Zweite Musterklausur

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Inhaltsverzeichnis

Pdf20.gif Musterklausur zur zweiten Klausur

Aufgabe 1



1a


In dieser Aufgabe sollte man die gegebene Ebene E:3x_1-4x_2+x_3 = 10 in der Normalendarstellung angeben.

Aus der Koordinatenfrom können wir den Normalenvektor ablesen :
q\vec{n} :\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} ablesen.
Nun baruchen wir für unsere Normalendarstellung mit E:\left[ \vec{x} - \vec{p}\right] \cdot \vec{n}  noch einen Stützvektor, den wir wie folgt ermitteln: Man setzt 2 Koordinaten gleich Null und erhält daraus die dirtte. Nun kann man den Stützvektor einsetzen: E: 3\cdot (0)-4 (0)+ x_3 = 10 Daraus erhält man x_3 = 10. Schließlich setzen wir in die Normalenform ein: E:\left[ \vec{x} -\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 10 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}




1b

Nun ist die Parameterdarstellung gefragt:
Hierbei können wir den Stützvektor aus der Normalenform nehmen. Die Spannvektoren müssen linear Unabhämgig und orthogonal ,daher das Skalarprodukt gleich Null, sein:

E:\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 10 \end{pmatrix} \cdot \lambda \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \cdot \mu\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}





1c

Um festzustellen ob der Prunkt P in der Ebene liegt, macht man einfach die Punktporbe:

3\cdot (1)-4\cdot (3)+(-5) =-13 \neq 10
Aus der Punktprobe ergibt sich,dass der Punkt nicht auf der Ebene liegt.

Desweiter sollte man eine parallele Ebene F bestimmen, die durch P verläuft:


Zuerst stelle ich unsere allgeimeine Form für die Koordinatengleichung auf:


<math>ax_1+bx_2+cx_3=d</math>

Nun müssen wir einen Normalenvektor bilden der l.a. zum Normalenvektor der Ebene E ist:
\vec{n}=\begin{pmatrix} 6 \\ -8 \\ 2 \end{pmatrix}

Nun setzten wir die Werte des Normalenvektors in die Ebene ein :
6x_1-8x_2+2x_3=d Um d zu ermitteln setzten wir den Punkt P ein, daraus folgt, dass d = -28

Nun kommen wir zu unsere parallel zu E und durch Punkt P laufenden Ebene F:
F:6x_1-8x_2+2x_3=-28 F:6x_1-8x_2+2x_3=-28



Aufgabe 2



a)

Wir geben eine Ebene durch die Punkte A, B, C in Parameterform, sowie in der Normalenform an.

A(2|-4|4) B(5|1|8) C(8|-4|12)

Wir verwenden A als unseren Stützvektor.

\vec{p} =\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix}

Wir sonst auch bilden wir die Spannvektoren mithilfe der Differenz zweier Vektoren.

\vec{AB} = \vec{b}- \vec{a}

\vec{AB} = \begin{pmatrix} 5-2 \\ 1+4 \\ 8-4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}

\vec{AC} = \begin{pmatrix} 8-2 \\ -4+4 \\ 12-4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix}

E:\vec{x} =\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix}



Um die Ebene in die Normalenform zu konvertieren benötigen wir den Normalenvektor.

Wir multiplizieren die Spannvektoren mit \vec{n} also mit \begin{pmatrix} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{pmatrix} und setzen sie 0.

\vec{n}  \perp \vec{u} \qquad \vec{n} \perp \vec{v}

\vec{n} \cdot \vec{u}=0  \wedge   \vec{n} \cdot \vec{v}=0

Pythago24 LGS 11.png

\vec{n} =\begin{pmatrix} n_{1}  \\ 0 \\ -\frac{3}{4} n_{1} \end{pmatrix}

\vec{n} =\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}


b)

Wir können zeigen das D auf in der Ebene liegt in dem wir die Seiten des Quadrates ausrechnen und die länge erneut mit D ausrechen. Wenn wir mit D die selbe Länge erhalten dann liegt D in der Ebene und in dem Quadrat.

Tipp für den Leistungsnachweis: Man sollte sich immer bilder machen damit man sich die Aufgabe besser vor Augen führen kann.

Pythago24 Schaubild.png


a= |\vec{b}- \vec{a}|

c= |\vec{d}- \vec{c}|


a= \sqrt{(5-2)^2 +(1+4)^2+(8-4)^2} =\sqrt{50}

c= \sqrt{(5-8)^2 +(-9+4)^2+(8-12)^2}=\sqrt{50}


Quadrate haben 4 gleich lange Seiten und nur einen Winkel (90^o).

a=b=c=d=\sqrt{50}

(\vec{b}- \vec{a})- (\vec{c}- \vec{d})= \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ -4 \end{pmatrix} =0

Die Seiten sind orthogonal.


c)

Pythago24 Schaubild2.png

A=a^2

A=50


Aufgabe 3


Aufgabenstellung

E_1 : \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}  \qquad \qquad E_2 : x_1 + x_2 + x_3 -5 =0

a) Zeigen Sie, dass diese Ebenen sich schneiden; prüfen Sie, ob sie sogar orthogonal sind.

b) Bestimmen Sie bitte die Schnittgerade und den Schnittwinkel


Lösung

a)

Zunächst können wir die Normalenvektoren der jeweiligen Ebenen ermitteln. Daraus können wir dann zeigen, dass die Ebenen sich schneiden und auch ermitteln, ob sie sogar orthogonal sind.

Um den Normalenvektor der Ebene E_1 herauszufinden, müssen wir einen Vektor ermitteln, der zu beiden Spannvektoren orthogonal ist:


\vec{n_1} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} =0 \qquad \qquad \vec{n_1} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} =0


Um den Normalenvektor zu berechnen setzen wir nun ein unterbestimmtes LGS an:


Jeanneaux Bildschirmfoto 2012-12-10 um 15.26.45.png


Aus dem unterbestimmten konnten wir n_1 darstellen:

\vec{n_1} = \begin{pmatrix} n_1 \\ -2n_1 \\ -3n_1 \end{pmatrix} = t\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix}

Den Normalenvektor der zweiten Ebene kann man einfach aus der Koordinatengleichung ablesen:

\vec{n_2} =\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}

Wir erkennen, dass die Normalenvektoren linear unabhängig sind, daher kann man sagen, dass sie sich schneiden, denn nur bei linear abhängigen Normalenvektoren sind sie parallel und können sich nicht schneiden.

Um zu überprüfen ob die Ebenen auch orthogonal sind, müssen wir nur das Skalarprodukt beider Normalenvektoren ermitteln. Ergibt das Null, so sind sie orthogonal:


\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} =\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\1 \end{pmatrix} =1-2-3=-4\neq 0


Da das Skalarprodukt ungleich Null ist, sind die Ebenen nicht orthogonal.


b)

Zunächst werden wir die Schnittgerade bestimmen, hierzu sehen wir jeweils x_1 , x_2 , x_3 aus Ebene1 in Ebene2 ein:

x_1 = 1+2r+s

x_2 = 3+r-s

x_3 = 1+s


Diese setzen wir nun in die Koordinatenform ein:


(1+2r+s)+(3+r-s)+(1+s)=0


Da wir in einer Gleichung 2 Unbekannte haben, müssen wir Eine durch die Andere darstellen:


s=-3r


Für "s" können wir nun in der Parameterform "-3r" einsetzen:


g:\vec{x} =\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} -3r\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}


Nur noch den Richtungsvektor zusammenfassen und wir erhalten unsere Schnittgerade:


g:\vec{x} =\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}


Nun müssen wir noch den Schnittwinkel berechnen.

Hierzu benötigen wir folgende Formel:


\cos (\alpha ) =\frac{\vec{n_1}\cdot \vec{n_2}  }{\left| \vec{n_1}  \right| \cdot \left| \vec{n_2}  \right|  }


Die Normalenvektoren kennen wir schon, die Beträge müssen wir noch berechnen:


\left| \vec{n_1}  \right|=\sqrt{9+1+4} =\sqrt{14}


und


\left| \vec{n_2}  \right|=\sqrt{3}


Jetzt müssen wir nur noch alles in die Formel einsetzen:


\cos (\alpha ) =\frac{\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}  }{\sqrt{14}\cdot \sqrt{3}  } =\frac{-4}{\sqrt{14}\cdot \sqrt{3} } =-0,617


Natürlich müssen wir noch den Arkuskosinus bilden:


\cos  ^{-1}(-0,617)=128,11^o


Da dieser Winkel größer als 90° ist, müssen wir ihn noch von 180° abziehen:

180^o-128,11^o=51,89^o

Damit haben wir Aufgabe 3 gelöst

--Jeanneaux 20:08, 10. Dez. 2012 (CET)


Aufgabe 4


Aufgabenstellung

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Gerade \vec{x} = \begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix},k \in Using Ob Bildschirmfoto 2011-11-22 um 22.27.55.png, sowie die beiden Punkte A(-2|0|8) und B(1|-1|-4) gegeben.

Zeigen Sie, dass die Punkte A und B auf einer zu g parallelen aber nicht identischen Geraden h liegen und bestimmen Sie den Abstand der beiden Geraden.


Lösung

Bei dieser Aufgabe gilt es zunächst eine Gerade h aus den gegebenen Punkten A und B zu ermitteln und danach ist nachzuweisen, dass diese Gerade h parallel, aber inkongruent zur Geraden g ist.

Die Gerade h kann mittels der Ortsvektoren der Punkte A und B wie folgt erstellt werden.

h: \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \left( \vec{b} - \vec{a} \right)

Nun berücksichtigen wir die Ortsvektoren der genannten Punkte in der obigen Gleichung, wodurch wir den folgenden Ausdruck für die Gerade h erhalten.

h: \vec{x}= \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \left( \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix} \right)= \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}

Nachdem wir nun diese Geradengleichung in Parameterform erstellt haben, überprüfen wir die Geraden g und h auf Parallelität.

Sind die Richtungsvektoren zweier Geraden linear abhängig, so sind diese zwei Geraden parallel, weshalb wir die Richtungsvektoren der zu untersuchenden Geraden auf lineare Abhängigkeit überprüfen.

x \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix}

Direkt erkennen wir, dass die Gleichung für den Wert -1 für den Buchstaben x korrekt ist, weshalb lineare Abhängigkeit der Richtungsvektoren und damit Parallelität zwischen den Geraden g und h vorliegt.

Nun überprüfen wir, ob die Geraden g und h identisch sind, wobei zu untersuchen ist, ob ein Punkt einer Geraden auch Element der anderen Geraden ist.

Ist ein Punkt einer Geraden ein Element einer anderen Geraden und sind diese Geraden parallel, so müssen die Geraden auch alle anderen Punkte teilen und sind somit identisch.

Somit überprüfen wir, ob ein Punkt der Geraden g, beispielsweise der Punkt des Stützvektors, ein Element der Geraden h ist.

\begin{pmatrix}12 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}

Nun wenden wir Äquivalenzumformungen an.

\begin{pmatrix}12 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \qquad \qquad | - \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}

 \begin{pmatrix} 10 \\ 4 \\ -8 \end{pmatrix} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}

Wir erkennen, dass die Gleichung für keinen eingesetzten Wert für den den Buchstaben λ korrekt sein kann, weshalb der Punkt des Stützvektors der Geraden g kein Element der Geraden h ist und diese deshalb inkongruent und nicht identisch sind.

Im zweiten Part der Aufgabe wir verlangt, dass man den Abstand der beiden Geraden ermittelt, wobei dabei immer der kürzeste Abstand gefordert wird.

Bestimmen wir einen Punkt einer Geraden, welcher zu einem Punkt der anderen Geraden diesen Abstand besitzt, so können wir mittels dieser beiden Punkte diesen Abstand ermitteln.

Exemplarisch betrachten wir uns zunächst den Punkt E des Stützvektor der Geraden g, wobei unser Ziel nun zunächst die Ermittlung eines Punktes auf der Geraden h ist, welcher die kürzeste Distanz zum Punkt des Stützvektors der Geraden g hat.

Zur Ermittlung dieses Punktes erstellen wir, wie schon aus dem Unterricht bekannt, ein Hilfsebene, welche orthogonal zu beiden Geraden ist und durch den Punkt des Stützvektors der Geraden g verläuft.

Der Normalenvektor dieser Ebene stimmt mit den Richtungsvektoren der Geraden überein, da die Ebene orthogonal zu den Geraden sein soll und damit auch orthogonal zu den Richtungsvektoren ist.

Daher formulieren wir die folgende Gleichung für die Hilfsebene.

H: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} = 0

Nun ermitteln wir den Schnittpunkt der Hilfsebene H mit der Geraden h und erhalten dadurch die Koordinaten des Punktes F mit der geringsten Distanz zum Punkt E.

Dazu berücksichtigen wir den Ausdruck für die Gerade h in der Hilfsebene H.

\left[ \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\right] \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} = 0

Nun ermitteln wir die Differenz der Vektoren innerhalb der Klammer.

\left[ \begin{pmatrix} -10 \\ -4 \\ -8 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}\right] \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} = 0

Nun wenden wir das Distributivgesetz an und erhalten dadurch die folgende Gleichung.

18\lambda-18=0

Nach Äquivalenzumformungen erhalten wir durch diese Gleichung den folgenden Wert für λ.

\lambda = 1

Nun berechnen wir den Ortsvektor des Lotfußpunkts, indem wir den Wert für den Buchstaben λ in dem Ausdruck für die Gerade h berücksichtigen.

\vec{f} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -4 \end{pmatrix}

Nachdem wir nun den Lotfußpunkt bestimmt haben, können wir den Vektor zwischen dem Punkt E und dem Punkt F ermitteln.

\vec{EF} = \vec{f} - \vec{e} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11 \\ -5 \\ -4 \end{pmatrix}

Nun können wir die Länge dieses Vektors und damit auch den Abstand zwischen den Geraden g und h ermitteln.

|\vec{EF}| = \sqrt{ (-11)^2 + (-5)^2 + (-4)^2 } LE \approx 12,73 LE

Damit liegt der Abstand zwischen den beiden Geraden bei circa 12,73 Längeneinheiten.

--Liberté 18:27, 8. Dez. 2012 (CET)


Aufgabe 5


Aufgabenstellung

Höhensatz: Für jedes rechtwinklige Dreieck gilt: Das Quadrat über der Höhe ist flächengleich zum Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten: h2 = pq

Beweisen Sie bitte den Höhensatz mithilfe des Skalarproduktes.

Gegeben ist sinngemäß die folgende Abbildung.

Liberté Bildschirmfoto 2012-12-07 um 18.55.26.png


Lösung

In dieser Aufgabe wird ein vektorieller Beweis des Höhensatzes unter Verwendung des Skalarproduktes gefordert.

Dabei werden den Vektoren einer Seite die dementsprechenden Buchstaben zugeteilt, sodass beispielsweise der Vektor der Seite a der Vektor \vec{a} sei.

Nun benötigen wir einen Ansatz, welcher das Skalarprodukt verwendet, sodass sich dass Produkt zweier Vektoren anbietet, welche orthogonal zueinander sind, sodass das Skalarprodukt den Wert Null ergibt.

Exemplarisch bilden wir das Skalarprodukt der Vektoren \vec{a} und \vec{b}, da die genannten Vektoren in einem Winkel von 90° zueinander stehen, jedoch ist durchaus auch ein anderer Ansatz möglich.

Wir setzten daher wie folgt an.

\vec{a} \cdot \vec{b} = 0

Nun überlegen wir uns, wie wir die beiden genannten Vektoren durch andere Vektoren im Dreieck ausdrücken können, wobei wir erkennen, dass wir den Vektor \vec{b} mittels der Summe zwischen dem Vektor \vec{h} und dem Gegenvektor des Vektors \vec{q} und den Vektor \vec{a} mittels der Summe zwischen dem Vektor \vec{h} und dem Vektor \vec{p} ausdrücken können.

Dies formulieren wir nun mathematisch.

\vec{a} = \vec{h} + \vec{p}

\vec{b} = \vec{h} - \vec{q}

Dies berücksichtigen wir nun in der zuvor aufgestellten Gleichung.

\left( \vec{h} + \vec{p} \right) \cdot \left( \vec{h} - \vec{q} \right) = 0

Nun bilden wir das Produkt der beiden Faktoren und erhalten den folgenden Term.

\vec{h}^2 - \vec{h} \cdot \vec{q} + \vec{p} \cdot \vec{h} - \vec{p} \cdot \vec{q} = 0

Betrachten wir uns den Winkel zwischen dem Vektor \vec{h} und dem Vektor \vec{q} und den Winkel zwischen dem Vektor \vec{h} und dem Vektor  \vec{p} , so stellen wir fest, dass jeweils ein Winkel von 90° zwischen den Vektoren vorliegt, weshalb das Skalarprodukt dieser Vektoren den Wert Null ergeben muss.

Daher können wir mathematisch das Folgende formulieren.

\vec{h} \cdot \vec{q} = 0

\vec{h} \cdot \vec{p} = 0

Dies berücksichtigen wir nun in der aus dem Produkt der Vektoren \vec{a} und \vec{b} entstandenen Gleichung.

\vec{h}^2-\vec{p} \cdot \vec{q} = 0

Nun wenden wir Äquivalenzumformungen an, woraufhin wir die folgende Gleichung erhalten.

\vec{h}^2 - \vec{p} \cdot \vec{q} = 0 \qquad \qquad | + \vec{p} \cdot \vec{q}

\vec{h}^2 = \vec{p} \cdot \vec{q}

Wir wissen, dass das Quadrat eines Vektors dem Quadrat des Betrages gleich ist, sodass wir für das Quadrat des Vektors \vec{h} auch seinen Betrag, beziehungsweise das Quadrat der Höhe einfügen können.

Zudem wissen wir, dass das Produkt zweier Vektoren dem Produkt der Beträge der Vektoren gleich ist, wenn der Winkel zwischen diesen bei 0° liegt.

Da dies bei den Vektoren \vec{p} und \vec{q} der Fall ist, können wir für das Produkt der Vektoren auch das Produkt der Beträge der Vektoren, beziehungsweise das Produkt der beiden entsprechenden Seiten, ausdrücken.

Daher können wir nun die folgende Gleichung formulieren.

h^2=p\cdot q

Damit haben wir die Behauptung bewiesen.

q.e.d.

--Liberté 19:27, 7. Dez. 2012 (CET)


Aufgabe 6


Aufgabenstellung

Ein Flugzeug steuert auf die Cheops-Pyramide zu. Auf dem Radarschirm im Kontrollpunkt ist die Flugbahn durch die abgebildeten Punkte F1 (56|-44|15) und F2(48|-36|14) erkennbar. Die Eckpunkte der Cheops-Pyramide sind ebenfalls auf dem Radarbildschirm zu sehen. (Alle Untersuchungen mit Vektoransatz)

Gegeben ist die folgende Abbildung.

Liberté Bildschirmfoto 2012-12-08 um 15.23.32.png


Aufgabe 6.a.

Aufgabenstellung

Berechnen Sie das Volumen der Cheops-Pyramide.


Lösung

Bei dieser Teilaufgabe ist das Volumen der in der Aufgabenstellung der Aufgabe 6 abgebildeten Pyramide mittels Vektorrechnung zu ermitteln.

Zunächst ist jedoch die Formel für das Volumen einer Pyramide zu nennen um dann die einzelnen Komponenten der Formel zu ermitteln.

Die Formel für das Volumen einer Pyramide ist das Drittel des Produkts aus der Grundfläche und der Höhe der Pyramide.

Mathematisch können wir dies wie folgt ausdrücken.

V= \frac{1}{3} \cdot h \cdot G

Die Grundfläche einer Pyramide ist quadratisch, daher sind die Längen aller vier Seiten, welche diese Grundseite beschreiben, gleich.

Nun bestimmen wir zunächst die Grundfläche der Pyramide und wenden uns danach der Ermittlung der Höhe zu.

Dabei sind uns die folgenden Punkte gegeben, welche ein Quadrat festlegen und mittels derer wir die Grundfläche ermitteln können.

A(0|-16|0) \qquad B(16|0|0) \qquad C(0|16|0) \qquad D(-16|0|0)

Um den Flächeninhalt des Quadrats zu ermitteln benötigen wir den Wert der Länge einer Seite des Quadrates.

Exemplarisch betrachten wir die Seite \overline{AB} und ermitteln den Wert der Länge dieser Seite.

Wir wissen, dass die Länge der Seite \overline{AB} und der Betrag des Vektors der Seite \vec{AB} gleich sind, weshalb wir mathematisch das Folgende formulieren können.

\overline{AB} = | \vec{AB} |

Der Flächeninhalt eines Quadrats ist kongruent zu dem Quadrat der Länge der Seite \overline{AB}, weshalb der folgende Zusammenhang gilt.

G=\overline{AB}^2 = | \vec{AB} | ^2

Nun gilt es zunächst den Vektor \vec{AB} zu bestimmen und daraufhin den Betrag dieses Vektors.

Wir wissen, dass der Vektor \vec{AB} kongruent zur Differenz zwischen zwischen dem Ortsvektor des Punktes B und dem Ortsvektor des Punktes A ist, weshalb wir das Folgende formulieren.

\vec{AB}=\vec{b}-\vec{a}

Nun berechnen wir die Differenz und erhalten das folgende Ergebnis.

\vec{AB}=\begin{pmatrix} 16 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 0 \\ -16 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16 \\ 16 \\ 0 \end{pmatrix}

Mittels des Satzes des Pythagoras ermitteln wir nun den Betrag des obigen Vektors.

| \vec{AB} | = \sqrt{ 16^2+16^2} FE = \sqrt{512} \approx 22,63 FE

Nun ermitteln wir die Grundfläche, indem wir das Quadrat des Betrags des Vektors \vec{AB} berechnen.

| \vec{AB} | ^2 = \sqrt{512} ^2 FE = 512 FE

Nachdem wir nun den Flächeninhalt der Grundfläche ermittelt haben, wenden wir uns der Ermittlung der Höhe zu.

Die Höhe kann mittels dem Betrag des Vektors zwischen dem Punkt S und dem Mittelpunkt des obigen Quadrats ermittelt werden.

Der Mittelpunkt dieses Quadrats unterscheidet sich nur durch seine x3-Koordinate von dem Punkt S, wobei diese Koordinate die Höhe eines Punktes im Raum anzeigen kann.

Da die Grundfläche einer Pyramide am Boden befestigt ist, besitzt kein Punkt der Grundfläche eine andere x3-Koordinate als den Wert Null.

Somit muss der Mittelpunkt M im Ursprung liegen, da seine x3-Koordinate gleich Null ist und die restlichen Koordinaten mit denen des Punktes S übereinstimmen.

Für seinen Ortsvektor können wir daher das Folgende formulieren.

\vec{m}=\vec{0}

Nun bestimmen wir den Vektor \vec{MS} wie folgt und berechnen daraufhin den Betrag dieses Vektors.

\vec{MS} = \vec{s} - \vec{m} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 12 \end{pmatrix} - \vec{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 12 \end{pmatrix}

Nach diesem Schritt ermitteln wir die Länge dieses Vektors.

| \vec{MS} | = \sqrt{12^2} LE = 12 LE = h

Nachdem wir nun die Höhe der Pyramide und auch die Grundfläche bestimmt haben, können wir das Volumen der Pyramide ermitteln.

V= \frac{1}{3} \cdot h \cdot G = \frac{1}{3} \cdot 12 LE \cdot 512 FE = 2048 VE

Somit liegt das Volumen der Pyramide bei 2048 Volumeneinheiten.

--Liberté 16:06, 8. Dez. 2012 (CET)


Aufgabe 6.b.

Aufgabenstellung

Entscheiden Sie, ob das Flugzeug mit der Pyramide kollidiert.

Begründen Sie Ihre Entscheidung.


Lösung

Hierbei gilt es mit den gegebenen Informationen zu ermitteln, ob eine Kollision zwischen dem Flugzeug und der Pyramide stattfindet, wobei wir dazu zunächst die Flugbahn des Flugzeugs sowie die Pyramide mit mathematischen Mitteln ausdrücken müssen.

Die Flugbahn können wir mittels der zwei gegebenen Punkte der Fluggeraden des Flugzeugs ermitteln, wobei diese allgemein wie folgt ermittelt werden kann.

g:\vec{x}=\vec{f_1}+ \lambda \cdot \left( \vec{f_2} - \vec{f_1} \right)

Nun berücksichtigen wir die Ortsvektoren der Punkte F1 und F2 in dem obigen Ausdruck und ermitteln die Fluggerade.

g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 56 \\ -44 \\ 15 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \left( \begin{pmatrix} 48 \\ -36 \\ 14 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 56 \\ -44 \\ 15 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 56 \\ -44 \\ 15 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -8 \\ 8 \\ -1 \end{pmatrix}

Nachdem wir nun die Fluggerade des Flugzeugs ermittelt haben, stellt sich die Frage, wie die Pyramide mathematisch ausgedrückt werden kann.

Kollidiert das Flugzeug mit der Pyramide, so muss die Fluggerade des Flugzeugs einen Schnittpunkt mit einer der vier Seitenflächen der Pyramide haben.

Da das Flugzeug nur mit zwei dieser vier Seitenflächen kollidieren kann, müssen die anderen beiden Seitenflächen mathematisch nicht modelliert werden.

Die beiden verbleibenden Seitenflächen können mittels Ebenen beschrieben werden, wobei die Seitenflächen hierbei nur ein begrenzter Teil dieser Ebenen sind.

Schneidet die Flugbahn des Flugzeugs diesen begrenzten Teil der Ebene, so kollidiert das Flugzeug mit dieser Seitenfläche, ist dies nicht der Fall, so wird bei gleichbleibender Flugbahn eine Kollision vermieden.

Nachdem wir nun eine Strategie aufgestellt haben, gilt es diese festgelegten Schritte zu befolgen.


Zunächst drücken wir die beiden auf obigen Abbildung sichtbaren Seitenflächen der Pyramide mittels Ebenen aus, wobei dies möglich ist, da uns drei Punkte der jeweiligen Seitenflächen gegeben sind.

Im Folgenden werden im Index der beiden Ebenen die Punkte angegeben, durch welche die Ebene beschrieben wird, damit die Ebenen unterschieden werden können.

Zunächst ermitteln wir die Ebene EASB, wobei wir die Ebene zunächst allgemein in Koordinatenform ausdrücken.

E_{ASB}:ax_1+bx_2+cx_3=d

Da wir die Punkte A, B und S gegeben haben, können wir diese in der Koordinatengleichung berücksichtigen und die folgenden drei Gleichungen aufstellen.

16a=d

-16b=d

12c=d

Nun wenden wir Äquivalenzumformungen an und drücken die Parameter a,b und c durch den Parameter d aus.

16a=d \qquad \qquad | :16

a=\frac{d}{16}

-16b=d \qquad \qquad | :(-16)

b=-\frac{d}{16}

12c=d \qquad \qquad | :12

c=\frac{d}{12}

Nun berücksichtigen wir dies in unserer Ebenengleichung und teilen durch den Parameter d.

E_{ASB}:\frac{d}{16}x_1-\frac{d}{16}x_2+\frac{d}{12}x_3=d \qquad \qquad | :d

E_{ASB}:\frac{1}{16}x_1-\frac{1}{16}x_2+\frac{1}{12}x_3=1

Nun bilden wir den größten gemeinsamen Teiler, indem wir mit der Zahl 48 multiplizieren.

E_{ASB}:\frac{1}{16}x_1-\frac{1}{16}x_2+\frac{1}{12}x_3=1 \qquad \qquad | \cdot 48

E_{ASB}:3x_1-3x_2+4x_3=48

Diese Seitenfläche der Pyramide liegt jedoch lediglich innerhalb des Dreiecks ASB, weshalb die Ebene, damit diese eine Seitenfläche wiedergeben kann, begrenzt werden muss.

Für die Koordinaten muss gelten.

0\le x_1 \le 16

-16\le x_2 \le 0

0 \le x_3 \le 12

Liegt der Schnittpunkt des Flugzeugs mit dieser Ebene in diesem definierten Bereich, so kollidiert das Flugzeug mit dieser Seitenfläche der Pyramide.

Nun ermitteln wir den Schnittpunkt zwischen der Ebene und der Fluggeraden, indem wir die einzelnen Koordinaten der Fluggeraden in der Koordinatenform der Ebene berücksichtigen.

3\left(56-8 \lambda\right) -3 \left( -44+8\lambda \right)+4 \left( 15-\lambda\right)=48

Nach diesem Schritt ermitteln wir nun den Wert von λ mittels Äquivalenzumformungen.

360-52\lambda=48 \qquad \qquad | -360

-52\lambda=-312 \qquad \qquad | :(-52)

\lambda = 6

Diesen Wert für den λ berücksichtigen wir nun in der Geradengleichung und erhalten den folgenden Ortsvektor für den Durchstoßpunkt.

\vec{d_1}=\begin{pmatrix} 56 \\ -44 \\ 15 \end{pmatrix} + 6 \begin{pmatrix} -8 \\ 8 \\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8 \\ 4 \\ 9 \end{pmatrix}

Der Ortsvektor des Punkts D1 liegt nicht in dem von uns definierten Bereich für die Seitenfläche der Pyramide, daher kollidiert das Flugzeug mit dieser Seitenfläche nicht.


Nun betrachten wir uns die andere Seitenfläche und prüfen, ob ein Schnittpunkt mit dieser vorliegt, wobei wir analog zum vorigen Verfahren vorgehen.

Zunächst drücken wir die Ebene für diese Seite wie folgt allgemein aus.

E_{BSC}:ax_1+bx_2+cx_3=d

Da wir die Punkte B, S und C gegeben haben, können wir diese in der Koordinatengleichung berücksichtigen und die folgenden drei Gleichungen aufstellen.

16a=d

16b=d

12c=d

Nun wenden wir Äquivalenzumformungen an und drücken die Parameter a,b und c durch den Parameter d aus.

16a=d \qquad \qquad | :16

a=\frac{d}{16}

16b=d \qquad \qquad | :(-16)

b=\frac{d}{16}

12c=d \qquad \qquad | :12

c=\frac{d}{12}

Nun berücksichtigen wir dies in unserer Ebenengleichung und teilen durch den Parameter d.

E_{BSC}:\frac{d}{16}x_1+\frac{d}{16}x_2+\frac{d}{12}x_3=d \qquad \qquad | :d

E_{BSC}:\frac{1}{16}x_1+\frac{1}{16}x_2+\frac{1}{12}x_3=1

Nun bilden wir den größten gemeinsamen Teiler, indem wir mit der Zahl 48 multiplizieren.

E_{BSC}:\frac{1}{16}x_1+\frac{1}{16}x_2+\frac{1}{12}x_3=1 \qquad \qquad | \cdot 48

E_{BSC}:3x_1+3x_2+4x_3=48

Diese Seitenfläche der Pyramide liegt jedoch lediglich innerhalb des Dreiecks BSC, weshalb die Ebene, damit diese eine Seitenfläche reflektieren kann, begrenzt werden muss.

Für die Koordinaten muss gelten.

0\le x_1 \le 16

0\le x_2 \le 16

0 \le x_3 \le 12

Liegt der Schnittpunkt des Flugzeugs mit dieser Ebene in diesem definierten Bereich, so kollidiert das Flugzeug mit dieser Seitenfläche der Pyramide.

Nun ermitteln wir den Schnittpunkt zwischen der Ebene und der Fluggeraden, indem wir die einzelnen Koordinaten der Fluggeraden in der Koordinatenform der Ebene berücksichtigen.

3\left(56-8 \lambda\right) +3 \left( -44+8\lambda \right)+4 \left( 15-\lambda\right)=48

Nach diesem Schritt ermitteln wir nun den Wert von λ mittels Äquivalenzumformungen.

96-4\lambda=48 \qquad \qquad | -96

-4\lambda=-48 \qquad \qquad | :(-4)

\lambda = 12

Diesen Wert für den λ berücksichtigen wir nun in der Geradengleichung und erhalten den folgenden Ortsvektor für den Durchstoßpunkt.

\vec{d_2}=\begin{pmatrix} 56 \\ -44 \\ 15 \end{pmatrix} + 6 \begin{pmatrix} -8 \\ 8 \\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -40 \\ 52 \\ 3 \end{pmatrix}

Auch dieser Ortsvektor eines Punkts liegt nicht in dem von uns definierten Bereich für die Seitenfläche der Pyramide, daher kollidiert das Flugzeug mit dieser Seitenfläche nicht.

Somit können wir eindeutig feststellen, dass keine Kollision stattfindet.

Zur Illustration:

Liberté 135507622584610573.jpg

--Liberté 16:15, 9. Dez. 2012 (CET)