Musterklausuren vom ersten Halbjahr des 12.2. Schuljahrs

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Inhaltsverzeichnis

Pdf20.gif Musterklausur zum dritten Leistungsnachweis

Aufgabe 1


Aufgabenstellung

Ein Auto verliert pro Jahr etwa 15% an Wert.

Berechnen Sie bitte, in welchem Zeitraum der derzeitige Wert eines Autos auf die Hälfte sinkt.


Lösung

Bei dieser Aufgabe muss zunächst eine Gleichung aufgestellt werden, welche die in der Aufgabenstellung beschriebene Aussage mathematisch eindeutig wiedergibt.

Wir erkennen, dass es sich um eine Funktion handeln muss, welche eine exponentielle Abnahme beschreibt, da der Anfangsbestand des Autowertes jährlich um einen bestimmten Prozentsatz abnimmt.

Da uns der ursprüngliche Wert des Autos nicht bekannt ist, soll dieser Autowert nun dem Buchstaben a gleich sein.

Würden wir nun den Wert des Autos nach einem Jahr ermitteln wollen, müssten wir folgende Gleichung formulieren, womit wir 85% des ursprünglichen Autowertes berechnen, da der Wert des Autos um 15% abgenommen hat.

f(1)=a \cdot 0,85

Würden wir nun den Wert des Autos nach zwei Jahren bestimmen wollen, so müssten wir wiederum 85% des soeben bestimmten Wertes ermitteln, weshalb wir wir folgende Gleichung aufstellen.

f(2)=a \cdot 0,85 \cdot 0,85 = a \cdot 0,85^2

Allgemein lässt sich folgende Gleichung formulieren.

f(x)=a \cdot 0,85^x

Nun sollen wir berechnen, nach wie vielen Jahren der Wert des Autos auf die Hälfte des Anfangswertes gesunken ist.

Es soll also berechnet werden, für welche Zahl für die Variable x folgendes gilt.

f(x)=0,5a

Wir fügen die beiden letzten Gleichungen zusammen und erhalten dadurch die folgende Gleichung.

0,5a=a \cdot 0,85^x

Nun wenden wir Äquivalenzumformungen an und lösen dabei nach der Variable x auf.

0,5a=a \cdot 0,85^x \qquad \qquad | :a

0,5=0,85^x

Nach diesem Schritt logarithmieren wir und wenden die dritte logarithmische Regel an.

0,5=0,85^x \qquad \qquad| \ln()

\ln(0,5)=x \cdot \ln(0,85)

Nun lösen wir endgültig nach der Variable x auf.

\ln(0,5)=x \cdot \ln(0,85) \qquad \qquad | :\ln(0,85)

\frac{\ln(0,5)}{\ln(0,85)}=x

x \approx 4,27

Wir wissen nun, dass der Wert des Autos unabhängig vom Anfangswert nach vier Jahren und ungefähr drei Monaten auf die Hälfte des Anfangsniveaus gesunken ist.

--Liberté 17:33, 26. Mär. 2013 (CET)


Aufgabe 2


Aufgabenstellung

Ermitteln Sie alle Lösungen der Differenzialgleichung f'(x)=-\frac{f(x)}{8} (ohne besonderes Verfahren, d.h. im Kopf durch „sinnvolles Probieren“).

Entscheiden Sie, welche der Lösungen die Bedingung f(-8) =2e erfüllt.


Lösung

Hierbei ist zu überlegen, für welche Funktion f(x) die in der Aufgabenstellung formulierte Gleichung korrekt ist.

Dabei soll jedoch kein Verfahren angewandt, sondern die Lösung durch Überlegungen ermittelt werden.

Hierbei fällt uns auf, dass sich die Ableitung der Funktion f von der Funktion f nur um einen konstanten Vorfaktor von -\frac{1}{8} unterscheiden.

Daher sind Polynome, logarithmische Funktionen und trigonometrische Funktionen ausgeschlossen, da diese die genannte Bedingung, dass sich die Ableitung der Funktion f und die Funktion nur um eine Konstante unterscheiden, nicht in der geforderten Weise erfüllen können.

Wir wissen, dass sich Exponentialfunktionen, speziell die e-Funktion, bei Ableitungen nur um einen konstanten Vorfaktor unterscheiden können. Beispielsweise wissen wir, dass das folgende gilt.

f(x)=e^{ax} \qquad \qquad f'(x)=a \cdot e^{ax}

Setzten wir den Buchstaben a nun gleich dem Bruch -\frac{1}{8}, so erhalten wir folgendes.

f(x)=e^{-\frac{1}{8}x} \qquad \qquad f'(x)=-\frac{1}{8}\cdot e^{-\frac{1}{8}x}

Diese Lösung lässt sich auf unsere Differenzialgleichung übertragen, jedoch handelt es sich nur um eine Lösung.

Wir erhalten alle Funktionen, für welche die Differenzialgleichung korrekt ist, indem wir die Konstante k in die Funktion als Vorfaktor hinzufügen, da diese beim Ableiten unverändert bleibt und somit alle Lösungen der Differenzialgleichung dargestellt werden können.

Wir formulieren daher folgende Lösung für die Differenzialgleichung.

f_k(x)=k \cdot e^{-\frac{1}{8}x}

Nun überprüfen wir unsere Lösung, indem wir die Ableitung der Funktion f ermitteln und mit der rechten Seite der Differenzialgleichung vergleichen.

LS: f'_k(x)=-\frac{1}{8} \cdot k \cdot e^{-\frac{1}{8}x}

RS: -\frac{f_k(x)}{8}= -\frac{1}{8} \cdot k \cdot e^{-\frac{1}{8}x}

Da die Probe unser Ergebnis bestätigt, haben wir mit unserem Ergebnis die Lösung für die Differenzialgleichung gefunden.


Nun gilt es zu bestimmen, bei welcher Funktion fk die folgende Bedingung erfüllt ist.

f(-8)=2e

Dazu berücksichtigen wir diese Gleichung in unserer Funktion fk und lösen nach dem Buchstaben k auf.

2e=k \cdot e^{-\frac{1}{8} \cdot (-8)}

2e=k\cdot e \qquad \qquad |:e

k=2

Nun wissen wir, dass die folgende Funktion die Bedingung erfüllt.

f_2(x)=2\cdot e^{-\frac{1}{8}x}


--Liberté 18:40, 26. Mär. 2013 (CET)


Aufgabe 3


Aufgabenstellung

Untersuchen Sie, ob die Funktion f(x) = 4 + 2 \cdot e^{-3x} die Differenzialgleichung f'(x) = 3\cdot[4-f(x)] löst.


Lösung

Um diese Aufgabe lösen zu können, müssen wir die Funktion f zunächst ableiten.

f(x)=4+2\cdot e^{-3x}

Mittels der Anwendung der Summen- und der Kettenregel erhalten wir das folgende Ergebnis.

f'(x)=-6e^{-3x}

Somit haben wir die linke Seite der Differenzialgleichung für die angegebene Lösung berechnet und vergleichen diese nun mit der rechten Seite der Differenzialgleichung, indem wir den vorgegebenen Term für die Funktion f auf dieser Seite berücksichtigen.

RS: 3 \cdot \left[ 4 - 4 - 2e^{-3x} \right]= -6e^{-3x}

Wir konstatieren, dass bei beim Berücksichtigen der vorgegebenen Lösung auf der rechten und auf der linken Seite der Gleichung die Gleichung korrekt ist, weshalb die vorgegebene Lösung korrekt ist.

--Liberté 19:05, 26. Mär. 2013 (CET)


Aufgabe 4


Aufgabenstellung

Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung f'(x) \cdot f(x)=2 \cdot e^{2x} durch Separation.

Geben Sie die spezielle Lösung der Gleichung für f(0) = 2 an.


Lösung

Da in der vorgegebenen Gleichung die Separation nach Variablen schon vorgenommen wurde, da die Gleichung schon nach Termen mit f auf der linken Seite und nach Termen nur mit der Variablen x auf der rechten Seite aufgelöst wurde.

Daher können wir nun nach dem Verfahren der Separation auf beiden Seiten der Gleichung integrieren, um letztlich danach durch Äquivalenzumformungen einen Term für die Funktion f zu bestimmen.

f'(x) \cdot f(x)=2 \cdot e^{2x} \qquad \qquad | \int () dx

\int f'(x) \cdot f(x) dx = \int 2\cdot e^{2x} dx

Nun bestimmen wir die Stammfunktionen der Integranden auf der rechten und der linken Seite der Gleichung.

Zur Lösung des unbestimmten Integrals auf der linken Seite verwenden wir das Verfahren der Integration durch Substitution.

Daher notieren wir uns nun das Folgende.

\int f'(x) \cdot f(x) dx= \int h(g(x)) \cdot g'(x) dx

Als innere Funktion wählen wir f(x), sodass wir folgendes formulieren können.

g(x)=f(x) \qquad \qquad g'(x)=f'(x)

Dabei verwenden wir als äußere Funktion die Folgende.

h(t)=t \qquad \qquad H(t)=\frac{t^2}{2}

Daher können wir nun die folgende Gleichung erstellen.

\int f'(x) \cdot f(x) dx= \int h(g(x)) \cdot g'(x) dx =H(g(x)) = \frac{f(x)^2}{2}

Nachdem wir nun die linke Seite der Gleichung integriert haben, integrieren wir nun auf der rechten Seite der Gleichung.

 \int 2\cdot e^{2x} dx = e^{2x} + C

Nun berücksichtigen wir die berechneten Ergebnisse in unsere ursprüngliche Gleichung, wodurch wir folgenden Ausdruck erhalten.

\frac{f(x)^2}{2}=e^{2x} + C

Wir wenden bei dieser Gleichung nun Äquivalenzumformungen an und lösen dabei nach f(x) auf.

\frac{f(x)^2}{2}=e^{2x} + C \qquad \qquad | \cdot 2

f(x)^2=2 \cdot e^{2x} +2C \qquad \qquad | \sqrt{()}

f(x)= \sqrt{2e^{2x} + 2C}

Dafür können wir auch folgendes niederschreiben.

f_k(x) = \sqrt{2e^{2x} + k}

Damit haben wir eine Lösung für die Differenzialgleichung gefunden.


Nun soll eine Funktion fk bestimmt werden, bei welcher folgende Bedingung erfüllt wird.

f(0)=2

Diese Gleichung berücksichtigen wir nun in der Funktion fk und drücken folgendes aus.

2= \sqrt{2e^{2\cdot 0} + k}

Nun lösen wir nach der Konstanten k auf.

2=\sqrt{2+k} \qquad \qquad | ()^2

4=2+k \qquad \qquad | -2

k=2

Daher können wir nun die folgende Funktion als Lösung bei der vorgegebenen Bedingung angeben.

f_2(x)=\sqrt{2e^{2x}+2}


--Liberté 22:44, 26. Mär. 2013 (CET)


Aufgabe 5

Aufgabenstellung

Bestimmen Sie jeweils die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung durch Separation

a.  f'(x)=5x^2\cdot f(x)

b. f'(x)-3x=4x^2

Lösung

a)


f^,(x)=5x^{2} \cdot f(x) \qquad \qquad | :f(x)


\frac{f^,(x) }{f(x) } =5x^{2} \qquad \qquad | \int()\,dx


\int\frac{f^,(x) }{f(x) } \,dx = \int 5x^{2} \,dx


\int \frac{f^,(x) }{f(x) } \,dx =\frac{5}{3}x^{3}+C


\ln f(x)  =\frac{5}{3}x^{3}+C \qquad \qquad |:e


f(x)=e^{\frac{5}{3}x^{3}+C  }


f(x)=e^{\frac{5}{3}x^{3}  } \cdot e^{C}


Wie üblich, ersetzen wir e^{C} durch eine Konstante k.

Somit lautet die allgemeine Lösung der Differenzialgleihung:

f(x) =e^{\frac{5}{3}x^{3}  } \cdot k


b)


f^,(x)-3x=4x^2 \qquad \qquad | +3x


f^,(x)=4x^2+3x \qquad \qquad | \int\,dx


\int f^, (x)\,dx=\int 4x^2+3x\,dx


\int f^, (x)\,dx  =\frac{4}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2+C


f(x)=\frac{4}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2+C


--OBTT 14:57, 28. Mär. 2013 (CET)


Aufgabe 6

Aufgabenstellung

Skizzieren Sie das Richtungsfeld der Differenzialgleichung f'(x)=-\frac{1}{2} \cdot f(x)+1 und zeichnen Sie eine mögliche Lösungskurve.

Entscheiden Sie, welcher Funktionstyp aufgrund Ihrer Zeichnung Lösung sein kann.

Lösung

Um den Richtungsfeld der Differenzialgleichung f^,(x)=-\frac{1}{2} \cdot f(x) +1 zu skizzieren, muss man f(x) mit -1,0,1 und 2 gleichsetzen, um damit f^,(x) zu berechnen.

Diese Ergebnisse geben die Richtungen vor.


f(x)=1 \Rightarrow f^,(x)=-\frac{1}{2} \cdot 1+1=0,5


f(x)=2 \Rightarrow f^,(x)=-\frac{1}{2} \cdot 2+1=0


f(x)=-1 \Rightarrow f^,(x)=-\frac{1}{2} \cdot (-1)+1=1,5


f(x)=0 \Rightarrow f^,(x)=-\frac{1}{2} \cdot 0+1=1


Bild1 (1).jpg


Man erkennt anhand des Richtungsfeldes, dass bei y=2 eine waagerechte Asymptote vorliegen muss.

Dadurch muss es sich um eine Exponentialfunktion mit negativen Exponenten handeln.


Mögliche Funktion:

f(x) =-e^{-\frac{1}{2}x } +2

f^,(x)=-e^{-\frac{1}{2} x} \cdot (-\frac{1}{2})


-e^{-\frac{1}{2} x} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2} \cdot (-e^{-\frac{1}{2}x }+2)+1

-e^{-\frac{1}{2} x} \cdot (-\frac{1}{2})= (-\frac{1}{2} (-e^{-\frac{1}{2}x })-1)+1

-e^{-\frac{1}{2} x} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}(-e^{-\frac{1}{2}x })

\qquad\qquad\qquad\qquad\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}x }=\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}x }

Zusätzlich gibt es auch noch einen monoton fallenden Grafen.

Der Grenzwert ist ebenfalls 2.


Zweiter Graph n.jpg


Mögliche Funktion:

f(x) =e^{-\frac{1}{2}x } +2

f^,(x)=e^{-\frac{1}{2} x} \cdot (-\frac{1}{2})


e^{-\frac{1}{2} x} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2} \cdot (e^{-\frac{1}{2}x }+2)+1

e^{-\frac{1}{2} x} \cdot (-\frac{1}{2})= (-\frac{1}{2} (e^{-\frac{1}{2}x })-1)+1

e^{-\frac{1}{2} x} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}(e^{-\frac{1}{2}x })

\qquad\qquad\qquad\qquad\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}x }=\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}x }


--OBTT 16:47, 28. Mär. 2013 (CET)


Aufgabe 7

Aufgabenstellung

f'(x)\cdot \sqrt{x} + f(x) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\cos{x} \qquad \qquad x>0

Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung (Separation nicht verlangt; integrieren und lösen Sie trotzdem; Zusatzpunkte für die Probe, falls alle anderen Aufgaben bearbeitet).

Lösung

f^,(x) \cdot \sqrt{x}+f(x) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x} }=\cos x  \qquad \qquad | \int()\,dx

\int (f^,(x)\cdot \sqrt{x}) \,dx + \int (f(x)\cdot \frac{1}{2\sqrt{x} })  \,dx=\int (\cos x) \,dx

Nun wenden wir die Partielle Integration an, jedoch nur für \int (f^,(x)\cdot \sqrt{x}) \,dx.


Zur Erinnerung, die Partielle Integration lautet:

\int (h^,(x) \cdot g(x))  \,dx =h(x) \cdot g(x)-\int (h(x) \cdot g^,(x))  \,dx


Als innere Funktion wählen wir \sqrt{x} , sodass wir folgendes formulieren können.

g(x)=\sqrt{x} \qquad \qquad g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x} }

Dabei verwenden wir als äußere Funktion die Folgende.

h(x)=f(x)\qquad \qquad h^,(x)=f^,(x)

Daher können wir nun die folgende Gleichung erstellen.

f(x)\cdot \sqrt{x}-\int (f(x)\cdot \frac{1}{2\sqrt{x} })  \,dx +\int (f(x)\cdot \frac{1}{2\sqrt{x} })  \,dx=\int (\cos x) \,dx

Durch die alleinige Integration von \int (f^,(x)\cdot \sqrt{x}) \,dx, können wir nun -\int f(x)\cdot \frac{1}{2\sqrt{x} } und +\int f(x)\cdot \frac{1}{2\sqrt{x} } wegkürzen. Daraus folgt:

f(x)\cdot \sqrt{x}=\int (\cos x) \,dx

Nun müssen wir nur noch nach f(x) auflösen.

f(x) \cdot \sqrt{x}=\sin x \qquad \qquad | :\sqrt{x}

Die allgemeine Lösung der Differenzialgleichnung lautet somit f(x)=\frac{\sin x}{\sqrt{x} }.


Probe:

Zunächst einmal müssen wir die 1.Ableitung von f(x)=\frac{\sin x}{\sqrt{x} } bilden.


Dabei wenden wir die Quotientenregel an. Diese lautet:

f^,(x)=\frac{g^,(x) \cdot h(x)-g(x) \cdot h^,(x)    }{(h(x))^2 }


Die 1.Ableitung heist also:

f^,(x)=\frac{\cos x  \cdot \sqrt{x}-\sin x  \cdot \frac{1}{2\sqrt{x} }    }{(\sqrt{x})^2 }

Jetzt können wir f(x) und f^,(x) in die Ausgangsgleichung einsetzen.

f^,(x)=\frac{\cos x  \cdot \sqrt{x}-\sin x  \cdot \frac{1}{2\sqrt{x} }    }{(\sqrt{x})^2 } \cdot \sqrt{x} + \frac{\sin x }{\sqrt{x} } \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=cos x

\frac{\cos x \cdot\sqrt{x}-\sin x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x} }    }{x} \cdot\sqrt{x}+\frac{sin x}{2x}=cos x

\frac{(cos x \cdot \sqrt{x}- sin x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x} }) \cdot \sqrt{x} }{x}+\frac{sin x}{2x}=cos x

\frac{\cos x \cdot x - sin x \frac{1}{2}  }{x}+\frac{sin x}{2x}=cos x

\frac{cos x \cdot x}{x} - \frac{sin x \frac{1}{2} }{x}+\frac{sin x}{2x}=cos x

\frac{cos x \cdot x}{x} - \frac{sin x }{2x}+\frac{sin x}{2x}=cos x

\frac{cos x \cdot x}{x} =cos x

cos x=cos x

Die Probe bestätigt,dass die allgemeine Lösung der Differenzialgleichnung wirklich f(x)=\frac{\sin x}{\sqrt{x} } ist.


--OBTT 21:51, 28. Mär. 2013 (CET)


Alternative zu 7)

Diese Alternative ist eine schnelle Lösung, die man nur in bestimmten Fällen anwenden könnte, wo die Ableitungen genauso deutlich sind wie hier.

Folgende Formel haben wir:

g(x)=f'(x) \cdot  \sqrt{x} + f(x) \cdot   \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x} }

Dies ist die linke Seite der ganzen Differentialgleichung.

Hier erkennen wir, dass Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}

die Ableitung von \sqrt{x} und mithilfe der Produktenregel, können wir direkt Integrieren.

LT:  G(x)=f(x)\sqrt{x}


f(x)= \frac{sin(x)+c}{\sqrt{x}}

--Tortosa 23:29, 15. Apr. 2013 (CEST)


Aufgabe 8


Aufgabenstellung

Bestimmen Sie bitte alle Funktionen f, für die gilt:

Die Tangente an den Graphen von f an der Stelle x verläuft durch den Punkt P(0|-1)


Lösung

Wir wissen, dass die Formel für eine Tangente einer beliebigen Funktion f die Folgende ist.

t(x)=f'(x_0) \cdot (x-x_0) + f(x_0)

Nun ist uns gegeben, dass diese Tangente der Funktion f durch den Punkt P(0|-1) verlaufen soll. Zudem soll dies an der Stelle x der Fall sein. Beides berücksichtigen wir nun in der obigen Gleichung, weshalb folgende Gleichung entsteht.

-1=f'(x)\cdot (0-x) + f(x) = -x\cdot f'(x) +f(x)

Nun wenden wir das Verfahren der Separation nach Variablen an, weshalb wir folgende Äquivalenzumformungen tätigen.

-1=-x\cdot f'(x) + f(x) \qquad \qquad | -f(x)

-1-f(x)=-x \cdot f'(x) \qquad \qquad | \cdot (-1)

1+f(x)=x \cdot f'(x) \qquad \qquad |: f'(x)

\frac{1+f(x)}{f'(x)}=x

Damit wir nun auf beiden Seiten integrieren können, nehmen wir auf beiden Seiten den Kehrwert, da sich so auf der linken Seite der Gleichung die logarithmische Integration anwenden lässt.

\frac{1+f(x)}{f'(x)}=x \qquad \qquad | ()^{-1}

\frac{f'(x)}{1+f(x)}=\frac{1}{x}

Nun integrieren wir auf beiden Seiten der Gleichung.

\frac{f'(x)}{1+f(x)}=\frac{1}{x} \qquad \qquad | \int()dx

\int \frac{f'(x)}{1+f(x)} dx = \int \frac{1}{x} dx

Nach diesem Schritt ermitteln wir die Stammfunktion des Integranden auf beiden Seiten der Gleichung, wobei wir uns zunächst die linke Seite der Gleichung betrachten, bei welcher wir die logarithmische Integration anwenden.

\int \frac{f'(x)}{1+f(x)} dx = \int \frac{g'(x)}{g(x)} dx = ln(|g(x)|)

Hierbei wählen wir die innere Funktion und ihre Ableitung wie folgt.

g(x)=1+f(x) \qquad \qquad g'(x)=f'(x)

Daher notieren wir uns die folgende Gleichung für die linke Seite der Differenzialgleichung.

LS: \int \frac{f'(x)}{1+f(x)} dx = ln(|1+f(x)|)

Da uns die Stammfunktion des Integranden auf der rechten Seite der Gleichung als die Funktion des natürlichen Logarithmus bekannt ist, können wir folgendes niederschreiben.

RS: \int \frac{1}{x} dx = ln(|x|)+C

Die Ergebnisse für die linke und die rechte Seite der Differenzialgleichung fügen wir nun wieder in einer Gleichung zusammen.

 \ln(| 1+ f(x)|)=\ln(|x|) +C

Aus der Definition des natürlichen Logarithmus können wir nun wie folgt formulieren.

e^{\ln(|x|) + C} = |1+f(x)|

Laut Potenzregeln und der Definition des natürlichen Logarithmus können wir nun folgendes ausdrücken.

|x| \cdot e^C= |1+f(x)|

Dafür können wir mittels der Konstanten k auch folgendes niederschreiben.

k \cdot |x| = |1+f(x)|


Da wir nun zwei Beträge in der Gleichung vorliegen haben, müssen wir insgesamt vier Fallunterscheidungen ansetzten.

Dabei gehen wir zunächst davon aus, dass folgendes gilt.

|1+f(x)|>0

Dafür können wir dann folgendes notieren.

k \cdot |x| = 1+ f(x) \qquad \qquad | -1

k \cdot |x| -1 = f(x)

Nun können wir zwei Fallunterscheidungen vornehmen.

|x|>0 \Rightarrow f(x)=kx-1

|x|<0 \Rightarrow f(x)=-kx-1

Zudem können wir zwei weitere Fallunterscheidungen ansetzten, wenn wir folgendes voraussetzten.

|1+f(x)|<0

Dafür lässt sich folgendes formulieren.

k \cdot |x| = -1-f(x) \qquad \qquad | \cdot (-1)

-k \cdot |x|=1+f(x) \qquad \qquad | -1

-k \cdot |x| -1=f(x)

Nun notieren wir zur Fallunterscheidung folgendes.

|x|>0 \Rightarrow f(x)=-kx-1

|x|<0 \Rightarrow f(x)=kx-1


Nach der Fallunterscheidung können wir letztlich folgendes Ergebnis formulieren.

f(x)= \pm kx-1


--Liberté 15:13, 27. Mär. 2013 (CET)


Aufgabe 9


Aufgabenstellung

Ein Teich kann höchstens 1000 Fischen Lebensraum geben. Am Anfang sind nur 10 Fische im Teich. Diese vermehren sich so, dass die Wachstumsrate 10% des Unterschiedes zwischen 1000 und dem betreffenden Fischbestand beträgt. Die Einheit auf der Zeitachse ist das Jahr.

a. Analysieren Sie bitte, welche Funktion den Fischbestand beschreibt.

b. Berechnen Sie dann, nach wie vielen Jahren 990 Fische zu erwarten sind.

c. Diskutieren Sie auch einen Bestand von 1000 Fischen.


Lösung


Teilaufgabe a

Um die Funktion für den Fischbestand aufstellen zu können, müssen wir zunächst die Informationen aus dem Text mathematisch interpretieren.

Wir wissen, dass die Wachstumsrate der Funktion gleich 10% des Unterschieds zwischen 1000 und dem betreffenden Fischbestand, also dem Fischbestand zum Zeitpunkt t, ist.

Nun definieren wir die Funktion f(t) als die den Fischbestand beschreibende Funktion.

Die Ableitung dieser Funktion beschreibt die Wachstumsrate der Fischpopulation, daher ist f'(t) die im Text beschriebene Wachstumsrate der Funktion.

Da diese gleich 10% des Unterschieds zwischen 1000 und dem Fischbestand zum Zeitpunkt t ist, formulieren wir zunächst folgendes.

Der Unterschied zwischen 1000 und dem Fischbestand zum Zeitpunkt t ist seine Differenz und kann mathematisch wie folgt beschrieben werden.

1000-f(t)

Nun ist die Wachstumsrate der Fischpopulation f'(t) gleich 10% der soeben formulierten Differenz, weshalb wir folgendes notieren können.

f'(t)=0,1 \cdot \left( 1000 - f(t) \right)

Somit haben wir die gegebene Information größtenteils mathematisch umgesetzt.

Da hier eine Differenzialgleichung vorliegt und erkennbar ist, dass wir das Verfahren der Separation nach Variablen anwenden können, gehen wir nun nach dieser Methode vor.

Zunächst separieren wir die Variablen per Äquivalenzumformung.

f'(t)=0,1 \cdot (1000 - f(t)) \qquad \qquad | :(1000-f(t))

\frac{f'(t)}{1000-f(t)}=0,1

Nachdem wir nun separiert haben, integrieren wir auf beiden Seiten der Differenzialgleichung.

\frac{f'(t)}{1000-f(t)}=0,1 \qquad \qquad |\int () dx

\int \frac{f'(t)}{1000-f(t)} dx = \int 0,1 dx

Nun wenden wir auf der linken Seite die logarithmische Integration an.

Dabei legen wir fest, dass die innere Funktion 1000-f(t) sein soll.

Da die Ableitung dieses Terms gleich -f'(t) ist, muss das negative Vorzeichen berücksichtigt werden, weshalb wir folgendes formulieren können.

LS: \int \frac{f'(t)}{1000-f(t)} dx = - \int \frac{g'(x)}{g(x)} dx = -\ln(1000-f(t))

Da wir laut der Aufgabenstellung wissen, dass f(t) kleiner oder gleich 1000 ist, benötigen wir keinen Betrag im obigen natürlichen Logarithmus.

Nun berücksichtigen wir dies in der vorigen Differenzialgleichung, weshalb nun folgende Gleichung formuliert werden kann.

-\ln(1000-f(t))= 0,1x +C \qquad \qquad | \cdot (-1)

\ln(1000-f(t))= -0,1x -C

Wegen der Definition des natürlichen Logarithmus können wir nun folgendes formulieren.

e^{-0,1x-C}=1000-f(t) \qquad \qquad | +f(t) -e^{-0,1x -C}

f(t)= 1000 - e^{-0,1x -C}

Mittels Potenzregeln können wir nun wie folgt notieren.

f(t)= 1000 -e^{-0,1x} \cdot e^{-C}

Nach diesem Schritt drücken wir diese Funktion mittels der Konstanten k nun wie folgt aus.

f_k(t)= 1000-k \cdot e^{-0,1x}


Da am Anfang die Fischpopulation bei 10 Fischen liegen soll, muss die Funktion folgende Bedingung erfüllen.

f(0)=10

Dies berücksichtigen wir nun in unserer Funktion fk.

10= 1000-k \cdot e^{-0,1 \cdot 0}

Nun lösen wir die Gleichung nach der Konstanten k auf, wobei dies durch Äquivalenzumformungen geschieht.

10= 1000-k \qquad \qquad | +k -10

k=990

Dies berücksichtigen wir nun in der Funktion fk und erhalten somit die gesuchte Funktion.

f(t)=1000-990\cdot e^{-0,1x}


--Liberté 18:45, 27. Mär. 2013 (CET)


Teilaufgabe b

Bei dieser Aufgabe gilt es nun mittels der aufgestellten Formel zu errechnen, wann eine Fischpopulation von 990 Fischen vorliegt.

Folgendes wird daher vorgegeben.

f(t)=990

Dies berücksichtigen wir nun in der von uns hergeleiteten Funktion und wenden Äquivalenzumformungen an, um letztlich nach der Zeit t aufzulösen.

990=1000-990 \cdot e^{-0,1x} \qquad \qquad | +990 \cdot e^{-0,1x} \qquad -990

990 \cdot e^{-0,1x} = 10 \qquad \qquad | :990

e^{-0,1x}=\frac{10}{990}

Nun formulieren wir wegen der Definition des natürlichen Logarithmus das Folgende.

\ln(\frac{10}{990})=-0,1x \qquad \qquad | \cdot (-10)

x \approx 45,9512

Wir wissen nun, dass nach 45 Jahren und etwas mehr als elf Monaten die Fischpopulation bei 990 Fischen liegt.

--Liberté 19:00, 27. Mär. 2013 (CET)


Teilaufgabe c

Eine Fischpopulation von 1000 Fischen kann faktisch laut unserer hergeleiteten Formel nur im unendlichen erreicht werden, wobei wir dies mittels dem Grenzwert der Funktion f verdeutlichen können.

\lim_{x \to \infty} \left( 1000-990\cdot e^{-0,1x} \right) = 1000

In der Praxis wird deshalb nie eine Fischpopulation von 1000 Fischen in diesem Teich beobachtet.

--Liberté 19:02, 27. Mär. 2013 (CET)