hier einige veranschaulichte Methoden errechnet

f(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2}

F(x) = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}


Nun koennen wir die Probe machen, indem wir F(x) ableiten

F'(x) = \frac{1}{x^2} = f(x) q.e.d


Die nächste vereinfachte Rechnung ist für f(x) = \sqrt{x} =x^{\frac{1}{2}}

F(x) = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2} } = \frac{2}{3} \cdot x^{\frac{3}{2}}  =\frac{2}{3} \sqrt{x^3}=\frac{2}{3} x\sqrt{x}

Um diese wieder zu überprüfen leiteten wir diese wieder ab

F(x)=\frac{2}{3}  x^{\frac{3}{2}}


F'(x) =\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}} =\sqrt{x} =f(x) q.e.d




Auch für f(x) =\frac{1}{\sqrt{x} }=x^{-\frac{1}{2} } haben wir eine veranschaulichte Methode

F(x)= \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2} }  = 2x^\frac{1}{2} =2\sqrt{x}


Nun haben wir dies wieder durch die Ableitung bewiesen:

F'(x)= 2\frac{1}{2\sqrt{x} } = \frac{1}{\sqrt{x} } =f(x) q.e.d


Und wieder nicht vergessen, dies muss in Eure "Beutekammer" ;-)



Beispiele

Da wir unsere Tabellen fertig hatten, konnten wir diese verwenden um Beispielaufgaben zu lösen.

Beispiel 1:

\int_{0}^{\frac{\pi }{2} } \sin (x) \,dx =\left[ -\cos (x) \right]^\frac{\pi }{2}_0=-\cos (\frac{\pi }{2} )+\cos (0)  = 0+1=1


Beispiel 2:

\int_{1}^{4}-\frac{3}{x^2} \,dx =-3\int_{1}^{4}\frac{1}{x^2} \,dx =-3\left[ \frac{1}{x} \right] ^4_1=-3\left( \frac{1}{4} \right) + 3=-\frac{3}{4}+3=2\frac{1}{4}


Beispiel 3:

\int_{0}^{4}10\sqrt{x} \,dx =10\int_{0}^{4}\sqrt{x} \,dx =10\left[ \frac{2}{3} x\sqrt{x} \right]^4_0=\frac{20}{3}\left[ x\sqrt{x} \right]  ^4_0=\frac{20}{3} \left( 4\sqrt{4}-0\right)   =\frac{160}{3}=53\frac{1}{3}



Nachdenken über Stammfunktionen

Ein weiterer Themenpunkt der Unterrichtsstunde am 29.08.2011 war das Nachdenken über Stammfunktionen. Wir haben zunächst mit einem Bsp. begonnen:

Bsp.1:

f(x) =x^2

F(x) =\frac{x^3}{3}

G(x)=\frac{x^3}{3}+5

Satz1

Vor.:Seien F_1 und F_2 Stammfunktionen von f


Beh.:F_1(x) und F_2(x) unterscheiden sich nur durch eine Konstante.


Bew.:d(x)=F_1(x)  -F_2(x) damit man dies beweisen kann muss man dies ableiten


d'(x) =F_1'(x)- F_2'(x) = f(x)- f(x) =0


Demnach ist d(x) eine konstante


d(x) =C =konstante=F_1(x) -F_2(x)


das bedeutet F_1(x)= F_2(x)+konstante  q.e.d



Satz 2:


Vor. F'(x) =f(x)

g(x)=k \cdot f(x)  also ist g(x) ein Vielfaches von f(x)


Die Behauptung ist jetzt, dass die Stammfunktion von g(x) also G(x) auch ein Vielfaches von F(x) ist.

Beh.:

G(x)=k \cdot F(x)

Um dies zu beweisen haben wir Abgeleitet


Bew.:

G'(x)=k \cdot F'(x) =k \cdot f(x) =g(x) q.e.d




3.Satz:


Vor.:

F'(x) =f(x)

G'(x) =g(x)

h(x) =g(x)+f(x)


Beh.:

Die Behauptung ist, dass wenn man die Stammfunktionen von f(x) und g(x) addiert, die Stammfunktion von h(x) herauskommt also


H(x) =G(x)+F(x)


Bew.:

Auch hier leiteten wir wieder ab


H'(x) =G'(x)+F'(x)  =f(x) +g(x)=h(x) q.e.d


Damit haben wir haben alle 3 Sätze bewiesen



Integrationsregeln

In den letzten Minuten des Mathematikunterrichtes haben wir noch eine der sechs Integrationsregeln an die Tafel geschrieben, aber nicht weiter besprochen.

Die erste Integrationsregel lautet:

Vor.: n\in R \setminus (-1)


n\in R \setminus (-1) \qquad \qquad  \int_{a}^{b} x^n\,dx =\left[ \frac{x^{n+1}}{n+1}\right]  ^b_a

Das Interessante an dieser Formel ist, dass sie für alle Reelen Zahlen außer (-1) gilt.

Hausaufgaben für den 31.08.2011

S. 54, Nr. 3i, l / Nr. 4d / Nr. 6e / Nr. 13b, d

und

S. 57, Nr. 1a, b, c / Nr. 3b, d / Nr. 5a



Protokoll vom 31.8.2011 / Thema:Weitere Integrationsregeln und die Bestimmung eines Parameters

erstellt am 3.9.2011 Protokoll von --Kracht OB 20:08, 03. Sep. 2011 (CEST)
Lehrer: C.-J. Schmitt (Schuljahr 2011 / 12)

Am Mittwoch den 31.08.2011 haben wir uns mit den weiteren Integrationsregeln und mit der Bestimmung eines Parameter befasst.

Zuerst mal die besprochenen Ergebnisse der Hausaufgaben vom 29.08.2011


Hausaufgaben vom 29.08.2011

S. 53, Nr. 3i, l

i) \frac{31}{40}

l) 10

S. 54, Nr. 4d

F(x)=-\frac{1}{2}x^2+100,5

S. 54, Nr. 6e

-10

S. 54, Nr. 13b,d

b) z=4

d) z=10

S. 57, Nr. 1a,b,c

a) F(x)={\frac{x^4}{8}+C }

b) F(x)=-{\frac{1}{4x}+C }

c) F(x)=-{\frac{2}{5x}+C }

S. 57, Nr. 3b,d

b)\int_{2}^{3}(1+\frac{1}{x^2}) \,dx =1\frac{1}{6}
d)\int_{0}^{9}\frac{2}{5}\sqrt{x} \,dx =7\frac{1}{5}

S. 57, Nr. 5a
F(x)=-{\frac{1}{4}x^2+x }

Graph zu buch seite 57 nummer 5a.png




Intergrationsregeln

Faktorregel

Danach haben wir das Thema Integrationsregeln fortgeführt.

Die Behauptung der zweiten Regel (Faktorregel) ist dass bei :

Vor.: k\in R ; F'(x)=f(x)

sich diese Gleichung ergibt:

Beh.:\int_{a}^{b} \ k \cdot f(x) \,dx = k \cdot \int_{a}^{b} f(x)dx

Der Beweis für diese Gleichung basiert auf unserer erste Regel für Stammfunktionen:


\int_{a}^{b} \ k \cdot f(x) \,dx = \left[ k \cdot F(x) \right]^b_a

Wir gehen nach dem Straightforwardverfahren vor:

\int_{a}^{b} \ k \cdot f(x) \,dx =k \cdot F(b) - k \cdot F(a)

Klammern dann k aus:

\int_{a}^{b} \ k \cdot f(x) \,dx =k \cdot (F(b) -  F(a))

Und schließlich können wir unseren Hauptsatz benutzen und die Gleichung stimmt.

\int_{a}^{b} \ k \cdot f(x) \,dx = k \cdot \int_{a}^{b} \ f(x) \,dx

q.e.d.



Summenregel

Nach der Faktorregel kamen wir dann zur Summenregel. Nach dieser Vorausetzung:


Vor.:

F'(x)=f(x); G'(x)=g(x)

soll sich dies mal diese Regel(Gleichung) ergeben:

Beh.:

\int_{a}^{b} \ ((f(x)+g(x))dx = \int_{a}^{b} \ f(x)dx +  \int_{a}^{b} \ g(x)dx

Für diesen Beweis benutzen wir diesmal den 3.Gedanken der Stammfunktion, welchen wir am Montag behandelt haben:

\int_{a}^{b} \ ((f(x)+g(x))dx = \left[  F(x)+G(x) \right]^b_a

Führen nach dem Straightforward verfahren fort:

\int_{a}^{b} \ ((f(x)+g(x))dx = F(b)+G(b)-(F(a)+G(a))

\int_{a}^{b} \ ((f(x)+g(x))dx =(F(b)-F(a))+(G(b)-G(a))

Und gelangen schließlich zu unserer Gleichung:

\int_{a}^{b} \ ((f(x)+g(x))dx =\int_{a}^{b} \ f(x)dx +  \int_{a}^{b} \ g(x)dx

q.e.d.



Beispiele

Diese zwei Regeln haben wir gleich in Beispielen in die Praxis umgesetzt:

1)Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): \int_{1}^{2} \ (x^3+3x+2)dx =\int_{1}^{2} \ x^3dx-3\int_{1}^{2} \ xdx +\int_{1}^{2} \2dx



=\left[\frac{x^4}{4} \right]^2_1 - \frac{3}{2} \left[x^2\right]^2_1 + 2\left[x\right]^2_1

=(4-\frac{1}{4})-\frac{3}{2}(4-1)+2(2-1)

= \frac{15}{4}-\frac{18}{4}+\frac{8}{4}

=\frac{5}{4}


2)\int_{-2}^{0} \ (3x^2-\frac{1}{3}x)dx =3\int_{-2}^{0} \ x^2dx-\frac{1}{3}\int_{-2}^{0}x

=\left[x^3\right]^0_{-2}   - \frac{1}{6} \left[x^2\right]^0_{-2}

=8-\frac{1}{6}(-4)

=8\frac{4}{6}

=\frac{52}{6}
=8\frac{2}{3}


3) Flächenberechnung

f(x)=-x^2-5x-4

Intervall \left[-5;0\right]

Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): \int_{-5}^{0} \(-x^2-5x-4)dx = -\frac{1}{3}\left[x^3\right]^0_{-5} -\frac{5}{2}\left[x^2\right]^0_{-5} -4\left[x\right]^0_{-5}


=-\frac{125}{3}+\frac{125}{2}-20

=\frac{-250+375-120}{6}

= \frac{5}{6}

Das ist das Ergebnis für das orientierte Integral; um den absoluten Flächeninhalt auszurechnen, müsste man jeweils die Flächeninhalte zwischen den Nullstellen bestimmen.



Bestimmung des Parameters

Als nächstes Thema hatten wir die Berechnung eines Parameters. Dazu wurde uns folgende Gleichung gegeben:

\int_{1}^{2} \ (3ax^2+6x)dx =2

a ist unbekannt, dabei soll der Parameter eine Konstante sein. So gehen wir wieder nach dem Straightforwardprinzip mit Hilfe unserer neuen Regeln vor :

3a\int_{1}^{2} x^2 \, dx + 6\int_{1}^{2} x \, dx =2

a\left[x^3\right]^2_1 + 3\left[x^2\right]^2_1 =2

a(8-1)+3(4-1)=2

7a+9=2 | -9

Subtrahieren die 9.

7a=-7 | :7

Dividieren durch -7

a=-1

Und bekommen unseren Parameter raus.

Nun führen wir eine Probe aus in dem wir für a die -1 einsetzen:

\int_{1}^{2} \ (-3x^2+6x)dx =2

- \left[x^3\right]^2_1 + 3\left[x^2\right]^2_1 =2

-(8-1)+3(4-1)=2

-7+9=2

2=2

Die Berechnete Konstante stimmt also.



Satz des Vieta

Ganz zuletzt wurde nochmal der Satz des Vieta angeführt, womit wir im Kopf einfach die Nullstellen von quadratischen Gleichungen berechnen können.(Vorausgesetzt es sind "glatte" Lösungen!)

Beispiel: x^2+4x+3=0
(x+1)(x+3)=0

x_1=-1 ; x_2=-3

Eine genauere Erklärung findet ihr auf Wiederholung1


Hausaufgaben zum 05.09.11 :

Buch S.53 A3 e,f,g,j,k; A4e; A6e
Buch S.57 A 1d; A 5b; A 15b



Protokoll vom 5.9.2011 / Thema: Zusammenhang des Grafen der Stammfunktion F mit dem Grafen von f und Anwendungen der Summen-/Faktorregel

erstellt am 06.9.2011 Protokoll von --OB007 17:42, 10. Jan. 2012 (CET)
Lehrer: C.-J. Schmitt (Schuljahr 2011 / 12)



Zuerst die Lösungen für die Hausaufgaben des 31.08.2011

Hausaufgaben des 31.08.2011

S.53 A3 e, f, g, j, k

e) 50

f) \frac{1}{4}

g) 4\frac{1}{2}

j) 21\frac{1}{3}

k) 0


S.54 A4 e

e) F(x) = -10x+110


S.54 A6 c

c) -5\frac{1}{3}


S.57 A1 d

d) F(x) = 2x^4+8x^3+12x^2+8x


S.58 A15 b

b) \frac{1}{2}



Satz des Vieta

Wir haben am Montag nochmals den Satz des Vieta wiederholt und einige Beispielaufgaben gerechnet

Zur Erinnerung: Das Vorzeichen ist immer umgekehrt.

1. Beispiel

x^2-8x+15=0

x1=3; x2=5, denn 3\cdot5= 15 und 3+5= 8

2. Beispiel x^2+5x+6=0

x1=-2; x2=-3

3. Beispiel

x^2+x-20=0

x1=4; x2=-5



Stammfunktionen und ihre Grafen

Auch haben wir uns nochmals über die Grafen von Stammfunktionen unterhalten und haben uns intensiv mit der Aufgabe S.57 A5 b beschäftigt.

(Wir gehen davon aus, dass im Buch ein Druckfehler ist und der Scheitelpunkt bei (0.5/-1) liegt.)

Hier der vorgegebene Graf:

Maier Ob Graf.jpg


Bekannt ist ja, dass f(x) die Abbleitung von F(x) ist. Also: F'(x) = f(x)

Das bedeutet, dass die Nullstellen von f(x) die Extremstellen von F(x) sein müssen.

Also: 0=f(-1)=F'(-1) und 0=f(2)=F'(2)

Auch kann man von dem Grafen ablesen, dass sich die y-Werte zwischen -1 und 2 im Negativen befinden.

Also: -1<x<2\Rightarrow f(x)<0=F'(x)<0

In Worten: Die Stammfunktion muss in diesem Bereich fallen. Jetzt kann man sich schon denken wie die Stammfunktion aussieht.

Man kann die Aufgabe aber auch algebraisch lösen:

Da wir bereits die beiden Nullstellen x=-1 und x=2 haben, kann man daraus die Funktion:

f(x) = (x+1)(x-2)\Rightarrow f(x)=x^2-x-2 herleiten. Dies ist jedoch noch nicht unsere entgültige Funktion, da sie noch nicht vollständig ist. Denn setzt man z.B. bei dieser funktion für x 0.5 ein, dann erhält man das Ergebnis -\frac{9}{4}. Schaut man sich allerdings den Grafen an, dann sieht man, dass die y Koordinate für x=0.5 bei -1 liegt. Dies kann man jedoch leicht beheben, in dem man die oben stehende Funktion mal \frac{4}{9} rechnet, also f(x) =\frac{4}{9} (x^2-x-2).

Letzlich muss man dann nur noch die Stammfunktion finden, indem wir unsere Regel: Fehler beim Parsen(PNG-Konvertierung fehlgeschlagen. Bitte die korrekte Installation von LaTeX und dvipng überprüfen (oder dvips + gs + convert)): F(x) = \frac{x^n^+^1}{n+1}

 verwenden. Das bedeutet die Stammfunktion heißt: F(x)=\frac{4}{9}(\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} -2x).

So sieht das Ganze dann aus:

Graf Maier Ob.jpg




Als Nächstes haben wir uns mit der Aufgabe: S.58 A10 beschäftigt.

Auch hier gilt wieder: F'(x) = f(x)

A) Wahr, denn: 0<x<2\Rightarrow f(x) <0 \Rightarrow F'(x)<0

B) Falsch, denn sonst würde gelten: F'(1.2)=0=f(-1.2) und das ist nicht der Fall.

C) Wahr, denn F'(-1)=0=f(-1) Es gibt einen Vorzeichenwechsel von f an der Stelle -1.

D) Falsch, denn die Funktionswerte können auch Negativ sein, da die Stammfunktion nach untern verschoben sein könnte.

E) Wahr, denn: F''(1.2)=f'(1.2)=0 Erneut gibt es einen Vorzeichenwechsel von f' diesmal an der Stelle 1.2.



Anwendung der Summen- und Faktorregel

Wir haben uns erneut mit diesen beiden Regeln beschäftigt und zwei Beispiele gerechnet.

Erinnerung an die Summenregel:

\int_{a}^{b} f (x)\,dx + \int_{a}^{b} g (x)\,dx = \int_{a}^{b} f (x)+g (x)\,dx

Beispiele:

1) \int_{1}^{2}(4x^3+9x^2+x+6)\,dx + \int_{1}^{2}(5x^3-9x^2+2x-3)\,dx

=\int_{1}^{2}(9x^3+3x+3)\,dx

=9\left[ \frac{x^4}{4}\right]^2_1+3\left[ \frac{x^2}{2}\right]  ^2_1+3\left[ x\right] ^2_1

=\frac{9}{4}\left(  16-1\right) +\frac{3}{2}\left(  4-1\right) +3\left( 2-1\right)

=\frac{135}{4}+\frac{9}{2} +3

=41\frac{1}{4}



2) \int_{-3}^{2} (\frac{2x^3-3x^2+1}{6} )\,dx

=\int_{-3}^{2} (\frac{2x^3}{6} )\,dx -\int_{-3}^{2} (\frac{3x^2}{6} )\,dx +\int_{-3}^{2} (\frac{1}{6} )\,dx

Fehler beim Parsen(PNG-Konvertierung fehlgeschlagen. Bitte die korrekte Installation von LaTeX und dvipng überprüfen (oder dvips + gs + convert)): =\frac{1}{3} \left[ \frac{x^4}{4}\right] ^2_-_3-\frac{1}{2} \left[ \frac{x^3}{3} \right] ^2_-_3+\frac{1}{6}\left[ x\right] ^2_-_3


Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): =\frac{1}{12} \left( 16-81)-\frac{1}{6}\left(8+27\right) + \frac{1}{6} \left( 2+3\right)


=-\frac{65}{12} -\frac{35}{6}  + \frac{5}{6}

=\frac{-65-70+10}{12} =- \frac{125}{12}

=-10\frac{5}{12}



Betrachtung zum Hauptsatz

Am Ende der Stunde am Montag sind wir nochmal auf den Hauptsatz eingegangen.

Vorraussetzung: F'(x)=f(x)

\int_{a}^{b} f (x)\,dx = \int_{a}^{b} F' (x)\,dx =\left[ F(x)\right] _a^b

In sofern ist die Integration die Umkehrung der Differenziation und umgekehrt.



Hausaufgaben für Mittwoch, den 7.9.2011

  1. Übungsblatt 1: A1 b,e A2 a A3 b,e
  2. Buch S.58: A15 a





Protokoll vom 7.9.2011 / Thema: Den Grafen der Stammfunktion F aus dem Grafen von f entwickeln und 3 weitere Integrationsregeln

erstellt am 11.9.2011 Protokoll von --Proschkin Ob 22:05, 30. Nov. 2011 (CET)
Lehrer: C.-J. Schmitt (Schuljahr 2011 / 12)

Lösungen von den Hausaufgaben für den 7.9.2011

Ü1)1)

a) -3

c) -1

e) 12\frac{1}{6}

2)a) 5\frac{1}{3}

3)b) \frac{7}{12}

e) \frac{3}{16}


Buch)S.58 A 15)a) 0


Danach haben wir uns mit dem Integral \int_{\frac{\pi }{2} }^{\frac{3\pi }{2} } \cos (x) \,dx aus der HÜ beschäftigt:

\int_{\frac{\pi }{2} }^{\frac{3\pi }{2} } \cos (x) \,dx = \left[ \sin (x)\right] = \sin (\frac{3\pi }{2} ) -\sin (\frac{\pi }{2} )
= -1 - 1= -2

(Beachte: Der Taschenrechner muss auf RAD eingestellt sein, wenn die Eingabe im Bogenmaß erfolgen soll!)

Siehe auch: [[1]]]


Wie kann ich den Grafen der Stammfunktion F zum Grafen f zeichnen?

Es gilt: f(x) = F'(x)

F(X).jpg


Man fängt mit den Nullstellen von f an. An den Stellen ist die Ableitung 0 => Waagrechte Tangente bei F. Weil der Bereich zwischen den Nullstellen positiv ist muss F an den Stellen steigen. Der Scheitelpunkt des Grafen von f ist der Wendepunkt von F. Problem: Der Graph F(x) kann an der Y-Achse verschoben sein, da es verschiedene Konstanten gibt.

Z.B.: f(x)= -x2+2\qquad f'(x)= -2x (eine Ableitung), aber mehrere Stammfunktionen: -\frac{x^3}{3}+2x+ C





Integrationsregeln

4)Intervalladditivität

Voraussetzung: F'(x) = f(x)

Behauptung:

\int_{a}^{b} f (x)\,dx    + \int_{b}^{c} f (x)\,dx  =  \int_{a}^{c} f (x)\,dx


Beweis: (straightforward)

\int_{a}^{b} f (x)\,dx    + \int_{b}^{c} f (x)\,dx = F(b) -F(a) + F(c) - F(b)  = F(c) - F(a)  = \int_{a}^{c} f (x)\,dx q.e.d.


Beispiel:

\int_{-1}^{2} ( x^{2} + 4x +2)  \,dx  +\int_{2}^{3} ( x^{2} + 4x +2)  \,dx = \int_{-1}^{3} ( x^{2} + 4x +2)  \,dx


=Fehler beim Parsen(PNG-Konvertierung fehlgeschlagen. Bitte die korrekte Installation von LaTeX und dvipng überprüfen (oder dvips + gs + convert)): \frac{1}{3}\left[ x^3\right]^3_-_1 + 2\left[ x^2\right] ^3_-_1 +2\left[ x\right] ^3_-_1



= \frac{1}{3}\left( 28\right)\quad+\quad2\left(8\right) \quad+\quad2\left(4\right)


=\frac{28}{3}+\quad16\quad+\quad8


=33\frac{1}{3}

5. Integratonsregel

Vorraussetzung: F'(x)= f(x)

Behauptung: \int_{a}^{a} f (x)\,dx = 0

Beweis: \int_{a}^{a} f (x)\,dx= \left[ F(x)\right]^a_{a} = F(a) - F(a) = 0 q.e.d.


6. Integrationsregel

Vorraussetzung: F'(x)= f(x)

Behauptung: \int_{a}^{b} f (x)\,dx = -\int_{b}^{a} f (x)dx
Beweis: \int_{a}^{b} f (x)\,dx = \left[ F(x)\right]^b_a= F(b)-F(a) =-\left( F(a)-F(b)\right) =-\int_{b}^{a} f (x)\,dx


Flächeninhalt zwischen zwei Graphen

Ohne Titel.jpg


A= \int_{0}^{1} xdx  - \int_{0}^{1} x^2dx = \int_{0}^{1} (x-x^2)dx =\left[ \frac{x^2}{2} \right]^1_0 -   \left[\frac{x^3}{3} \right]^1_0 =Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): \left( \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right) =\frac{1}{6



Hausaufgaben zum 12.09.2011

-HÜ verbessern

-Buch S.58: 15c

-Ü1: 1f ; 3a,c,d ; 5a

-Buch S.63-65 lesen /S.66 3a

Protokoll vom 12.09.2011 / Thema: Flächenberechnung zwischen zwei Grafen

erstellt am 12.09.2011 Protokoll von --Roedig Ob (CET)
Lehrer: C.-J. Schmitt (Schuljahr 2011 / 12)

Als erstes informierte uns Herr Schmitt über einen bevorstehenden Wettbewerb von Simens, der sich um Umwelt, wie z.B. erneuerbare - und regenerative Energien, handelt.




Hausaufgaben des 07.09.2011

Buch

S. 58 A. 15c

\int_{3}^{4} \frac{1}{x} \,dx


S.66 A. 3a

orientierte Flächeninhalt : -18

absoluter Flächeninhalt: |18|


Übungsblatt 1.

1f) \int_{0}^{1} 0\,dx =0


3a) \frac{10}{3}


3c) -\frac{9}{20}


3d) -0,89


5a) 31\frac{1}{3}




Beispiel von Montag:


\int_{0}^{1} (x-x^{2} )\,dx = \frac{1}{6}

|\int_{0}^{1} (x^{2} -x)\,dx |

Verallgemeinerung

Skizze:

VerallgemeinerungSkizze.jpg


\int_{a}^{b} f (x)\,dx -\int_{a}^{b} g (x)\,dx =\int_{a}^{b} (f (x)-g(x))\,dx


Strategie

Flächenberechnung zwischen zwei Grafen


1) Schnittstellen berechnen a,b

2) A=|\int_{a}^{b} (g (x)- f(x))\,dx |



Beispiel:

f(x)=x^{2} -4x+4

g(x)=-x^{2} +4x-2


1) Schnittstellen

Wir setzten die beiden Funktionen gleich


x^{2} -4x+4=-x^{2} +4x-2 \quad|+x^{2}  -4x  +2

2x^{2} -8x+6=0 \quad|:2


Damit wir die Normalform erhlaten teilen wir durch 2


x^{2} -4x+3=0  \quad |Vieta anwenden


x_{1} =3

x_{2} =1


Wir wissen jetzt, dass sich die beiden Grafen bei 1 und 3 schneiden

2)A=|\int_{a}^{b} (f (x)-g (x))\,dx |

A=|\int_{1}^{3} (f (x)-g (x))\,dx |


Die Gleichungen werden eingesetzt


= |\int_{1}^{3} (x^{2} -4x+4+x^{2} -4+2)\,dx |


Zusammenfassen


= |\int_{1}^{3} (2x^{2} -8x+6)\,dx |


Stammfunktionen werden gebildet


= |(\frac{2}{3}x^{3})_{1}^{3} -(\frac{8}{2}x^{2})_{1}^{3} +(6x)_{1}^{3}|


Einsetzen und Vorfaktoren aus der Klammer ziehen


|\frac{2}{3} (27-1)-4(9-1)+(18-6)|


Wenn möglich die Klammern ausmultiplizieren


|\frac{52}{3} -32+12|

|17\frac{1}{3} -20| = 2\frac{2}{3}

=> Flächeninhalt zwischen den beiden Grafen


Dieses Beispiel ist eine Musteraufgabe für das Übungsblatt 2


Wir schauen uns die Grafen an

g(x)=-x^{2} +4x-2

S (2|2)


f(x)=x^{2} -4x+4=(x-2)^2

S(2|0)

Nullstellen bei (2|2) -> mit Vieta gelöst

Skizze:

Wir gucken uns den Grafen an.jpg


-x^{2} +4x-2=0\quad|:(-1)


s(0)


x^{2} -4x+2=0\quad|p/q-Formel


x_{1,2}=-\frac{p}{2} _{-}^{+} \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q }


= 2_{-}^{+} \sqrt{4-2}


=2_{-}^{+} \sqrt{2}


x_{1} =2+\sqrt{2} =3,4


x_{2} =2-\sqrt{2} =0,6


Scheitelstelle: x_{s}=2


g(x_{s})=f(2)


S(2|2)



Vergrößerte Skizze:

VergrößerteSkizze2.jpg


f(x)= graue Graf

g(x)=rosa Graf


A=\int_{0}^{1} f (x)\,dx

\int_{0}^{1} g (x)\,dx

Wir integrieren den grün markierten Flächeninhalt. Den lila dargestellen Bereich ziehen wir ab und addieren den negativ orientierten Flächeninhalt.


\int_{0}^{1} f (x)\,dx -\int_{0}^{1} g (x)\,dx = |\int_{0}^{1} (f (x)-g(x))\,dx |


\int_{0}^{1}(x^{2} -4x+4)-(-x^{2} +4x-2)dx


|\int_{0}^{1}(+2x^{2} -8x+6)\,dx |


=\frac{2}{3}(x^{3} )_{0}^{1} -4(x^{2} )_{0}^{1}+(6x)_{0}^{1}


=\frac{2}{3}(1)-4+6


\frac{2}{3}-4+6=2\frac{2}{3}




Eingeschlossene Fläche auf dem Intervall \left[ 0;4\right]


A=\int_{0}^{1} f (x)-g(x)\,dx+\int_{1}^{3} f (x)-g(x)\,dx  +\int_{3}^{4} f (x)-g(x)\,dx


=2\frac{2}{3}+ 2\frac{2}{3}+2\frac{2}{3}=6\frac{6}{3}=8



Flächenberechnung auf dem Intervall \left[ -1;0\right]

Flächenbrechnung auf dem Intervall \left[ -1;0\right] von f(x)

I(-1;0).jpg

Wir berechnen den grau markierten Flächeninhalt zwischen der x-Achse und f(x)

\int_{-1}^{0} f (x)\,dx=\int_{-1}^{0} (x^{2} -4x+4)\,dx


==\frac{1}{3}\left[ x^{3}\right]_{-1}^{0}-\frac{4}{2}\left[ x^{2}\right]_{-1}^{0}+ \left[ 4x\right]_{-1}^{0}


=\frac{1}{3}(0+1)-2(-1)+(0+4)


=\frac{1}{3}+2+4=\frac{7}{3}  =6\frac{1}{3} ist der Flächeninhalt der grau markierten Fläche


Flächenbrechnung auf dem Intervall \left[ -1;0\right] von g(x)

Wir berechnen den rosa markierten Flächeninhalt zwischen der x-Achse und g(x)

I(-1;0)g(x).jpg


\int_{-1}^{0} g (x)\,dx=\int_{-1}^{0} (-x^{2} +4x-2)\,dx


=-1\left[ \frac{x^{3} }{3}\right]_{-1}^{0} + 4\left[ \frac{x^{2} }{2}\right]_{-1}^{0} - 2\left[ x\right]_{-1}^{0}

=-\frac{1}{3}(0+1)+2(0-1)-2(0+1) = -\frac{1}{3} -2-2=-4\frac{1}{3} ist der orientierte Flächeninhalt. Dieser ist negativ, da die Funktionswerte negativ sind, wie wir es auf den Abbildung sehen können. Damit wir beim addieren keinen zu kleinen Betrag heraus bekommen setzten wir Betragstriche.


A=|6\frac{1}{3}|+|-4\frac{1}{3}|=|10\frac{2}{3}|

Das Ergebnis ist der absolute Flächeninhalt.





Flächenberechnung auf dem Intervall \left[ -1;1\right] von g(x)und f(x)

Flächeninhalt.jpg


Wir berechnen den türkis gefärbten Flächeninhalt zwischen den beiden Grafen f(x) und g(x)


\int_{-1}^{0} f (x)\,dx-\int_{-1}^{0} g (x)\,dx=\int_{-1}^{0} (f (x)-g(x))\,dx


Das ist die Formel zur Berechnung der Fläche zwischen den beiden Grafen f(x) und g(x) auf dem I\left[ -1;1\right]


\int_{-1}^{1} (f (x)-g(x))\,dx =\int_{-1}^{1} (2x^{2} -8x+6)\,dx


In die Formel setzten wir die Differenz von g(x) und f(x) ein.


=\frac{2}{3}\left[ x^{3}\right]_{-1}^{1} - 2\left[ x^{2}\right]_{-1}^{1} +\left[ 6x\right]_{-1}^{1}

Dann bilden wir die Stammfunktionen und rechnen wie gewohnt =\frac{2}{3} (1+1)-2(1-1)+(6+6) = \frac{4}{3} -2+12= 13\frac{1}{3}

Das ist der Flächeninhalt auf dem I\left[ -1;1\right] zwischen den Grafen f(x) und g(x)


Macht das einen Sinn?

Fläche auf I=\left[ -1;0\right] A=10\frac{2}{3}


Fläche auf I=\left[ 0;1\right] A=2\frac{2}{3}


Fläche auf I=\left[ -1;1\right] A=12\frac{4}{3}=13\frac{1}{3}


Wenn wir nun den Flächeninhat auf dem I=\left[ -1;0\right] und dem I=\left[ 0;1\right] zusammenrechnen, kriegen wir das selbe Ergebnis wie bei I=\left[ -1;1\right] . Also ja, es macht Sinn.


Ansatz für das Übungsblatt Bild 2.

f(x)=-x^{2} -6x-3


g(x)=x^{2} +2x+3


1) -x^{2} -6x-3=x^{2} +2x+3 \quad|+x^{i} +6x+3


0=2x^{2} +8x+6\quad |:2


0=x^{2} +4x+3\quad \quad | vieta


x_{1}=-1

x_{2} =-3


2) |\int_{-3}^{-1} (f (x)-g(x))\,dx|


=|\int_{-3}^{-1} (-2x^{2} -8x-6))\,dx|


 =|-\frac{2}{3}\left[ x^{3} \right] _{-3}^{-1} - 4\left[ x^{2} \right] _{-3}^{-1}-6\left[ x\right] _{-3}^{-1}|


=|-\frac{2}{3}(-1+27)-4(1-9)-6(1+3)



Hausaufgaben zum 14.09.2011

Übungsblatt 1 : 1a, 4a, 5b, Beispiel anschauen

Übungsblatt 2: Ansatz fertig rechnen

Buch S. 66: 3b, 5a und b


Protokoll vom 14.9.2011 / Thema: Umgang mit dem ZUM-Wiki und Wiederholung der Polynomdivision

erstellt am 14./15. 9.2011 Protokoll von --Tim Roth 20:17, 3. Dez. 2011 (CET)
Lehrer: C.-J. Schmitt (Schuljahr 2011 / 12)

Polynomdivision

Die Frage nach Problemen bei den Hausaufgaben zum 14.09. ergab, dass Aufgabe 5 b) mithilfe der Polynomdivision zu lösen ist. Zur Verinnerlichung dieser wurde empfohlen:

Hilfe beim Umgang mit dem ZUM-Wiki

Anschließend wurden wir im Informatikraum beim Umgang mit dem ZUM-Wiki und dem Formelgenerator sensibilisiert.

Die wichtigsten Hilfen, die in der Übersicht über Hilfen im Reiter links zu finden sind, sind:

Der Funktionsplotter MatheGrafix 8

Gerade für Protokollanten (wie mich) wurde erneut und detailliert der Umgang mit dem Funktionsplotter MatheGrafix 8 geschildert. Hierzu einige bebilderte Beispiele:

Formvariablen

Durch die Benutzung einer Formvariable ergibt sich Folgendes:

Y-Achsenverschiebung.jpg

Hierbei wurde die Normalparabel (x²) auf der y-Achse verschoben. Im Plotter liest sich diese Funktion folgendermaßen:

f(x,t) = x^2+t
Dabei ist 't' die Formvariable. Sie nimmt in dieser Abbildung die Werte von -1 bis 1 an.

Weitere Beispiele:

x-Achsenverschiebung; f(x,t) = (x-t)^2; t=[-1;1]
Achsenverschiebung in x- und y-Richtung; f(x,t) = (x-t)^2+t; t=[-1;1]
t als Exponent; f(x,t) = x^t; t=[0;2]
t als Basis; f(x,t) = t^x; t=[1;4]


Flächen einzeichnen

Sin(x).jpg

In der Leiste "Zubehör" befindet sich das Tool "Flächen". Öffnet man dieses Fenster, so lassen sich insgesamt acht Flächen einzeichnen.

Die dargestellten Graphen sind f(x)=1 und g(x)=sin(x)+1. Die eingezeichnete Fläche liegt zwischen "1." und "2." Graph und bezieht sich auf den Intervall I=[-5;6]. Das Feld "Linien" ist deaktiviert.

Weiteres Beispiel:

f(x)=sin(x)+1; g(x)=cos(x)+1; markierte Fläche zwischen "1." und "2." Graph; I=[-5;6]; "Linien" aktiviert

Hausaufgaben zum 14.09.

Als nächstes besprachen wir die Hausaufgaben. Hier die Endergebnisse:

Übungsblatt:

Aufgabe 1 a) \quad\frac{1}{2}
Aufgabe 4 a) \quad 5\frac{1}{3}
Aufgabe 5 b) \quad 78

Buch S. 66:

Aufgabe 3 b) \quad 1\frac{1}{3}
Aufgabe 5 a) \quad 2\frac{2}{3}
Aufgabe 5 b) \quad \frac{27}{16} \ \approx 1,69



Da noch Unklarheiten über Aufgabe 5 b) herrschten, wurde diese gemeinsam an der Tafel besprochen:

f(x)=-\frac{1}{x^2}\qquad \qquad \qquad g(x)=2,5x-5,25

Schritt 1: Schnittpunkte ermitteln

f(x)=g(x)

-\frac{1}{x^2} =2,5x-5,25 \qquad \mid \cdot x^2 \qquad \qquad (x\not= 0)
-1=2,5x^3-5,25x^2 \qquad \mid +1
0=2,5x^3-5,25x^2+1

Ausklammern ist an dieser Stelle nicht erlaubt, da ein konstanter Wert, in diesem Fall +1, vorhanden ist. Also bedienen wir uns der Polynomdivision, wie eingangs geschildert.

Im Zuge der Polynomdivision raten wir die Nullstelle 2:

 \begin{matrix} (2,5x^3 & - 5,25x^2 & +1) : (x &  -2) = & 2,5x^2 -0,25x -0,5\\
\underline{-(2,5x^3} & \underline{- 5x^2)} \\
0 & -0,25x^2 & +1 \\
& \underline{-(-0,25x^2} & \underline{+0,5x)} \\
& {-(-0,25x^2} & {+0,5x)} \\
& 0 & -0,5x & +1 \\
& & \underline{-(-0,5x} & \underline{+1)} \\
& & & 0 \\
\end{matrix}

Die Graphen und die von ihnen eingeschlossene Fläche

Nun wenden wir uns der p-q-Formel zu:

\frac{5}{3}x^2-\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}=0 \qquad \mid \cdot \frac{2}{5}

x^2-\frac{1}{10}x-\frac{2}{10}=0

x^2-0,1x-0,2=0

x_2/x_3=-\frac{-1}{20} \pm \sqrt{(\frac{-1}{20})^2-(-\frac{2}{10}) }

x_2=0,5 \qquad \qquad \qquad x_3=-0,4

Hausaufgaben zum 19.09.2011

Aufgabe 6, 7, 12
Aufgabe 4 a)
  • Aufgabe 5 b) (siehe oben) fertig

Protokoll vom 19.9.2011 / Thema: Die Definition des bestimmten Integrals nach Leibniz

erstellt am 19.9.2011 Protokoll von --Schenkel Ob 18:41, 19. Sep. 2011 (CEST)
Lehrer: C.-J. Schmitt (Schuljahr 2011 / 12)

Hinweise von Herr Schmitt

  • Die Arbeitsunterlagen sind in einem Ordner o.ä. einzuordnen. Es soll keine losen Blätter geben. Außerdem soll jeder Schüler und jede Schülerin immer das Material der letzten 4 Wochen dabei haben.
  • Nebenrechnungen gehören auch zur Rechnung, sie sollen mit im Heft stehen.

Lösungen der Hausaufgaben vom 14.9.2011

"Maxi´s Aufgabe":

2\frac{2}{3}

Übungsblatt 2 Nr.3

3.) 24\frac{2}{3}

Buch S. 66 Nr. 4a/5b (6/7/12)

4a.) 7\frac{1}{3}


5b.) \frac{27}{16} \approx 1,69


6) 10\frac{2}{3}


7a.) 1\frac{1}{3}

b.) \approx 2,58

c.) 2\frac{2}{3}


12a.) A \Rightarrow f(x) ; B \Rightarrow i(x) ; C \Rightarrow h(x) ; D \Rightarrow g(x)

b.) j(0) = -2; der Punkt  P(0|-2) gehört zu keinem der abgebildeten Graphen.




Polynomdivision-Übung

1.)

 \begin{matrix} (x^3 & - 0,5x^2 & -11x & -12) : (x &  +2) = & x^2 -2,5x -6\\
\underline{-(x^3} & \underline{- 2x^2)} \\
0 & -2,5x^2 & -11x \\
& \underline{-(-2,5x^2} & \underline{-5x)} \\
& {-(-0,25x^2} & {+0,5x)} \\
& 0 & -6x & -12 \\
& & \underline{-(-6x} & \underline{-12)} \\
& & & 0 \\
\end{matrix}


2.)

 \begin{matrix} (x^3 & - x^2 & -22x & +40) : (x &  -4) = & x^2 +3x -10\\
\underline{-(x^3} & \underline{- 4x^2)} \\
0 & 3x^2 & -22x \\
& \underline{-(3x^2} & \underline{-12x)} \\
& 0 & -10x & +40 \\
& & \underline{-(-10x} & \underline{+40)} \\
& & & 0 \\
\end{matrix}


3.)

 \begin{matrix} (5x^3 & - 8x^2 & -27x & +18) : (x &  +2) = & 5x^2 -18x +9\\
\underline{-(5x^3} & \underline{+ 10x^2)} \\
0 & -18x^2 & -27x \\
& \underline{-(-18x^2} & \underline{-36x)} \\
& 0 & 9x & +18 \\
& & \underline{-(9x} & \underline{+18)} \\
& & & 0 \\
\end{matrix}



Übungsblatt 2 Nr.4 (unten rechts)

Wir setzen die Funktionen gleich.


x^3-x^2+x-1=4x^2-5x-1

x^3-5x^2+6x=0

x(x^2-5x+6)=0


 \Rightarrow x_1=0


 \Rightarrow Wir wenden den Satz des Vieta an

 \Rightarrow x_2=2 
\qquad \Rightarrow  f(2)=g(2)=5
\qquad \Rightarrow (2|5)

 \Rightarrow x_3=3
\qquad \Rightarrow  f(3)=g(3)=20
\qquad \Rightarrow (3|20)


Übungsblatt 2 Nr. 4.jpg


\| \int_{0}^{2} ( f (x)-g(x))\,dx \|

=\| \int_{0}^{2} ( x^3-5x^2+6x)\,dx \|

=\| \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{5}{3}x^3 + 3x^2 \right]_0^2 \|

=2\frac{2}{3}





\| \int_{2}^{3} ( f (x)-g(x))\,dx \|

=\| \int_{2}^{3} ( x^3-5x^2+6x)\,dx \|

=\| \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{5}{3}x^3 + 3x^2 \right]_2^3 \|

=\frac{5}{12}



2\frac{2}{3}+\frac{5}{12}=3\frac{1}{12}


Der Flächeninhalt beträgt 3\frac{1}{12}



Allgemeine Definition des bestimmten Integrals nach Leibniz (1646-1716)

a.) f monoton steigend

Zeichnung 1.jpeg


\Delta x=\frac{b-a}{n}


Wir bilden die Ober- und Untersumme...


 O_n=\Delta x(f(a+\Delta x)+f(a+2\Delta x)+...+f(a+n\Delta x))

 U_n=\Delta x(f(a)+f(a+\Delta x)+...+f(a+(n-1)\Delta x))


O_n=\sum_{i=1}^{n} f(a+i\Delta x)\cdot \Delta x

U_n=\sum_{i=0}^{n-1} f(a+i\Delta x)\cdot \Delta x


...und ziehen sie voneinander ab.

 O_n-U_n=\Delta x(f(a+n\Delta x)-f(a))

O_n-U_n=\Delta x(f(b)-f(a))


f(b)-f(a) ist eine Konstante!


\lim_{n\to\infty} (O_n-U_n)=0



b.) f monoton fallend

Zeichnung 2.jpeg


Vorgehensweise siehe a.)

 O_n=\Delta x(f(a)+f(a+\Delta x)+...+f(a+(n-1)\Delta x))

 O_n=\sum_{i=0}^{n-1} f(a+i\Delta x)\cdot \Delta x



c.) f beliebig

Zeichnung 4.jpeg

wähle pro Intervall den maximalen Funktionswert!


O_n=\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\cdot \Delta x


\int_{a}^{b} f (x)\,dx = \lim_{n\to\infty}  \sum_{i=1}^{n}f(x_i)\cdot \Delta x

Für n gegen Unendlich wird


Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): \int\ \longleftarrow_{n\to\infty} \sum\


und


dx \longleftarrow_{n\to\infty} \Delta x



Integral von 0 bis k (Beispielaufgabe mit Formvariable)

Wir rechnen das Integral aus


\int_{0}^{k} (x^2-2x)\,dx=-\frac{4}{3}

\frac{1}{3}\left[  x^3\right] _0^k-\left[  x^2\right]_0^k=-\frac{4}{3}

\frac{1}{3}(k^3)-k^2=-\frac{4}{3}

k^3-3k^2=-4

k^3-3k^2+4=0


geraten: k_1=-1


 \begin{matrix} (k^3 & - 3k^2 &  +4) : (k &  +1) = & k^2 -4k +4\\
\underline{-(k^3} & \underline{ +k^2)} \\
0 & -4k^2 & +4 \\
& \underline{-(4k^2} & \underline{-4k)} \\
& 0 & -4k & +4 \\
& & \underline{-(4k} & \underline{+4)} \\
& & & 0 \\
\end{matrix}


Die Polynomdivison geht auf, wenn die 0-Stelle richtig geraten ist!


 \Rightarrow Wir wenden den Satz des Vieta an

 \Rightarrow k_2=2

 \Rightarrow k_3=2


 \Rightarrow k=2


für \int_{0}^{k} (x^2-2x)\,dx=-\frac{4}{3} muss k=2 sein.




bei ganzrationalen Funktionen 3.Grades (z.B.  f(x)=x^3 ) gibt es mindestens eine Lösung!

Zeichnung 3.jpeg

für  x \rightarrow \infty \Rightarrow  y \rightarrow \infty

für  x \rightarrow -\infty \Rightarrow  y \rightarrow -\infty


\Longrightarrow der Graph muss die x-Achse schneiden!



Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse

1.)

 f(x) = \frac{1}{3}x^3-x^2-x+3

I=\left[ 0;4\right]

0=x^3-3x^2-3x+9


geraten: x_1=3


 \begin{matrix} (x^3 & - 3x^2 &  -3x &  +9) : (x &  -3) = & x^2 -3\\
\underline{-(x^3} & \underline{ -3x^2)} \\
 0 & 0 & -3x \\
&& \underline{-(-3x} & \underline{+9)} \\
& & & 0 \\
\end{matrix}


x^2-3=0

x^2=3


Aufgrund der Potenz ergeben sich folgende Ergebnisse:


x_1=3

x_2=\sqrt{3}=\approx 1,7

x_2=-\sqrt{3}=\approx -1,7


Fläche zwischen Graph und x-achse (1).jpg


 A_1=\int_{0}^{\sqrt{3}} (x^3-3x^2-3x+9)\,dx=2,71

 A_2=\| \int_{\sqrt{3}}^{3} (x^3-3x^2-3x+9)\,dx\|=0,46

 A_3=\int_{3}^{4} (x^3-3x^2-3x+9)\,dx=1,75


 A=4,92




2.)

f(x)=\frac{1}{3}x^4-\frac{10}{3}x^2+3


I=\left[ -3;2\right]


Nullstellen: (mit Hilfe einer biquadratischen Gleichung)

0=\frac{1}{3}x^4-\frac{10}{3}x^2+3

0=x^4-10x^2+9 \qquad |x^2=z

0=z^2-10z+9


 \Rightarrow Wir wenden den Satz des Vieta an...

 \Rightarrow z_1=9=x^2

 \Rightarrow z_2=1=x^2


...und lösen die "z" auf.


x_1=3

x_2=-3

x_3=1

x_4=-1


Fläche zwischen Graph und x-achse (2).jpg


I=\left[ -3;2\right]


 A_1=\|\int_{-3}^{-1} (x^4-10x^2+9)\,dx\|=6,76

 A_2=\int_{\sqrt{-1}}^{1} (x^4-10x^2+9)\,dx=3,91

 A_3=\|\int_{1}^{2} (x^4-10x^2+9)\,dx\|=2,71


 A=13,38



Übungsblatt 3 Nr. 1 (VHalle) -Ansatz-

V_{Halle}=?

V_{Quader}=8 \cdot 20 \cdot 60 m^3 = 9600m^3

V_{Saule}=G \cdot h


Übungsblatt 3 Nr. 1.jpg


f(x)=-ax^2+10

f(10)=-1 \cdot 100 +10=0

10=a \cdot 100

 0,1=a


\Rightarrow f(x)=-0,1x^2 + 10


G=\int_{-10}^{10} f (x)\,dx



Hausaufgaben zum 21.9.11

1.)

f(x)=-x^2+\frac{3}{2}x+4

g(x)=\frac{1}{2}x^2+1

 A=?




2.)

\int_{1}^{k} (4x^3-18x)\,dx=-12

 k=?




3.) S.66 Nr.8 (vergl. Math-Graph!)


4.)

 (5x^3-8x-27x+18) : (x+2) =


5.) Übungsblatt 3 Nr. 1 (VHalle) fertig / Nr. 3




--Schenkel Ob 19:09, 20. Sep. 2011 (CEST)



Besprechung der Hausaufgaben

  • f(x)=-x^2+\frac{3}{2}x+4 \qquad g(x)=\frac{1}{2}x^2+1

A=6\frac{3}{4}


  • \int_{1}^{k} (4x^3-18x)\,dx = -12

k_1=2 \qquad k_2=\sqrt{5}


  • Seite 66 Aufgabe 8

t=16


  • (5x^3-8x^2-27x+18) : (x+2) = 5x^2-18x+9


  • Fehler beim Parsen(PNG-Konvertierung fehlgeschlagen. Bitte die korrekte Installation von LaTeX und dvipng überprüfen (oder dvips + gs + convert)): V_H_a_l_l_e
= 17600 m^3





Privat

  1.  !!!ACHTUNG: Wenn man nur ein Ergebnis hinschreibt bedeutet dies, dass die Hausaufgaben nicht gemacht wurden.
  2. Simens Wettbewerb: http://www.siemens-stiftung.org/de/bildung-soziale-mobilitaet/technisch-naturwissenschaftliche-bildung/weiterfuehrende-schulen/schuelerwettbewerb.html




Vorüberlegungen

Stammfunktion: \quad F^{\prime}(x)=f(x)


\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \Downarrow


Hauptsatz

\quad \quad \int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a)

(Wurde an Beispielen bestätigt.)


Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integralfunktion


1. Stetigkeit

Wann ist eine Funktion stetig?

Eine Funktion heißt stetig an der Stelle x_0.

\lim_{x\to\ x_0} f(x)= f(x_0)

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2. Differenzierbarkeit

  • Differenzenquotient:

\qquad \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}

\qquad (Sekantensteigung)


Differenzialquotient

\qquad \lim_{x\to\ x_0} Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): \

\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}=f'(x_0) 

\qquad (Tagentensteigung)



Es gilt: x=x_0+h, dabei strebt h -> 0


Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): \lim_{h\to\0}

\qquad \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=f'(x_0) 

(Siehe Unterlagen aus dem letzten Schuljahr.)

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3. Integralfunktion

I_a(x) = \int_{a}^{x} f (t)\,dt

x = Variable = Grenze

a (nach dem I) = Index


Beispiel:


f(t) = t^2

I_3(x) = \int_{3}^{x} (t^2)\,dt =\left[\frac{t^3}{3}  \right] ^x_3

= \frac{x^3}{3}-9


I_3'(x) = x^2 = f(x)

Der eigentliche Beweis

Beweis: Hauptsatz


Voraussetzung: f ist stetig!


Behauptung:

\exists (existiert) eine Funktion F mit zwei Eigenschaften.

1. F ist differenzierbar.

2. F'(x) = f(x)


Beweis:

I_a(x) = \int_{a}^{x} f (t)\,dt

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Differenzenquotient der Funktionswerte


I_a(x_0+h) - I_a(x_0)


1. I_a(x_0) = \int_{a}^{x_0} f (t)\,dt

2. I_a(x_0+h) = \int_{a}^{x_0+h} f (t)\,dt

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a) f ist monoton wachsend

F monoton steigend.jpg


h \cdot min \le  I_a(x_0+h)- I_a(x_0) \le h \cdot max


Max. = f(x_o+h) (f = stetig)

Min. = f(x_o)


Differenzenenquozient:

f(x_o) \le \frac{I_a(x_o+h) - I_a(x_0)}{h} \le f(x_0+h)


Differenzialquozient:

Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): f(x_o) \le \lim_{h\to\0} \frac{I_a(x_o+h) - I_a(x_0)}{h} \le f(x_0+h)


Was passiert, wenn h gegen 0 strebt?

f(x_o+h); h\rightarrow 0 \Rightarrow f(x_o)

(Weil f stetig ist!)


Folgerung:

1. Der Grenzwert \exists, d.h. I_a ist differenzierbar.

2. I_a'(x_0) = f(x_0) Die Integralfunktion wurde gefunden. Die Ableitung entspricht der ursprünglichen Funktion.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


b) f ist monoton fallend

F monoton fallend.jpg


h \cdot min \le  I_a(x_0+h)- I_a(x_0) \le h \cdot max


Max. = f(x_o)

Min. = f(x_o+h) (f = stetig)


Differenzenenquotient:

f(x_o+h) \le \frac{I_a(x_o+h) - I_a(x_0)}{h} \le f(x_0)


Differenzialquotient:

Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): f(x_o) \le \lim_{h\to\0} \frac{I_a(x_o+h) - I_a(x_0)}{h} \le f(x_0)


(Nicht vergessen: Wenn h \rightarrow 0 \Rightarrow f(x_o+h) wird zu  f(x_o) )


Folgerung:

1. Der Grenzwert \exists, d.h. I_a ist differenzierbar.

2. I_a'(x_0) = f(x_0) Die Integralfunktion wurde gefunden. Die Ableitung entspricht der ursprünglichen Funktion.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


c) f hat keine Monotomie

F ohne Monotomie.JPG


h \cdot min \le  I_a(x_0+h)- I_a(x_0) \le h \cdot max


Max. = f(y) (An der Stelle y hat die Funktion ein Maximum.)

Min. = f(z) (f = stetig)(An der Stelle z hat die Funktion ein Minimum.)


Differenzenenquozient:

f(z) \le \frac{I_a(x_o+h) - I_a(x_0)}{h} \le f(y)


h\rightarrow 0\Rightarrow y\rightarrow x_0

\qquad \qquad \qquad \qquad \quad z\rightarrow x_0

(y und z rutschen immer weiter zusammen.)


Differenzialquozient:

Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): f(x_o) = \lim_{h\to\0} \frac{I_a(x_o+h) - I_a(x_0)}{h}


\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad q.e.d.

Wir haben die Stammfunktion gefunden.



Hausaufgaben für Montag, den 26.09.2011

  • f(x)=\frac{1}{4}x^3+\frac{1}{2} x^2-2x (Mathegraf!) Der Flächeninhalt (A) zwischen dem Grafen und der x-Achse.
  • Seite 66 Aufgabe 9 und 11.
  • Übungsblatt Nummer 3 Aufgabe 2 und 3 (Reindenken).
  • Übungsblatt Nummer 4 Kästchen zählen und den Flächeninhalt ausrechnen. Außerdem den Flächeninhalt mithilfe des Integrals ausrechnen.



Protokoll vom 26.9.2011 / Thema: Hausaufgabenbesprechung und Beweis des Hauptsatzes

erstellt am 26.9.2011 Protokoll von --Tortosa Valiente Ob 21:18, 26. Sep. 2011 (CEST)
Lehrer: C.-J. Schmitt (Schuljahr 2011 / 12)


Lösungen der Hausaufgaben vom 21.09.2011

f(x)=\frac{1}{4}x^3+\frac{1}{2} x^2-2x

A=12\frac{1}{3}


Buch Seite 66, Nummer 9)

t=3


Übungsblatt 4 Kästchen

 9  volle  => 2,25 cm^2
 7 halbe  => 0,875 cm^2
 4 viertel  => 0,25 cm^2
 6 drei-viertel  => 1,125 cm^2
 Summe  => 4,5 cm^2


Übungsblatt 3 Nummer 1)

Rundungstipp:

133\frac{1}{3} \cdot 60 = (133\cdot 60) + (\frac{1}{3}\cdot 60)=8000

133\frac{1}{3} \approx 133,33 133,33\cdot 60 = 7999,8

Bei Runden mit grösserem Mltiplikator bekommen wir grössere Fehlerquote


Fläche zwischen der Parabel und der x-Achse

A_{p}= 133\frac{1}{3} m^2

Volumen vom Dach, waagerechte Säule

V_{d}=133\frac{1}{3} m^2  \cdot  60 m=8000 m^3

Volumen vom Quader

V_{Q}= 60m \cdot  20m \cdot 8m= 9600

Volumen von der Bahnhofshalle

V_{B}= 8000m^3  +  9600 m=17600 m^3


Welche Zeit wird für ein kompletten Luftaustausch benötigt?

2  ventilatoren = 2 \cdot 80 \frac{m^3}{min} = P = 160 \frac{m^3}{min}

P=\frac{V}{t} =Leistung

t=\frac{V}{P}= \frac{17600m^3}{160\frac{m^3}{min}}=110min= 1stund  50 min

Besprechung der Hausaufgaben

Wir besprachen die Aufgabe 11) im Buch, Seite 66, und die Aufgabe 3) vom Übungsblatt 3

Aufgabe 11)

Tangentengleichung:

t(x)=m \cdot x +b

f'(x_{0})= \frac{t(x)-f(x_{0})}{(x-x_{0})
}

f'(x)\cdot (x-x_{0})+f(x_{0})=t(x)


Beweis:


|\int_{0}^{a} (f (x)-t(x))\,dx|=|\int_{0}^{a}( x^2-f'(a) \cdot (x-a)- f(a))\,dx |=

=|\int_{0}^{a} x^2-2a \cdot (x-a)-a^2\,dx |

=|\int_{0}^{a} (x^2-2ax + 2a^2 -a^2)\,dx |=|\int_{0}^{a} (x^2-2ax + a^2)\,dx |=

Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): =|\frac{1}{3} \left[x^3 \right]_{0}^{a}- a\left[x^2 \right]_{0}^{a}+a^2 \left[x^ \right]_{0}^{a}|=


=|\frac{a^3}{3}-a^3+a^3 |= \frac{a^3}{3}

q.e.d

Aufgabe 3)

f(x)=a \cdot x^2

 g(x)=\sqrt{x}


1) Schnittstellen

 g(x)= f(x)

\sqrt{x}= a^2 \cdot x^2

x_{1}=0


\sqrt{x}= a^2 \cdot x^2 | ()^2


x= a^2 \cdot x^3 | :x


1= a^2 \cdot x^3 | :a^2


\frac{1}{a^2} = x^3 | \sqrt[3] {x}


\sqrt[3] {\frac{1}{a^2}}=x

Vorschlag:--CJSchmitt 23:59, 1. Okt. 2011 (CEST)

\sqrt[3] {\frac{1}{a^2}}=x

a^-\frac{2}{3}=x

Vorschlag: --CJSchmitt 23:55, 1. Okt. 2011 (CEST)

a^{-\frac{2}{3}}=x


Alternative
a \cdot x^2 = \sqrt{x} |:x^2
a = \frac{x^{\frac{1}{2}} }{x^2}
a= x^-{\frac{3}{2}}
x= a^-{\frac{2}{3}}

2) Flächeberechnung

\int_{0}^{a^-\frac{2}{3} } x^{\frac{1}{2}} - a \cdot x^2 \,dx = \frac{2}{3} \cdot \left[ x\sqrt{x}\right]_{0}^{a^-\frac{2}{3} } -\frac{1}{3} a \cdot \left[x^3 \right]_{0}^{a^-\frac{2}{3} }


=\frac{2}{3} \cdot a^{-1} - \frac{1}{3} \cdot a \cdot (a^{-2}) = \frac{2}{3} \cdot a^{-1} - \frac{1}{3} \cdot a^{-1}= \frac{1}{3} \cdot a^{-1}

\frac{1}{3} \cdot a^{-1}=2 | \cdot 3

a^{-1}=6

\frac{1}{a}=6 | \cdot a :6

\frac{1}{6} = a

Zum Hauptsatz

Ia diffbar =>

I_{a} ist Stammfunktion von f => F(x) =I_a(x)+C\Rightarrow  I_a(x)= F(x) -C

F'(x)=Ia´(x) = f(x) => F ist Stammfunktion von f


I_{a}(a)=\int_{a}^{a} f (x)\,dx =0

\int_{a}^{b} f (x)\,dx = I_{a}(b)-I_{a}(a)=

=F(b) - C - (F(a)-C)=

= F(b) - F(a)


Übungsblatt 5

1a)

Schnittstelle

f_{t}(x)= x^2+tx

0= x^2 +tx

0=x \cdot (x+t)

x_{1} = 0
x_{2} = -t

Fläche


|\int_{-t}^{0} (x^2+tx)\,dx | = |\frac{1}{3} \cdot \left[x^3 \right]_{-t}^{0}  +\frac{t}{2}  \left[x^2 \right]_{-t}^{0}        |


=|\left( \frac{1}{3} \cdot (0-(-t)^3\right) + \left( \frac{t}{2} \cdot (0-(-t)^2\right)|


|\frac{t^3}{3} -\frac{t^2}{2}|= |-\frac{1}{6} t^3|=\frac{1}{6} t^3


\frac{1}{6}\cdot t^3 = 4,5 |\cdot 6


t^3 = 27 |\sqrt{x^{3}}

 t = 3


1b)

Schnittstellen

Sind die selben, wie in der Aufgabe davor

x_{1} = 0
x_{2} = -t

Fläche

=|\int_{0}^{-t} (x^2 + tx)\,dx | = |\frac{1}{3}\left[x^3 \right]_{0}^{-t} + \frac{t}{2}\left[x^2 \right]_{0}^{-t} |


 |\frac{1}{3} \cdot (-t)^3+\frac{1}{2} \cdot t^2  | = |-\frac{t^3}{3} +\frac{t^2}{2} |= |\frac{t^3}{6} | = -\frac{t^3}{6}


-\frac{t^3}{6}=4,5 |\cdot 6


-t^3 = 27 |\cdot (-1) \sqrt{x}^{3}


 t= -3


Hausaufgaben vom 26.09.2011

Übungsblatt 5, Nummer 2) und 3)

(4x^3-2x^2+x-0,5) :  (x-0,5)

Buch Seite 66, Nummer 10

f(x)= x^3 - kx

A=36

Anmerkung von C. Schmitt

Hallo Carlos, beachten Sie diese Nachricht an Arthur bitte an passender Stelle:

Beweis Hauptsatz

Hallo Arthur, bei der Nachbereitung unseres heutigen Unterrichts ( hier: die Stunde nach der Mittagspause) ist mir aufgefallen:

Es ging um die Integralfunktion:

I_a(a) = \int_{a}^{a} f (x)\,dx =0

Meine Aussage Ihnen gegenüber, dass Sie das doch einst bewiesen hätten, war unpassend, da Sie damals für den Beweis den (noch unbewiesenen) Hauptsatz verwendeten.

Also können wir beim Beweis des Hauptsatzes nicht damit argumentieren...

Demzufolge müssen wir   \int_{a}^{a} f (x)\,dx =0 aus dem Leibniz-Integral heraus begründen.

--CJSchmitt 19:44, 26. Sep. 2011 (CEST)--


Protokoll vom 28.9.2011 / Thema: Aufgabenbesprechung und Infos zum Leistungsnachweis

erstellt am 28.9.2011 Protokoll von --OB007 18:14, 29. Sep. 2011 (CEST)
Lehrer: C.-J. Schmitt (Schuljahr 2011 / 12)

Besprechung der Hausaufgaben vom 26.9.2011

  • Übungsblatt 5, Aufgabe 2:  t=\frac{1}{2}
  • Übungsblatt 5, Aufgabe 3:  k=1,04
  • f(x)=x^3-kx

\quad \quad A=36

\quad \quad  x_1=0;  x_2=k

\quad \quad \left|\int_{0}^{k} (x^2-kx)\,dx \right| =\left| -\frac{1}{6}k^3 \right|


\quad \quad Fallunterscheidung:

  1. k>0 \Rightarrow k=6
  2. k<0 \Rightarrow k=-6
  • Buch Seite 66, Aufgabe 10: a=1 (ausführliche Beschreibung unten)
  • Übungsblatt 3, Aufgabe 2: A=64-\pi \approx 60,86 (ausführliche Beschreibung unten)




Informationen/Tipps für den Leistungsnachweis am 05.10.2011

  • Die Musterklausur und die Übungsblätter Ü5 und Ü3 sind sehr gute Übungsaufgaben für die Klausur.
  • Man sollte sich nochmals die Idee des Hauptsatzbeweises \left( \int_{a}^{b} F' (x)\,dx =\left[F(x) \right]^b_a\right) durch den Kopf gehen lassen.
  • Nochmals die Tantgentengleichung anschauen.
  •  !Taschenrechner und Parabelschablone nicht vergessen!
  • Die Aufgaben in Ruhe ansehen bevor man loslegt.
  • Nicht zu viel Druck machen.



Bearbeitung der Musterklausur

Wir haben am Mittwoch einige der Aufgaben von der Musterklausur besprochen.


Aufgabe 1)

f(x)=\frac{1}{2} x^2-2

 \qquad g(x)=-\frac{1}{3} x+\frac{7}{2}


Zuerst die beiden Funktione gleichsetzen und die Nullstellen berechnen.

Daraus erhalten wir: x_1=3 \quad x_2=-\frac{11}{3}


Jetzt noch integrieren: A= \left| \int_{-\frac{11}{3} }^{3} (\frac{1}{2}x^2-2+\frac{1}{3}x-\frac{7}{2})\,dx \right|

 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad  \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad A= 24,69


Aufgabe 2a)

Bei dieser Aufgabe gilt es, die Gemeinsamkeiten der Funktionsschar f_k(x)-x^2+kx (0<k\le 3) ausfindig zu machen.

Zunächst betrachte man sich eine Skizze der Funktionen:

Using Ob Bildschirmfoto 2011-10-02 um 14.50.56.png

Man bemerkt, dass alle Funktionen durch den Nullpunkt gehen.

Dies kann man auch belegen:

f(x)=-x^2+kx

0=-x^2+kx

0=x(-x+k)

Wir erkennen, dass x_1 bei jeder Funktion der Funktionsschar gleich 0 ist und man erkennt auch, dass x_2 bei jeder Funktion kist.

Des Weiteren liegt die Vermutung nahe, dass jede Funktion der Funktionsschar, sowohl bei x gegen positiv unendlich, als auch bei x gegen negativ unendlich, gegen negativ unendlich läuft.

Dies kann man überprüfen, indem man x gegem \pm \infty streben lässt.

\lim_{x\to\infty} = -\infty

\lim_{x\to -\infty} =-\infty

Man sagt: "Das Verhalten der Potenz mit größter Hochzahl, also -x2 entscheidet. --CJSchmitt 07:06, 4. Okt. 2011 (CEST)

Des Weiteren kann man die Graphen auf Hoch- und Tiefpunkte prüfen.

f(x)=-x^2+kx

f'(x)=-2x+k

0=-2x+k \qquad|+2x

2x=k \qquad| :2

x=\frac{k}{2}

f''(x)=-2 <----- Hochpunkt

Jeder Graph hat einen Hochpunkt an der Stelle  x=\frac{k}{2} .

Aufgabe 2b)

Bei dieser Aufgabe gilt es, die Fläche zwischen f_t(x) und der x-Achse zwischen x=0 und x=3 zu berechnen.

Zunächst betrachte man sich die Funktion und die Vorgaben:


f_k(x)=-x^2+kx


0<k\le 3


Wir erkennen, dass k kleiner als 3 ist, somit muss es zwei Teilflächen zwischen 0 und 3 geben, da die Graphen der Funktionsschar die x-Achse in jedem Fall vor der Stelle x=3 schneiden,da k (Schnittpunkt mit der x-Achse) kleiner 3 ist.

Zur Illustration ( Beispiel ):

Using Ob Bildschirmfoto 2011-10-02 um 16.13.16.png

Daher müssen wir von 0 bis k und von k bis 3 integrieren (Zur Erinnerung: k und 0 waren unsere Nullstellen (Siehe 2a.)).

Wir wissen, dass die Fläche von 0 bis k positiv wird, daher können wir in diesem Fall die Betragsstriche weglassen.


\int_{0}^{k} -x^2+kx\,dx = -\frac{1}{3} \left[  x^3\right]_0^k +\frac{k}{2}  \left[x^2 \right]_0^k


=-\frac{1}{3}  \left( k^3-0\right)  +\frac{k}{2}  \left( k^2-0\right) =-\frac{1}{3}k^3+\frac{k^3}{2}


=\frac{1}{6}k^3


Unser erster Flächeninhalt beträgt \frac{1}{6}k^3


Nun integrieren wir von k bis 3.

Normalerweise setzen wir dies in Betragsstriche, jedoch wissen wir das ein negativer Wert herauskommt , daher können wir , um den Betrag herauszufinden, direkt ein Minus vor das Integral setzen, welches wir am Ende der Rechnung auflösen werden.


- \left( \int_{k}^{3} -x^2+kx\,dx \right) =- \left(  -\frac{1}{3} \left[  x^3\right]_k^3 +\frac{k}{2}  \left[x^2 \right]_k^3 \right)


=- \left(  -\frac{1}{3} \left(  3^3-k^3 \right)  + \frac{k}{2} \left(  3^2-k^2 \right) \right)  = - \left(  -9+\frac{1}{3}k^3+\frac{9}{2}k-\frac{1}{2}k^3 \right)


=- \left(  -\frac{1}{6}k^3 +\frac{9}{2}k -9  \right)


= \frac{1}{6}k^3 -\frac{9}{2}k +9


Nun haben wir unsere beiden Flächeninhalte und können nun k so bestimmen, dass der Flächeninhalt minimal wird.


A_1 + A_2 =A


= \frac{1}{6}k^3 -\frac{9}{2}k +9  + \frac{1}{6}k^3 =\frac{1}{3}k^3 -\frac{9}{2}k +9


A(k)=\frac{1}{3}k^3 -\frac{9}{2}k +9

Um das Minimum einer Funktion an einer Stelle zu bestimmen, muss man die Funktion ableiten und gleich Null setzen.

A'(k)=k^2 -\frac{9}{2}


0=k^2 -\frac{9}{2} \qquad |+\frac{9}{2}


\frac{9}{2} =k^2


\sqrt{\frac{9}{2}} = k


\pm 2,12 \approx   k


A: Da 0<k sein soll ist unsere Lösung k \approx 2,12 .

A''(k)=2k>0

A''(2,12)=4,24>0


Also A: An der Stelle 2,12 ist ein Minimum. --CJSchmitt 07:19, 4. Okt. 2011 (CEST)

--Using Ob 15:59, 2. Okt. 2011 (CEST)



Aufgabe 3) (Der Beweis des Satzes des Vieta)

Den Satz des Vieta haben wir mit Hilfe der p-q Formel bewiesen.

x^2+px+q=0

x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\,

\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \Downarrow

x_{1}=-\frac{p}{2} + \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\,

x_{2}=-\frac{p}{2} - \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\,

Erstmal der Beweis für p:

Laut dem Satz des Vieta muss  x_1 plus  x_2 \qquad -p ergeben.

Und in der Tat, rechnen wir  x_1 + x_2 , dann kürzen sich die \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q} weg und wir haben am Ende -\frac{p}{2} - \frac{p}{2} = -p übrig.

Jetzt der Beweis für q der lautet:

 x_1 \cdot x_2 =q

Wir rechnen also  \left(-\frac{p}{2} + \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\ \right) \cdot \left(-\frac{p}{2} - \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\ \right)

Dies entspricht der 3. Binomischen Formel ( \left( a+b \right) \cdot \left( a-b \right) = a^2-b^2 )

\Rightarrow \left(-\frac{p}{2} \right)^2-\left( \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}^2\right)

= \frac{p^2}{4}-\frac{p^2}{4} +q

=q

q.e.d




Aufgabe 5)

  • a) \int_{}^{}(x^n)\,dx \qquadStammfunktion: \frac{x^{n+1}}{n+1}
  • b) \int_{}^{}(\frac{1}{x^2}+2x+1 )\,dx \qquad Stammfunktion: -\frac{1}{x}+\frac{2x^2}{2}+x
  • c)\int_{}^{}(-\frac{2}{\sqrt{x} }+\cos (x) )\,dx \qquad Stammfunktion: -4\sqrt{x}+\sin (x)
  • d)\int_{}^{} (\sqrt{x}+\sin (x)  )\,dx \qquad Stammfunktion: \frac{2x\sqrt{x} }{3}-\cos (x)

Aufgabenbesprechung

Wir haben noch die Aufgaben Seite 66, Nummer 10 und auf dem Übungsblatt 3 Aufgabe 2 ausführlich besprochen.


Übungsblatt 3, Aufgabe 2

Fahradweg.jpg

Dieser Graf ist gegeben.

Bei dieser Aufgabe handelt es sich um eine Steckbriefaufgabe.

Die Funktion muss so aussehen: f(x)=ax^4+bx^2+c, da es nur bei dieser Funktion möglich ist, dass der Graf 3 mal eine waagrechte Tangente hat, wie hier der Fall ist. C haben wir schon vorgegeben, es handelt sich um -6.

Man sieht am Grafen, dass er bei f(10) eine Nullstelle hat.

Es gillt also: f(10)=0


Man setzt nun also 10 in die Funktion ein:

 a \cdot 10^4+b \cdot 10^2 -6=0

 = 10000a+100b-6=0


Da der Graf an der Stelle f(10) keine Steigung hat folgt:

f'(10)=0


Also bilden wir nun die Ableitung von unserer Funktion:

f'(x)= 4ax^3+2bx

und setzten f'(10)=0 ein:

 4a \cdot 10^3+2b \cdot 10=0

4000a+20b=0 \qquad |um die Gleichung zu vereinfachen teilen wir noch durch 20

200a+b=0


Jetzt können wir durch das Einsetztungsverfahren a und b ausrechnen.

Zuerst lösen wir die Funktion nach b auf:

b=-200a


Dies setzten wir nun in die erste Gleichung von vorhin ein:

10000a+100(-200a)-6=0

 = 10000a-20000a-6=0

 = -10000a-6=0 \qquad |+6

 = -10000a=6\qquad |:-10000

 a = 0,0006

Nun setzen wir  a = 0,0006 in eine der beiden Funktione ein, lösen nach b auf und erhalten b=0,12


Dadurch haben wir unsere Funktion gefunden:

 f(x)=-0,0006x^4+0,12x^2-6

Jetzt integrieren wir:


\left|\int_{-10}^{10} f (-0,0006x^4+0,12x^2-6)\,dx \right|

 = 64


(Alternative: Da es unnötig kompliziert ist, von -10 bis +10 zu integrieren, kann man auch einfach von 0 bis 10 integrieren und das ganze dann verdoppeln, also: 2 \cdot \left|\int_{0}^{10} f (-0,0006x^4+0,12x^2-6)\,dx \right|)


Nun darf man nicht vergessen den Flächeninhalt des Brunnens noch abzuziehen. Zur Erinnerung: Der Flächeninhalt eines Kreises ist: \pi \cdot r^2. Da der Radius 1 ist ziehen wir von 64 \pi ab.

Also ist das Ergebnis: 60,86


Seite 66, Aufgabe 10

f_a(x)=a \cdot \sin (x)

g_a(x)=- \frac{1}{a} \cdot \sin (x)

x \in \left[0; \pi \right]


Zuerst integrieren wir:

\left |\int_{0}^{\pi } f (x)-g(x)\,dx \right |


\left |\int_{0}^{\pi } (a \cdot \sin(x) + \frac{1}{a}\sin (x)  \,dx \right |

= \left | a \left[-\cos (x)\right]^\pi_0+\frac{1}{a}\left[-\cos (x)\right]^\pi_0 \right |

= \left |  \left(-\cos (\pi )+\cos (0) \right)+\frac{1}{a}\left(-\cos (x)+\cos (0) \right) \right | \qquad beachte: \cos (\pi )= -1

= \left |2a+\frac{2}{a}  \right |=A(a)


Fallunterscheidung


1. a>0

2a+\frac{2}{a}=A(a)

Achtung: a ist jetzt eine Variable und nicht wie sonst eine Konstante!! Um nicht verwirrt zu werden kann man sich a als x

vorstellen.


Jetzt haben wir zwar den Flächeninhalt ausgerechnet, aber wir müssen noch a so bestimmen, dass der Flächeninhalt minimal wird. Dies bedeutet wir brauchen eine Steigung von 0. Also leiten wir A(a) ab.


A'(a)=2-\frac{2}{a^2}

Diese setzen wir nun gleich 0:

A'(a)=0

0=2-\frac{2}{a^2} \qquad | \cdot a^2

0=2a^2-2 \qquad | +2

2=2a^2 \qquad | :2

1=a^2

a=1 \qquad (a=-1 entfällt)


Nun müssen wir allerdings noch herausfinden, ob bei a=1 der Flächeninhalt wirklich minimal ist, sprich wir müssen schauen, ob a=1 ein Minimum ist.

Dafür brauchen wir die zweite Ableitung  A''(a)


A''(a)=\frac{4}{a^3}

\frac{4}{1^3} >0

 \Rightarrow da dies größer als 0 ist, handelt es sich an der Stelle a=1 um ein Minimum.


Da dies ein Minimum ist, wissen wir nun, dass a=1sein muss, damit der Flächeninhalt minimal wird.

Abschließende Worte

  • Es ist wichtig nächsten Mittwoch unbedingt zur Klausur zu kommen, außer man ist wirklich krank.
  • Der wichtigste Lernstoff sind die eigenen Hausaufgaben, also am besten die nochmals durchgehen.
  • Bei Fragen zu den Musteraufgaben können Fragen an Herr Schmitt gesendet werden, aber vorher versuchen die Aufgaben selbst zu lösen.
  • Viel Glück an alle für die Klausur Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\unitlength“): \unitlength{.6} \picture(100) { (50,50){\circle(99)} %%head%% (20,55;50,0;2){\fs{+1}\hat\bullet} %%eyes%% (50,40){\bullet} %%nose%% (50,35){\circle(50,25;34)} %%upper lip%% (50,35){\circle(50,45;34)} %%lower lip%% }