Das besondere Problem im ersten Halbjahr des 12. Schuljahrs

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Inhaltsverzeichnis

Nachweis für die lineare Abhängigkeit von 3 Vektoren in der Ebene

Pdf20.gif Beweis aus früherem Kurs; Jonas Happel 2011


Nachweis für die lineare Abhängigkeit von 4 Vektoren im Raum

Im Mathematikunterricht haben wir bewiesen, dass drei beliebige Vektoren in einer Ebene ausnahmslos linear abhängig sein müssen, wobei dies im Protokoll vom 12.09.2012 vermerkt ist.


Wir möchten zunächst zeigen, dass 4 Vektoren im Raum immer linear abhängig sind. Also muss es möglich sein, einen Vektor durch die 3 anderen Vektoren darzustellen, wobei dies durch Linearkombination geschieht.

Sind diese drei Vektoren linear abhängig, dann ist alles gezeigt.

Nun wollen wir zunächst zeigen, dass drei Vektoren im Raum nicht immer linear unabhängig sind, sondern auch linear abhängig sein können.


Nachweis für mögliche lineare Unabhängigkeit von 3 Vektoren im Raum

Exemplarisch sind die drei folgenden Vektoren zu wählen, welche im dreidimensionalen Raum linear unabhängig sind.

\vec{a}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \qquad \qquad \vec{b}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}  \qquad \qquad \vec{c}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}

Es wird deutlich, dass sich keiner der drei Vektoren durch die jeweilig anderen Vektoren darstellen lässt, womit schon erwiesen ist, dass durchaus drei Vektoren in einem dreidimensionalen Raum existieren, welche nicht linear abhängig voneinander sind.


Fallunterscheidung der linearen Unabhängigkeit von 3 Vektoren im Raum

Seien nun drei beliebige Vektoren linear unabhängig.

Zunächst formulieren wir jedoch folgende Gleichung.

r \cdot \vec{a} + s \cdot \vec{b} + t \cdot \vec{c} = \vec{0}

Nun können wir die Koordinaten der Vektoren und die Skalare in einem linearen Gleichungssystem wie folgt darstellen und das Gauß-Verfahren anwenden.

Dabei soll zunächst der Skalar r bei der Addition wegfallen, wobei die zu addierenden Gleichungen durch Äquivalenzumformungen so umgeformt werden müssen, dass der Skalar r in den entstehenden Gleichungen nicht aufzufinden ist.

Liberté Bildschirmfoto 2012-09-15 um 10.28.38.png

Nun können wir die Skalare s und t in den neu entstandenen Gleichungen ausklammern.

Liberté Bildschirmfoto 2012-09-15 um 10.40.41.png

Nachdem wir die Skalare s und t ausgeklammert haben, können wir die neu entstandenen Gleichungen addieren, sodass der Skalar s in der neu entstehenden Gleichung nicht mehr aufzufinden ist.

Dabei sind die einzelnen Gleichungen, welche addiert werden, so umzuformen, dass bei der Addition der Skalar s wegfällt.

Die Äquivalenzumformung und die Addition werden dabei in einem Schritt ausgeführt.

Liberté Bildschirmfoto 2012-09-15 um 11.25.36.png

Nun klammern wir den Skalar t aus.

Liberté Bildschirmfoto 2012-09-15 um 11.38.01.png

Damit die lineare Unabhängigkeit von drei Vektoren möglich ist, darf der mit t multiplizierte Term nicht der Null gleichen, da sonst der Skalar t eine beliebige Zahl annehmen könnte, wodurch die drei Vektoren linear abhängig wären.


Beweis der lineare Abhängigkeit von 4 Vektoren im Raum

Nun wollen wir überprüfen, ob Vektoren existieren, welche durch diese drei Vektoren im dreidimensionalen Raum nicht darstellbar sind, sodass auch bei vier Vektoren lineare Unabhängigkeit existieren könnte.

Wir überprüfen daher, ob jeder beliebiger Vektor im dreidimensionalen Raum ausnahmslos durch drei linear unabhängige Vektoren im Raum durch Linearkombination dargestellt werden kann.

Ein beliebiger Vektor im dreidimensionalen Raum soll daher einer Linearkombination dreier linear unabhängiger Vektoren im Raum gleichen, wobei dies im Folgenden mathematisch formuliert wird.

x \cdot \vec{a} + y \cdot \vec{b} + z \cdot \vec{c} =\vec{d}

Nun überprüfen wir, ob lineare Abhängigkeit oder lineare Unabhängigkeit vorliegt, indem wir lineare Gleichungssysteme verwenden und das Gauß-Verfahren anwenden.

Wir legen für den Beweis die folgende Voraussetzung und Behauptung fest, um dann mit dem Beweis zu beginnen.

Voraussetzung:

Die Vektoren \vec{a} ,  \vec{b} und  \vec{c} sind linear unabhängig.

Behauptung:

Die Vektoren \vec{a} ,  \vec{b},  \vec{c} und \vec{d} sind linear abhängig.

Beweis:

Das Vorgehen verläuft analog zu dem obigen Verfahren.

Liberté Bildschirmfoto 2012-09-15 um 12.38.00.png

\, \Leftrightarrow

Liberté Bildschirmfoto 2012-09-15 um 13.21.51.png


Der Übersicht halber betrachten wir uns die unterste, neu erstellte Gleichung einzeln, wobei wir den Skalar z direkt ausklammern können.

z \cdot \left( \left(c_1\cdot \left( -a_2\right) + c_2 \cdot a_1 \right) \cdot \left( b_1 \cdot a_3 - b_3 \cdot a_1\right) +\left( c_1 \cdot \left( -a_3\right) + c_3 \cdot a_1 \right) \cdot \left( b_1 \cdot \left(-a_2\right) + b_2\cdot a_1 \right) \right) 
= \left( d_1\cdot \left( -a_2 \right) + d_2 \cdot a_1 \right) \cdot \left(-\left(b_1 \cdot (-a_3) + b_3 \cdot a_1 \right) \right) + \left( d_1 \cdot \left( -a_3\right) + d_3 \cdot a_1 \right) \cdot \left( b_1 \cdot \left(-a_2)+b_2\cdot a_1 \right) \right)

Nun ist festzustellen, dass der Term, mit welchem der Skalar z multipliziert wird, ungleich Null ist, da wir dies durch vorige Rechnungen festgestellt haben.

Daher können wir die Gleichung nach dem Skalar z umformen.

z \cdot \left( \left(c_1\cdot \left( -a_2\right) + c_2 \cdot a_1 \right) \cdot \left( b_1 \cdot a_3 - b_3 \cdot a_1\right) +\left( c_1 \cdot \left( -a_3\right) + c_3 \cdot a_1 \right) \cdot \left( b_1 \cdot \left(-a_2\right) + b_2\cdot a_1 \right) \right)= \left( d_1\cdot \left( -a_2 \right) + d_2 \cdot a_1 \right) \cdot \left(-\left(b_1 \cdot (-a_3) + b_3 \cdot a_1 \right) \right) + \left( d_1 \cdot \left( -a_3\right) + d_3 \cdot a_1 \right) \cdot \left( b_1 \cdot \left(-a_2)+b_2\cdot a_1 \right) \right) | : \left( \left(c_1\cdot \left( -a_2\right) + c_2 \cdot a_1 \right) \cdot \left( b_1 \cdot a_3 - b_3 \cdot a_1\right) +\left( c_1 \cdot \left( -a_3\right) + c_3 \cdot a_1 \right) \cdot \left( b_1 \cdot \left(-a_2\right) + b_2\cdot a_1 \right) \right)


z= \frac{\left( d_1\cdot \left( -a_2 \right) + d_2 \cdot a_1 \right) \cdot \left(-\left(b_1 \cdot (-a_3) + b_3 \cdot a_1 \right) \right) + \left( d_1 \cdot \left( -a_3\right) + d_3 \cdot a_1 \right) \cdot 
\left( b_1 \cdot \left(-a_2)+b_2\cdot a_1 \right) \right)}{\left(c_1\cdot \left( -a_2\right) + c_2 \cdot a_1 \right) \cdot \left( b_1 \cdot a_3 - b_3 \cdot a_1\right) +\left( c_1 \cdot \left( -a_3\right) + c_3 \cdot a_1 \right) \cdot \left( b_1 \cdot \left(-a_2\right) + b_2\cdot a_1 \right) }

Nun ist es möglich, dass der Skalar z durch Koordinaten der vier beliebigen Vektoren beschrieben werden kann, weshalb wir z mithilfe der aufgestellten Formel bestimmen können.

Damit ist erwiesen, dass die lineare Abhängigkeit von vier beliebigen Vektoren ausnahmslos im dreidimensionalen Raum gilt.

q.e.d.

--Liberté 13:58, 15. Sep. 2012 (CEST)


Schnittpunkt zweier Flugrouten und die Gefahr einer Kollision (Übungsblatt 4 /Aufgabe 3)

Bei der Berechnung von Schnittpunkten zweier Geraden beschäftigten wir uns im Rahmen des Unterrichts auch mit dem Schnittpunkt zweier Flugrouten und der Gefahr einer Kollision.

Dabei beinhaltet das Übungsblatt 4 drei diverse Aufgaben, welche sich mit dieser Thematik beschäftigen.

Im Folgenden wird die Aufgabe 3 des Übungsblatts 4 bearbeitet, indem die Flugroute in Form einer Geraden ermittelt, der Schnittpunkt beider Flugrouten berechnet und die Gefahr für eine Kollision eingeschätzt wird.


Aufgabenstellung

Sie arbeiten im Tower eines Flugplatzes. Bei nebligem Wetter erhalten Sie plötzlich den folgenden Funkspruch:

"Unser Flugzeug befindet sich momentan am Punkt A und wir fliegen in Richtung \vec{u}.

Unsere Instrumente signalisieren ein weiteres Flugzeug am Punkt B, welches sich in Richtung \vec{v} , bewegt. Überprüft bitte, ob eine Kollisionsgefahr besteht, und teilt uns gegebenenfalls die Koordinaten des möglichen Kollisionspunktes mit."

Die genauen Daten können Sie von Ihren Instrumenten ablesen:

 A(110|115|10210) \qquad \qquad B(235|-10|10240)

\vec{u}= \begin{pmatrix} 1980 \\ 1835 \\ 40 \end{pmatrix} \qquad \qquad \vec{v}= \begin{pmatrix} 371 \\ 392 \\ 2 \end{pmatrix}


Lösung


Erstellung einer Geraden mit Hilfe zweier Vektoren

Dieser Abschnitt bezieht sich nicht direkt auf die Lösung, wobei in diesem Abschnitt die Formel für Geraden, welche durch Vektoren ausgedrückt werden, erläutert und anhand des Beispiels nachvollzogen werden soll.

Zunächst ist festzustellen, dass uns die aktuelle Lage beider Flugzeuge und deren Flugrichtung gegeben sind, wobei diese mit Hilfe von Vektoren dargestellt wird.

Nun wollten wir mit Hilfe dieser Informationen die Flugroute mathematisch darstellen, wobei diese linear und damit in Form einer Geraden im Raum dargestellt werden müssen, da wir die Möglichkeit einer Kollision bei Beibehaltung der Flugrichtung berechnen wollen.

Daher ist zu überlegen, wie mit Hilfe eines Punktes und eines Vektors eine Gerade im Raum beschrieben werden kann.

Wir wissen, dass eine Gerade eine Punktmenge ist, sodass eine die Gerade beschreibende Formel entwickelt werden muss, welche in Abhängigkeit einer Variablen für diverse Werte der Variable jeden Punkt der Punktmenge angeben kann.

Da wir den Punkt A als Zielpunkt eines Ortsvektors angegeben können, ist es auch möglich, dass ein beliebiger Punkt der Geraden für den Flugverlauf dieses Flugzeugs als Zielpunkt eines Ortsvektors angegeben werden kann, wobei durch den Ortsvektor direkt die Koordinate des Zielpunktes angegeben werden kann.

Wir könnten die Gerade daher mit Hilfe von Ortsvektoren ausdrücken und direkt auf die Koordinaten der Zielpunkte der Ortsvektoren schließen.

Dabei ist uns ein Ortsvektor der Geraden gegeben, da wir die aktuelle Position des Flugzeugs mit dem Standpunkt A, welches nun das Flugzeug A sei, als Zielpunkt eines Ortsvektors formulieren können.

Zudem ist uns die Flugrichtung des Flugzeugs A gegeben, weshalb wir mit Hilfe einer Grafik die folgenden Vektoren und eine Gerade für die Flugroute des Flugzeugs skizzieren können.

Dabei markieren wir den Punkt A, den Ortsvektor mit dem Zielpunkt A und die Flugrichtung des Flugzeugs A in der Grafik, wobei der Vektor der Flugroute den Anfangspunkt A besitzen soll.

Liberté Bildschirmfoto 2012-09-29 um 13.59.34.jpg

Zu beachten ist, dass die in der Grafik 1000 Längeneinheiten unserer Koordinaten als jeweils eine Längeneinheit dargestellt werden.

Hierbei wird deutlich, dass wir mit Hilfe des Ortsvektors mit dem Zielpunkt A und dem Richtungsvektor alle Punkte der Geraden beschreiben können, wenn wir den Summenvektor des Ortsvektors mit dem Zielpunkt A und dem Richtungsvektor bilden, sodass ein neuer Ortsvektor entsteht, dessen Zielpunkt ein Punkt der Geraden sein muss.

Dabei muss der Richtungsvektor bei der Summenbildung diverse Vorfaktoren haben, damit dieser verkürzt oder verlängert werden kann und damit jeder Punkt durch durch die Summe der beiden Vektoren ausgedrückt werden kann, sodass wir die folgende Geradengleichung erstellen können.

g: \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \vec{u}


Erstellung der Geradengleichungen und Ermittlung des Schnittpunkts der Flugrouten

Nachdem wir die Geradengleichung ermittelt haben, können wir diese verwenden und die Geradengleichung zur Beschreibung der Flugroute des Flugzeugs A aufstellen.

Dabei verwenden wir die aktuelle Position des Flugzeugs als Zielpunkt des Stützvektors und die Flugrichtung des Flugzeugs als Richtungsvektor.

\vec{a}=\begin{pmatrix} 110 \\ 115 \\ 10210 \end{pmatrix}

\vec{u}=\begin{pmatrix} 1980 \\ 1835 \\ 40 \end{pmatrix}

Nun können wir die Geradengleichung für die Beschreibung der Flugroute des Flugzeugs A formulieren.

g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 110 \\ 115 \\ 10210 \end{pmatrix}  + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1980 \\ 1835 \\ 40 \end{pmatrix}


Analog dazu können wir auch die Geradengleichung für die Flugroute des Flugzeugs B, welches das Flugzeug mit der Position B sei, erstellen.

\vec{b} = \begin{pmatrix} 235 \\ -10 \\ 10240 \end{pmatrix}

\vec{v}=\begin{pmatrix} 371 \\ 392 \\ 2 \end{pmatrix}

Nun können wir die Geradengleichung für die Beschreibung der Flugroute des Flugzeugs B formulieren.

Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\m“): h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 235 \\ -10 \\ 10240 \end{pmatrix} + \m \cdot \begin{pmatrix} 371 \\ 392 \\ 2 \end{pmatrix}



Nach der Aufstellung der Geradengleichungen kann überlegt werden, wie der Schnittpunkt beider Geraden formuliert werden kann.

Der Schnittpunkt zweier Geraden ist ein Punkt, welchen beide Geraden teilen, de facto gleichen sich die Geraden an diesem Punkt.

Daher müssen beide Geraden gleichgesetzt werden, damit ermittelt werden kann, welcher Punkt von beiden Geraden geteilt wird.

Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\m“): \begin{pmatrix} 110 \\ 115 \\ 10210 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1980 \\ 1835 \\ 40 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 235 \\ -10 \\ 10240 \end{pmatrix} + \m \cdot \begin{pmatrix} 371 \\ 392 \\ 2 \end{pmatrix}


Nun formen wir die Gleichung um, sodass die Vektoren mit den Parametern auf einer Seite der Gleichung und die Vektoren ohne Parameter auf der anderen Seite der Gleichung stehen.

Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\m“): \begin{pmatrix} 110 \\ 115 \\ 10210 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1980 \\ 1835 \\ 40 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 235 \\ -10 \\ 10240 \end{pmatrix} + \m \cdot \begin{pmatrix} 371 \\ 392 \\ 2 \end{pmatrix} \qquad \qquad | - \m \cdot \begin{pmatrix} 371 \\ 392 \\ 2 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 110 \\ 115 \\ 10210 \end{pmatrix}


Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\m“): \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1980 \\ 1835 \\ 40 \end{pmatrix} -\m \cdot \begin{pmatrix} 371 \\ 392 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 235 \\ -10 \\ 10240 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 110 \\ 115 \\ 10210 \end{pmatrix}


Nach dieser Umformung können wir ein lineares Gleichungssystem anwenden, damit bestimmt werden kann, ob Werte für die Parameter bestimmt werden können, sodass nachgewiesen ist, dass ein Schnittpunkt existiert.

Dabei verwenden wir wie gewöhnlich das Gauß-Verfahren.

Liberté Bildschirmfoto 2012-09-29 um 00.00.45.png

Liberté Bildschirmfoto 2012-09-29 um 00.13.10.png

Nachdem wir die Werte für die Parameter bestimmt haben, können wir diese Werte für die Parameter in den jeweiligen Geradengleichungen einsetzen, damit wir einen Ortsvektor erhalten, dessen Zielpunkt ein Punkt der jeweiligen Geraden ist.


Zunächst berechnen wir den Schnittpunkt mit Hilfe der Geradengleichung für die Flugroute des Flugzeugs A.

\vec{x} = \begin{pmatrix} 110 \\ 115 \\ 10210 \end{pmatrix}  + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1980 \\ 1835 \\ 40 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2090 \\ 1950 \\ 10250 \end{pmatrix}

Der Schnittpunkt wäre daher der Folgende.

S(2090|1950|10250)


Nun können wir überprüfen, ob der berechnete Schnittpunkt korrekt ist, indem wir den Wert für den Parameter Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\m“): \m

in der Geradengleichung für die Flugroute des Flugzeugs B einsetzen und den Ortsvektor, dessen Zielpunkt ein Punkt der genannten Geraden ist, ermitteln.

\vec{x}=\begin{pmatrix}235 \\ -10 \\ 10240 \end{pmatrix} + 5 \cdot \begin{pmatrix} 371 \\ 392 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2090 \\ 1950 \\ 10250 \end{pmatrix}

Somit haben wir unser Ergebnis bestätigt und den Schnittpunkt beider Geraden ermitteln.


Nun können wir die Flugrouten beider Flugzeuge im Raum darstellen und den Schnittpunkt beider Geraden illustrieren.

Liberté Bildschirmfoto 2012-09-29 um 14.01.03.jpg

Zudem können wir nur den ersten Oktanten betrachten, wodurch die Koordinaten, welche wir errechnet haben, bestätigt werden.

Liberté Bildschirmfoto 2012-09-29 um 14.01.59.jpg

Somit verifiziert die Grafik unser Ergebnis.


Ermittlung des Schnittpunkts zweier Geraden mittels Vektoris3D

Um den Schnittpunkt, welchen wir ermittelt haben, auf seine Korrektheit zu überprüfen, können wir den Schnittpunkt zweier Geraden mit Hilfe des Programms Vektoris3D berechnen.

Zunächst sind die beiden Geraden im Skripteditor darzustellen, wobei sich dadurch die folgende Situation ergeben würde.

Liberté Bildschirmfoto 2012-10-05 um 18.56.01.jpg

Nun kann man von dem Skripteditor in den Bereich "Schnittgebilde" wechseln, indem man diesen unter den Ansichten auswählt.

Diesen Vorgang soll das folgende Bild illustrieren.

Liberté Bildschirmfoto 2012-10-05 um 18.57.43.png

Nun wählt man die zwei Geraden aus, von welchen man den Schnittpunkt erfahren möchte, wobei dieser Vorgang durch das folgende Bild dargestellt werden soll.

Liberté Bildschirmfoto 2012-10-05 um 18.59.48.jpg

Ist diese Auswahl erfolgt, so werden die Koordinaten des Schnittpunkts angezeigt.

Zudem ist es möglich, den Schnittpunkt zu visualisieren, wodurch der Schnittpunkt als roter Punkt im Raum dargestellt wird.

Das folgende Bild stellt die Situation dar, welche vorliegt, wenn man die vorherigen Schritte befolgt hat.

Liberté Bildschirmfoto 2012-10-05 um 19.04.42.png


Einschätzung der Gefahr für eine Kollision

Obwohl sich die Flugbahnen schneiden, können wir bei Betrachtung des Schnittpunkts nicht bestimmen, ob eine Kollision der beiden Flugzeuge bei den aktuellen Flugrouten vorliegen würde, da die Flugzeuge wohlmöglich zeitlich versetzt den Schnittpunkt passieren und sich somit nicht begegnen.

Da uns jedoch keine Daten zur Zeit gegeben sind, können wir nicht mit zeitlichen Unterschieden argumentieren.

Die Zeit hängt laut der Physik von der Geschwindigkeit und dem Weg ab, wobei dies nach umstellen der Formel für die Geschwindigkeit deutlich wird.

v=\frac{s}{t} \Rightarrow t=\frac{s}{v}

Um zu ermitteln, welche Zeit ein Flugzeug bis zum Passieren des Schnittpunkts benötigte, bedarf es Informationen zur Durchschnittsgeschwindigkeit und zur Strecke zwischen der aktuellen Position und dem Schnittpunkt.

Da die Geschwindigkeit von der Zeit abhängt, welche das Flugzeug bis zum Schnittpunkt benötigt und uns diese Information nicht gegeben ist, können wir keine Aussage über die Geschwindigkeit des Flugzeugs treffen.

Jedoch können wir die Strecke ermitteln, welche ein Flugzeug bis zum Kollisionspunkt benötigt.

Mit Hilfe der gegebenen Ortsvektoren ist es möglich, dass der Vektor zwischen der aktuellen Lage des Flugzeugs und dem Schnittpunkt ermittelt werden kann.

Der Vektor mit dem Anfangspunkt A und dem Zielpunkt S kann wie folgt ausgedrückt und ermittelt werden.

\vec{AS}=\vec{s} - \vec{a}

Da uns die Ortsvektoren bekannt sind, können wir nun den Vektor zwischen dem Punkt A und dem Punkt S bestimmen.

\vec{AS}=\begin{pmatrix}2090 \\ 1950 \\ 10250 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}110 \\ 115 \\ 10210 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1980 \\ 1835 \\ 40 \end{pmatrix}

Nun ist zu überlegen, wie die Länge des Vektors, de facto die Strecke zwischen dem Punkt A und dem Punkt S ermittelt werden kann.


Im Unterricht haben wir bestimmt, dass wir diesen Weg mit Hilfe des Satzes des Pythagoras ermitteln können, wobei wir die folgende Formel ermittelt haben.

Mit Hilfe dieser Formel kann man die Strecke jedes Vektors im Raum bestimmen.

s=\sqrt{x_1+x_2+x_3}

Nun fügen wir die Koordinaten des Vektors zwischen dem Punkt A und S ein und ermitteln die Strecke.

s_A=\sqrt{1980^2+1835^2+40^2}\approx 2700

Es ist davon auszugehen, dass die Strecke in Metern angegeben werden soll, da ein Flugzeug für gewöhnlich eine Flughöhe von 10000 Metern hat, wobei dies auch bei Betrachtung der Punkte A und B der Fall ist.

Nun ermitteln wir den Vektor zwischen dem Punkt B und dem Punkt S und berechnen nach diesem Vorgang die Länge dieses Vektors, also die Strecke vom Punkt B bis zum Schnittpunkt S.

Wir gehen analog zur vorigen Rechnung vor.

\vec{BS} = \vec{s} - \vec{b} = \begin{pmatrix}2090 \\ 1950 \\ 10250 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}235 \\ -10 \\ 10240 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1855 \\ 1960 \\ 10 \end{pmatrix}

Nun ermitteln wir die Strecke zwischen dem Punkt B und dem Punkt S.

\sqrt{1855^2+1960^2+10^2} \approx 2699

Auch diese Strecke soll in Metern angegeben sein.


Da die Strecken der beiden Flugzeuge bis zu dem Schnittpunkt nur bei ungefähr drei Kilometer liegen, ist die Kollisionsgefahr sehr hoch.

Zudem ist davon auszugehen, dass beide Flugzeuge mit einer ähnlichen Geschwindigkeit fliegen, weshalb auch die Zeit bis zum Passieren des Schnittpunkts bei beiden Flugzeugen ungefähr gleich sein müsste, sodass eine Kollision stattfinden würde.

Geht man davon aus, dass beide Flugzeuge ungefähr 800 Kilometer pro Stunde, also umgerechnet ungefähr 222 Meter pro Sekunde fliegen, so ergibt sich für beide Flugzeuge die folgende Zeit bis zur Kollision.

t\approx \frac{2700m}{222 \frac{m}{s}} \approx 12,16 s

Beide Flugzeuge haben daher circa 12 Sekunden Zeit, um die Flugroute zu ändern und eine Kollision zu vermeiden.

--Liberté 13:27, 29. Sep. 2012 (CEST)


Lagebeziehung dreier Ebenen und Lösbarkeit eines LGS mit 3 Variablen und 3 Gleichungen

Des Weiteren wurde im Unterricht thematisiert, wie sich drei Ebenen zueinander verhalten können.

Haben wir eine Ebene in Koordinatenform gegeben, so liegt uns eine Gleichung vor mit drei diversen Variablen vor und auch nur eine Zeile für ein lineares Gleichungssystem.

Liegen uns jedoch drei Ebenen in Koordinatenform vor, so können wir ein lineares Gleichungssystem mit drei Zeilen und drei Unbekannten aufstellen und mit Hilfe dessen die Lagebeziehung dreier Ebenen untersuchen.

Im Unterricht haben wir uns überlegt, durch welche Lösungen nach Anwendung des Gauß-Verfahrens auf welche Lagebeziehungen geschlossen werden kann.

Ergibt sich lediglich eine Lösung für jeweils eine Koordinate, so können wir aussagen, dass alle Ebenen einen Punkt teilen und sich somit in einem Punkt schneiden.

Erhalten wir keine Lösung, so sind die Ebenen, zumindest zwei der drei Ebenen, parallel zueinander oder schneiden sich alle an entlang diversen Geraden, sodass sich die drei Geraden in der Gesamtheit nicht an einem Punkt schneiden.

Erhalten wir unendlich viele Lösungen, so schneiden sich die Ebenen in einer unendlichen Anzahl von Punkten.

Dies ist der Fall, wenn die Ebenen identisch sind oder sich entlang einer Geraden schneiden, welche aus einer unendlichen Anzahl von Punkten besteht.

Um die einzelnen Möglichkeiten der Lagebeziehungen zu illustrieren, wird im folgenden Verlauf jeweils ein Beispiel zu den diversen Fällen dargestellt.


Eine Lösung nach dem Anwenden des Gauß-Verfahrens

Als erstes Beispiel zur Illustration der Lagebeziehung bei einer Lösung nach dem Anwenden des Gauß-Verfahrens sollen die folgenden drei Ebenen dienen.

E:x_1 -2x_2+ 3x_3= 0

F:3x_1+ 4x_2 -2x_3= 9

G:2x_1-x_2 +5x_3= 5

Um die Lagebeziehung der drei Ebenen zu bestimmen, verwenden wir ein lineares Gleichungssystem und wenden das Gauß-Verfahren an.

Liberté Bildschirmfoto 2012-10-12 um 00.48.58.png

Liberté Bildschirmfoto 2012-10-12 um 00.56.23.png

Nun haben wir ermittelt, dass eine Lösung existiert und somit ein Schnittpunkt, welchen alle drei Ebenen als Punktmengen beinhalten.

Zur Illustration:

Liberté Bildschirmfoto 2012-10-12 um 00.40.22.jpg

Es ist zu erkennen, dass sich die drei Ebenen an einem Punkt schneiden, wodurch unser Ergebnis bestätigt ist.


Keine Lösung nach dem Anwenden des Gauß-Verfahrens


Erstes Beispiel

Nun wenden wir uns einem Beispiel zu, bei welchem die Lagebeziehung der folgenden drei Ebenen untersucht wird.

E:-x_1+x_2+x_3=1

F:-16x_1+16x_2+16x_3=64

G:-64x_1+64x_2+64x_3=512

Um zu untersuchen, welche Lagebeziehung zwischen den Ebenen existiert, formulieren wir das folgende lineare Gleichungssystem und wenden das Gauß-Verfahren an.

Liberté Bildschirmfoto 2012-10-12 um 14.19.10.png

Wir erkennen, dass unsere Lösungsmenge die leere Menge ist, weshalb kein Wert für einen Parameter gefunden werden konnte, wodurch ausgesagt werden kann, dass sich die Ebenen in keinem Punkt schneiden.

Daher müssen die Ebenen, zumindest zwei der drei Ebenen, parallel zueinander sein oder sich entlang diversen Geraden schneiden, wobei diese Geraden sich wiederum nicht an einem Punkt schneiden dürfen.

Erstellen wir eine Grafik, welche die Ebenen in einem dreidimensionalen Koordinatensystem darstellt, so erkennen wir, dass alle drei Ebenen parallel zueinander sind.

Zur Illustration:

Liberté Bildschirmfoto 2012-10-12 um 14.27.01.jpg


Zweites Beispiel

Bei diesem Beispiel sollen die folgenden Ebenen auf ihre Lagebeziehung untersucht werden.

E:x_1 -3x_2+ 2x_3= 2

F: 3x_2 -2x_3= 1

G:-6x_2+ 4x_3= 3

Um zu untersuchen, welche Lagebeziehung zwischen den Ebenen vorliegt, wir das folgende lineare Gleichungssystem formuliert und das Gauß-Verfahren angewandt.

Liberté Bildschirmfoto 2012-10-12 um 12.36.26.png

Nun, da unsere Lösungsmenge die leere Menge ist und da wir keine Werte für die Koordinaten der Schnittpunkte erhalten haben, liegen keine Schnittpunkte vor, weshalb die Ebenen, zumindest zwei der drei Ebenen, parallel zueinander sind oder sich entlang diversen Geraden schneiden, welche sich wiederum in der Gesamtheit nicht an einem Punkt schneiden.

Visualisieren wir die Ebenen, so erkennen wir, dass die blau und rot eingezeichneten Ebenen F und G parallel zueinander sind, während die gelb markierte Ebene E die beiden Ebenen jeweils entlang einer Geraden schneidet.

Zur Illustration:

Liberté Bildschirmfoto 2012-10-12 um 00.36.52.jpg



Drittes Beispiel

Hierbei werden die folgenden drei Ebenen untersucht.

Dabei soll dieses Beispiel verdeutlichen, dass auch keine parallelen Ebenen vorliegen können, wenn wir eine leere Lösungsmenge erhalten.

E:x_1 -3x_2+ 2x_3= -2

F:x_1+ 3x_2 -2x_3= 5

G: -6x_2+ 4x_3= 3

Auch hierbei wenden wir ein lineares Gleichungssystem an.

Liberté Bildschirmfoto 2012-10-12 um 11.50.29.png

Auch hierbei erhalten wir eine leere Lösungsmenge, weshalb die drei Ebenen als Punktmengen keinen Punkt teilen und somit keine gemeinsamen Schnittpunkte haben.

Dennoch ist keine der drei Ebenen parallel zur anderen Ebene, wie im Folgenden dargestellt wird.

Zur Illustration:

Liberté Bildschirmfoto 2012-10-12 um 00.24.37.jpg



Unendliche Anzahl von Lösungen nach dem Anwenden des Gauß-Verfahrens


Erstes Beispiel

Nun untersuchen wir die folgenden drei Ebenen auf ihre Lagebeziehungen.

E:3x_1+ 3x_2 -2x_3= 18

F:x_1+ 3x_2 -2x_3= 5

G: -6x_2+ 4x_3= 3

Dabei verwenden wir erneut lineare Gleichungssysteme und das Gauß-Verfahren.

Liberté Bildschirmfoto 2012-10-12 um 13.04.12.png

Nun können wir folglich für den Parameter x3 eine unendliche Anzahl von Werten bestimmen, bei denen die letzte Gleichung stimmt.

Daher existiert eine unendliche Anzahl von Lösungen, weshalb die Geraden identisch sind oder sich entlang einer Geraden schneiden.

Mit Hilfe einer Grafik, welche die drei Ebenen in einem dreidimensionalen Koordinatensystem darstellt, können wir erkennen, dass sich die Ebenen entlang einer Geraden schneiden.

Zur Illustration:

Liberté Bildschirmfoto 2012-10-12 um 13.10.54.jpg



Zweites Beispiel

Im letztes Beispiel betrachten wir uns die folgenden drei Ebenen.

E:3x_1 -x_2 -x_3= 1

F:12x_1-4x_2-4x_3= 4

G:27x_1 -9x_2 -9x_3= 9

Dabei gehen wir analog zu den vorherigen Beispielen vor.

Liberté Bildschirmfoto 2012-10-12 um 13.43.59.png

Auch hierbei existiert eine unendliche Anzahl von Schnittpunkten zwischen den drei Ebenen, weshalb diese identisch sein können oder sich entlang einer Geraden schneiden.

Erstellen wir eine Grafik, welche die drei Ebenen in einem dreidimensionalen Koordinatensystem darstellt, so wird deutlich, dass die drei Ebenen identisch sind.

Zur Illustration:

Liberté Bildschirmfoto 2012-10-12 um 14.22.43.jpg


--Liberté 21:38, 26. Okt. 2012 (CEST)


Beweis der lineare Abhängigkeit der Zeilenvektoren bei linearer Abhängigkeit der Spaltenvektoren

Erläuterung der Problematik mittels zweier Beispiele

Des Öfteren wird in der linearen Algebra und der analytischen Geometrie, um diverse Aufgaben zu lösen, der Nachweis der linearen Abhängigkeit direkt gefordert oder ist zum Lösen der Aufgabe notwendig.

Daher ist das Nachweisen linearer Abhängigkeit in der linearen Algebra und der analytischen Geometrie von elementarer Bedeutung und diverse Methoden dazu sollten näher untersucht werden.

Dabei soll eine neue Methode zunächst anhand zweier Beispiele eingeführt und im Folgenden bewiesen werden.

Zunächst betrachten wir uns zwei Geraden, welche auf Parallelität untersucht werden sollen.

g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}

h:\vec{x}= \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}

Wir erkennen direkt, dass die beiden Geraden linear unabhängig voneinander sind, da keiner der beiden Richtungsvektoren mit Hilfe eines Faktors durch den anderen Richtungsvektor dargestellt werden kann.

Dennoch können wir den folgenden Ansatz formulieren und durch Anwendung linearer Gleichungssystem ermitteln, dass keine lineare Abhängigkeit besteht.

x \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} + y \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}=\vec{0}

Nun tragen wir die Spaltenvektoren, also die uns gegebenen Vektoren, in ein lineares Gleichungssystem ein und bestätigen somit die lineare Unabhängigkeit der beiden Vektoren

Liberté Bildschirmfoto 2012-11-06 um 23.12.41.png

Hierbei wird bestätigt, dass die Vektoren linear unabhängig sind, wobei dies auch gezeigt wird, wenn man die Zeilenvektoren im linearen Gleichungssystem aufträgt.

In einigen Fällen, wie im späteren Verlauf des Textes deutlich wird, birgt diese Methode erhebliche Vorteile, wobei aber auch zu zeigen ist, dass diese Methode zum Nachweis der linearen Abhängigkeit verwendet werden darf, weshalb folglich ein Beweis notwendig ist.

Jedoch werden nun zunächst die x-Koordinate und die y-Koordinate eines Vektors in einer Gleichung mit den dazugehörigen Skalaren eingetragen.

Dieser wird nun wie folgt in ein lineares Gleichungssystem eingetragen und die Dreiecksform soll daraufhin angestrebt werden.

Liberté Bildschirmfoto 2012-11-07 um 19.27.38.png

Hierbei erkennen wir, dass auch beim Eintragen der Zeilenvektoren die lineare Unabhängigkeit vorherrscht, wobei sich die Frage stellt, ob lineare Unabhängigkeit der Zeilenvektoren vorliegt, wenn die Spaltenvektoren linear unabhängig sind.

Betrachten wir uns nun ein weiteres Beispiel, wobei nun die Parallelität der beiden folgenden Geraden überprüft werden soll.

g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}

h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}

Nun überprüfen wir, ob auch hierbei lineare Abhängigkeit vorliegt, wobei wir den folgenden Ansatz verwenden.

x \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} + y \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \vec{0}

Dazu verwenden wir nun ein lineares Gleichungssystem und wenden daraufhin das Gauß-Verfahren an.

Liberté Bildschirmfoto 2012-11-07 um 18.46.21.png

Nachdem wir die lineare Abhängigkeit mittels Gauß-Verfahren nachgewiesen haben, fragt sich, ob auch die Zeilenvektoren linear abhängig voneinander sind.

Dies überprüfen wir mit Hilfe von linearen Gleichungssystemen und dem Gauß-Verfahren.

Liberté Bildschirmfoto 2012-11-07 um 19.02.39.png

Auch hierbei stellt sich heraus, dass bei der Untersuchung des Zeilenvektors und des Spaltenvektors das gleiche Ergebnis erhalten wird, welches der Nachweis der linearen Abhängigkeit ist.

Daher können wir die Vermutung aufstellen, dass lineare Abhängigkeit der Zeilenvektoren bei linearer Abhängigkeit der Spaltenvektoren besteht.

Dabei wird im Folgenden der Beweis dieser Behauptung angestrebt, wobei wir uns zunächst auf zwei Vektoren in der Ebene und später nach einem weiteren Beispiel, welches den Vorteil dieser Methode aufzeigt, auf drei Vektoren im Raum fokussieren.


Beweis für zwei Vektoren in der Ebene


Beweis

Zunächst setzen wir die folgende Gleichung an, mit Hilfe derer die lineare Abhängigkeit überprüft werden kann.

x \cdot \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \end{pmatrix} + y \cdot \begin{pmatrix} a_{12} \\ a_{22} \end{pmatrix} = \vec{0}

Nun formulieren wir ein lineares Gleichungssystem und wenden das Gauß-Verfahren an.

Liberté Bildschirmfoto 2012-11-17 um 15.55.46.png

Nun klammern wir den Buchstaben y aus.

Die Klammer, welche gemeinsame mit dem Buchstaben y ein Produkt ergibt, muss gleich Null sein, damit lineare Abhängigkeit besteht.

Liberté Bildschirmfoto 2012-11-17 um 16.03.50.png

Eine weitere Voraussetzung ist bei diesem Beweis daher, dass die obige Klammer dem Wert Null gleichen muss.

Nach diesem Schritt erstellen wir die folgende Gleichung der Zeilenvektoren und gehen analog zu dem soeben angewandten Verfahren vor.

x\cdot \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{12} \end{pmatrix} + y \cdot \begin{pmatrix} a_{21} \\ a_{22} \end{pmatrix} = \vec{0}

Nun erstellen wir ein lineares Gleichungssystem und verwenden den Gauß-Algorithmus.

Liberté Bildschirmfoto 2012-11-17 um 16.17.26.png

Nach diesem Schritt klammern wir den Buchstaben y aus.

Liberté Bildschirmfoto 2012-11-17 um 16.24.53.png

Wir erkennen, dass der Faktor, welcher in Klammern vor dem Buchstaben y steht, mit dem Faktor, den wir zuvor mit dem Wert Null gleichgesetzt haben, übereinstimmt, sodass auch hier dieser Faktor dem Wert Null gleichen muss.

Damit haben wir bewiesen, dass die lineare Abhängigkeit der Zeilenvektoren bei linearer Abhängigkeit der Spaltenvektoren bei zwei zweidimensionalen Vektoren vorliegt.

q.e.d.


Alternativer Beweis

Nun wollen wir überprüfen, ob bei der linearen Abhängigkeit der Spaltenvektoren auch die lineare Abhängigkeit der Zeilenvektoren bei Betrachtung zweier Vektoren in der Ebene vorliegt.

Dabei kann die lineare Abhängigkeit zweier Vektoren wie folgt allgemein untersucht werden.

Als Voraussetzung formulieren wir daher unter anderem die folgende Gleichung.

x \cdot \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \end{pmatrix} + y \cdot \begin{pmatrix} a_{12} \\ a_{22} \end{pmatrix}=\vec{0}

Nun arbeiten wir nun mit der zuvor aufgestellten Gleichung und formulieren das Folgende.

Sind zwei Vektoren voneinander linear abhängig, so muss die x-Koordinate des einen Vektors ein Vielfaches der x-Koordinate des anderen Vektors sein, wobei dies auch für die y-Koordinaten gelten soll.

Deshalb können wir das Folgende ausdrücken, wobei dies auch ein Part der Voraussetzung ist.

a_{12}=c \cdot a_{11} (1)

Für die Ordinaten soll zudem das Folgende gelten.

a_{22}=c \cdot a_{21} (2)

Berücksichtigen wir dies in unserer obigen Gleichung, so erhalten wir die folgende Gleichung.

x \cdot \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \end{pmatrix} + y \cdot \begin{pmatrix} c \cdot a_{11} \\ c \cdot a_{21} \end{pmatrix} = \vec{0}

Nun können wir den Faktor c ausklammern und das Folgende formulieren.

x \cdot \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \end{pmatrix} + y \cdot c \cdot \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \end{pmatrix} = \vec{0}

Das Produkt aus den Faktoren y und c soll nun im Folgenden mit dem Buchstaben z bezeichnet werden.

Dadurch entsteht die folgende Gleichung.

x \cdot \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \end{pmatrix} + z \cdot \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \end{pmatrix}= \vec{0}

Nun ist die lineare Abhängigkeit hierbei deutlich zu erkennen.

Die lineare Abhängigkeit besteht daher, wenn wir die Gleichungen, welche unter (1) und (2) vermerkt haben, in unserer anfangs aufgestellten Gleichung berücksichtigen.

Nach diesem Schritt betrachten wir uns nun die Zeilenvektoren, deren lineare Abhängigkeit wie folgt überprüft werden kann.

x\cdot \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{12} \end{pmatrix} + y \cdot \begin{pmatrix} a_{21} \\ a_{22} \end{pmatrix} = \vec{0}

Nun sollen auch hier die Gleichungen, welche unter (1) und (2) vermerkt sind, berücksichtigt werden, wodurch wir die folgende Gleichung erhalten.

x \cdot \begin{pmatrix} a_{11} \\ c \cdot a_{11} \end{pmatrix} + y \cdot \begin{pmatrix} a_{21} \\ c \cdot a_{21} \end{pmatrix} = \vec{0}

Wir weisen die lineare Abhängigkeit hierbei nun mittels eines linearen Gleichungssystems nach.

Liberté Bildschirmfoto 2012-11-07 um 22.51.02.png

Damit haben wir bewiesen, dass lineare Abhängigkeit der Zeilenvektoren bei linearer Abhängigkeit der Spaltenvektoren existiert, wobei wir dies hierbei nur für zwei Vektoren in der Ebene nachgewiesen haben.

q.e.d.


Beispiel für drei Vektoren im Raum

Nachdem wir nun die lineare Abhängigkeit der Zeilenvektoren bei linearer Abhängigkeit der Spaltenvektoren für zwei Vektoren in der Ebene bewiesen haben, wenden wir uns nun drei Vektoren im Raum zu.

Zunächst betrachten wir daher die folgende Beispielaufgabe, welche auch im Unterricht vom 31.10.2012 behandelt wurde.

Die folgende Gerade und die folgende Ebene sollen auf Parallelität überprüft werden.

g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}

Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\m“): E:\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \m \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}


Daher verwenden wir nun den folgenden Ansatz, um die Parallelität mittels Überprüfung der linearen Abhängigkeit des Richtungsvektors der Geraden und der Spannvektoren der Ebene zu inspizieren.

x \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} + y \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + z \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \vec{0}

Nun verwenden wir ein lineares Gleichungssystem, um daraufhin mit Hilfe des Gauß-Verfahrens die lineare Abhängigkeit zu überprüfen.

Liberté Bildschirmfoto 2012-11-08 um 18.16.25.png

Wir formen die Gleichungen im linearen Gleichungssystem wie folgt um und wenden daraufhin das Gauß-Verfahren an.

Liberté Bildschirmfoto 2012-11-08 um 18.45.39.png


\, \Leftrightarrow

Liberté Bildschirmfoto 2012-11-08 um 18.57.16.png

Hierbei erkennen wir, dass die lineare Abhängigkeit besteht und daher auch die Parallelität Ebene und der Geraden festgestellt werden kann.

Tragen wir nun die Zeilenvektoren in einem linearen Gleichungssystem waagerecht auf, so ergibt sich bei diesem Beispiel der endscheidende Vorteil, dass die lineare Abhängigkeit der Vektoren in diesem linearen Gleichungssystem direkt erkannt und mit einem Schritt nachgewiesen werden kann.

Nun tragen wir zunächst die Zeilenvektoren waagerecht in ein lineares Gleichungssystem ein.

Liberté Bildschirmfoto 2012-11-08 um 21.38.21.png

Wir erkennen bei Betrachtung der ersten und der dritten Gleichung in dem soeben erstellten linearen Gleichungssystem, dass diese bei der Addition ein für die lineare Abhängigkeit günstiges Ergebnis liefern würden, wobei dies im Folgenden illustriert und zugleich nachgewiesen wird.

Liberté Bildschirmfoto 2012-11-08 um 21.54.22.png

Auch hierbei gilt die lineare Abhängigkeit der Zeilenvektoren bei linearer Abhängigkeit der Spaltenvektoren, weshalb hierbei die Vermutung aufgestellt werden kann, dass die lineare Abhängigkeit der Zeilenvektoren bei linearer Abhängigkeit der Spaltenvektoren für drei Vektoren im Raum allgemein gültig ist.

Im Folgenden versuchen wir nun diese Behauptung zu beweisen.


Beweis für drei Vektoren im Raum


Beweis

Nun versuchen wir zu beweisen, dass die lineare Abhängigkeit der Zeilenvektoren bei linearer Abhängigkeit der Spaltenvektoren bei drei Vektoren im Raum gilt.

Dabei gehen wir analog zum Beweis der linearen Abhängigkeit der Zeilenvektoren bei linearer Abhängigkeit der Spaltenvektoren bei zwei Vektoren in der Ebene vor.

Wir formulieren zunächst die folgende Gleichung, welche Teil der Voraussetzung dieses Beweises ist.

x \cdot \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31} \end{pmatrix} + y \cdot \begin{pmatrix} a_{12} \\ a_{22} \\ a_{32} \end{pmatrix} + z \cdot \begin{pmatrix} a_{13} \\ a_{23} \\ a_{33} \end{pmatrix} = \vec{0}

Nun formulieren wir ein lineares Gleichungssystem und wenden das Gauß-Verfahren an.

Liberté Bildschirmfoto 2012-11-17 um 17.15.29.png

Nach diesem Schritt addieren wir die beiden letzten Gleichungen, so dass der Buchstabe y wegfällt.

Liberté Bildschirmfoto 2012-11-17 um 18.17.01.png

Dabei soll der in Klammern gesetzte Faktor vor dem Buchstaben y gleich der Zahl Null sein, damit lineare Abhängigkeit besteht.

Nach diesem Schritt bestimmen wir, ob auch die lineare Abhängigkeit der Zeilenvektoren bei linearer Abhängigkeit der Spaltenvektoren besteht.

Dazu formulieren wir zunächst das Folgende.

x \cdot \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{12} \\ a_{13} \end{pmatrix} + y \cdot \begin{pmatrix} a_{21} \\ a_{22} \\ a_{23} \end{pmatrix} + z \cdot \begin{pmatrix} a_{31} \\ a_{32} \\ a_{33} \end{pmatrix} = \vec{0}

Nun tragen wir die Zeilenvektoren in einem linearen Gleichungssystem auf.

Liberté Bildschirmfoto 2012-11-17 um 22.23.35.png

Nach diesem Schritt addieren wir die letzten beiden Gleichungen des letzten linearen Gleichungssystems, wobei durch vorige Äquivalenzumformungen der Buchstabe y wegfallen soll.

Liberté Bildschirmfoto 2012-11-17 um 22.40.40.png

Bei genauerer Betrachtung des in Klammer gesetzten Faktors vor dem Buchstaben z erkennen wir, dass diese mit dem in Klammern gesetzten Faktor übereinstimmt, welchen wir zuvor gleich Null gesetzt haben, damit die lineare Abhängigkeit der Zeilenvektoren besteht.

Somit existiert hierbei auch die lineare Abhängigkeit der Zeilenvektoren, womit wir unsere Behauptung bewiesen haben.

q.e.d.


Alternativer Beweis

Nun versuchen wir zu beweisen, dass die lineare Abhängigkeit der Zeilenvektoren bei linearer Abhängigkeit der Spaltenvektoren bei drei Vektoren im Raum gilt.

Dabei gehen wir analog zum Beweis der linearen Abhängigkeit der Zeilenvektoren bei linearer Abhängigkeit der Spaltenvektoren bei zwei Vektoren in der Ebene vor.

Wir formulieren zunächst die folgende Gleichung, welche Teil der Voraussetzung dieses Beweises ist.

x \cdot \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31} \end{pmatrix} + y \cdot \begin{pmatrix} a_{12} \\ a_{22} \\ a_{32} \end{pmatrix} + z \cdot \begin{pmatrix} a_{13} \\ a_{23} \\ a_{33} \end{pmatrix} = \vec{0}

Existiert lineare Abhängigkeit der Spaltenvektoren, welche wir voraussetzen, so sind die Koordinatenwerte eines Vektors der drei Vektoren jeweils ein Vielfaches der Koordinatenwerte eines weiteren Vektors der drei gegebenen Vektoren.

Mathematisch können wir daher das Folgende formulieren.

a_{12}=c \cdot a_{11} (1)

a_{22}=c \cdot a_{21} (2)

a_{32}=c \cdot a_{31} (3)

Nun berücksichtigen wir dies in unserer anfangs aufgestellten Gleichung, sodass die folgende Gleichung angefertigt werden kann.

x \cdot \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31} \end{pmatrix} + y \cdot \begin{pmatrix} c\cdot a_{11} \\ c \cdot a_{21} \\ c \cdot a_{31} \end{pmatrix} + z \cdot \begin{pmatrix} a_{13} \\ a_{23} \\ a_{33} \end{pmatrix} = \vec{0}

Nach diesem Schritt schreiben wir den Faktor c vor den entsprechenden Vektor und formulieren das Folgende.

x \cdot \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31} \end{pmatrix} + y\cdot c \cdot \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31} \end{pmatrix} + z \cdot \begin{pmatrix} a_{13} \\ a_{23} \\ a_{33} \end{pmatrix} = \vec{0}

Nun soll das Produkt der Skalare y und c mit dem Buchstaben d ausgedrückt werden, weshalb wir das Folgende formulieren.

x \cdot \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31} \end{pmatrix} + d \cdot \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31} \end{pmatrix} + z \cdot \begin{pmatrix} a_{13} \\ a_{23} \\ a_{33} \end{pmatrix} = \vec{0}

Betrachten wir uns nun die Gleichung, so wird ersichtlich, dass lineare Abhängigkeit bestehen muss, da nun zwei identische Vektoren vorliegen.

Berücksichtigen wir also die Gleichungen, welche unter (1), (2) und (3) aufgeführt, in der Gleichung, welche wir zur Überprüfung der linearen Abhängigkeit aufgestellt haben, so liegt lineare Abhängigkeit vor.

Nun erstellen wir eine Gleichung, mit Hilfe welcher die lineare Abhängigkeit der Zeilenvektoren überprüft werden soll.

x \cdot \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{12} \\ a_{13} \end{pmatrix} + y \cdot \begin{pmatrix} a_{21} \\ a_{22} \\ a_{23} \end{pmatrix} + z \cdot \begin{pmatrix} a_{31} \\ a_{32} \\ a_{33} \end{pmatrix} = \vec{0}

Nach diesem Schritt berücksichtigen wir nun die Gleichungen, welche unter (1), (2) und (3) aufgeführt sind, in der soeben aufgestellten Gleichung, wodurch wir die folgende Gleichung erhalten.

x \cdot \begin{pmatrix} a_{11} \\ c \cdot a_{11} \\ a_{13} \end{pmatrix} + y \cdot \begin{pmatrix} a_{21} \\ c \cdot a_{21} \\ a_{23} \end{pmatrix} + z \cdot \begin{pmatrix} a_{31} \\ c \cdot a_{31} \\ a_{33} \end{pmatrix} = \vec{0}

Nun wenden wir ein lineares Gleichungssystem an, um daraufhin die lineare Abhängigkeit zu überprüfen.

Liberté Bildschirmfoto 2012-11-08 um 23.23.31.png

Daraufhin addieren wir die erste und die zweite Gleichung des soeben erstellten linearen Gleichungssystem, wobei die erste Gleichung zuvor mit dem Faktor -c multipliziert wird.

Liberté Bildschirmfoto 2012-11-08 um 23.41.46.png

Somit haben wir bewiesen, dass die lineare Abhängigkeit der Zeilenvektoren bei linearer Abhängigkeit der Spaltenvektor bei drei Vektoren im Raum gilt.

q.e.d.


--Liberté 23:29, 8. Nov. 2012 (CET)


Beweis für die Nichtexistenz von windschiefen Ebenen

Zunächst überlegen wir uns, welche Behauptung wir hierfür aufstellen müssen und welche Voraussetzung damit verknüpft ist.

Sind zwei Geraden windschief zueinander, so sind diese nicht parallel, jedoch schneiden sich diese auch nicht.

Würden daher Ebenen existieren, welche nicht parallel sind und sich dennoch nicht schneiden, so wären diese windschief zueinander.

Wollen wir zeigen, dass dies nicht möglich ist, so muss bewiesen werden, dass zwei nicht parallele Ebenen definitiv eine Schnittgerade besitzen.

Unsere Behauptung können wir daher wie folgt formulieren.

Sind zwei Ebenen nicht parallel zueinander, so muss eine Schnittgerade zwischen den Ebenen existieren.

Nachdem wir diese Behauptung formuliert haben, gilt es dies mittels der uns bekannten Mittel zu beweisen.

Dabei setzten wir, wie zuvor erwähnt, voraus, dass die zwei zu betrachtenden Ebenen nicht parallel zueinander sind, wobei wir zunächst zwei Ebenen in Normalenform allgemein formulieren.

E_1:\left[ \vec{x} - \vec{p_1} \right] \cdot \vec{n}=0

E_2:\left[ \vec{x} - \vec{p_2} \right] \cdot \vec{n*}=0

Da die Normalenvektoren beide in einem Winkel von 90° zu der Ebene, welcher sie angehören, stehen, kann auch das Verhalten der Normalenvektoren der Ebenen zueinander betrachtet werden, um die Lage der Ebenen zueinander zu untersuchen.

Lässt sich ein Normalenvektor einer Ebene nicht durch den Normalenvektor einer anderen Ebene darstellen, so sind die Ebenen nicht parallel zueinander.

Dabei sind die Normalenvektoren daher linear unabhängig, wobei dies die Voraussetzung für diesen Beweis sein muss.

Dabei formulieren wir zunächst eine Gleichung, mit Hilfe derer wir die lineare Abhängigkeit zweier Normalenvektoren fordern.

x \cdot \vec{n} + y \cdot \vec{n*}=0

Nun erstellen wir ein lineares Gleichungssystem und wenden das Gauß-Verfahren an.

Liberté Bildschirmfoto 2012-12-04 um 00.10.01.png

Nachdem wir ausgeklammert haben, ist zu erkennen, dass der in Klammern stehende Faktor keinesfalls Null ergeben darf, wenn die lineare Unabhängigkeit der Normalenvektoren vorausgesetzt ist.

Nun überprüfen wir, ob die zuvor beschriebenen Ebenen eine Schnittgerade bei linearer Unabhängigkeit der Normalenvektoren besitzen.

Dabei wissen wir, dass wir die oben beschriebenen Ebenen auch wie folgt ausdrücken können.

E_1:\vec{x} \cdot \vec{n} = \vec{p_1} \cdot \vec{n}

E_2:\vec{x} \cdot \vec{n*} = \vec{p_2} \cdot \vec{n*}

Dies schreiben wir nun wie folgt um, wobei wir das Skalarprodukt der jeweiligen linken Seite der Gleichungen berechnen.

E_1:n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=\vec{p_1} \cdot \vec{n}

E_2:n_1*x_1+n_2*x_2+n_3x_3=\vec{p_2} \cdot \vec{n*}

Nun setzen wir ein lineares Gleichungssystem an, um zu überprüfen, ob eine Schnittgerade vorliegt.

Liberté Bildschirmfoto 2012-12-04 um 00.43.43.png

Wir erkennen, dass die in Klammern gesetzten Faktoren mit den zuvor erhaltenen Faktoren beim Festlegen der linearen Unabhängigkeit übereinstimmen und somit auch ungleich Null sein müssen.

Damit ist nachgewiesen, dass gemeinsame Schnittpunkte zwischen zwei Ebenen, welche nicht parallel sind, existieren müssen, da nun Werte für die Koordinaten gefunden werden können, damit die Gleichung korrekt ist.

q.e.d.

--Liberté 00:44, 4. Dez. 2012 (CET)


Beweis der Gültigkeit des Assoziativgesetzes bei der Matrizenmultiplikation

Beim Rechnen mit Matrizen haben wir festgestellt, dass die Rechenregeln, welche wir für reelle Zahlen kennen, nicht gültig sein müssen, wie beispielsweise das Kommunikativgesetz, welches bei der Matrizenmultiplikation nicht gilt.

Nun wollen wir überprüfen, ob das Assoziativgesetz bei der Matrizenmultiplikation gilt, da aus einigen Beispielen deutlich wurde, dass es auf die Matrizenrechnung, zumindest bei diesen Beispielen, anwendbar ist.

Dabei müsste, wenn das Assoziativgesetz bei der Matrizenmultiplikation gelten würde, das Folgende allgemein gültig sein.

(A \cdot B) \cdot C= A \cdot (B \cdot C)


Beispiel

Ein Beispiel wären die folgenden Rechnungen.

Die Klammern, welche bei der folgenden Gleichung um die ersten beiden Matrizen gesetzt wurde, dienen nur der Illustration, da die Rechnung auch ohne Klammersetzung wegen der Multiplikation von links nach rechts identisch wäre.

 \left( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 7 \end{pmatrix} \right) \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & 17\\ 26 & 37 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 46 & 46 \\ 100 & 100 \end{pmatrix}

Nun setzten wir die Klammern wie folgt und überprüfen, ob das Assoziativgesetz bei diesem Beispiel gültig ist.

\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \left( \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 7 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \right)= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 8 & 8\\ 19 & 19 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 46 & 46 \\ 100 & 100 \end{pmatrix}

Bei diesem Beispiel zeigt sich, dass hierbei das Assoziativgesetz gültig ist, jedoch gilt es dies nun im Allgemeinen zu zeigen.


Beweis für die Gültigkeit des Assoziativgesetzes bei der Matrizenmultiplikation von 2×2-Matrizen

Um zu beweisen, dass das Assoziativgesetz bei der Multiplikation von 2×2-Matrizen gültig ist, muss diese Multiplikation formal ausgeführt werden, ohne dass konkrete reelle Zahlen verwendet werden.

Daher formulieren wir zunächst allgemein, dass das Assoziativgesetz gilt, wenn die folgende Gleichung allgemein korrekt ist.

(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)

Deshalb ist, sobald die Gültigkeit der folgenden Gleichung nachgewiesen ist, auch dass Assoziativgesetz bei 2×2-Matrizen gültig.

 \left( \begin{pmatrix} a_{11} && a_{12} \\ a_{21} && a_{22} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_{11} && b_{12} \\ b_{21} && b_{22} \end{pmatrix} \right) \cdot \begin{pmatrix} c_{11} && c_{12} \\ c_{21} && c_{22}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} && a_{12} \\ a_{21} && a_{22} \end{pmatrix} \cdot \left( \begin{pmatrix} b_{11} && b_{12} \\ b_{21} && b_{22} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} c_{11} && c_{12} \\ c_{21} && c_{22}\end{pmatrix} \right)

Es gilt nun zu beweisen, dass die obige Gleichung korrekt ist, wobei dies erreicht wird, indem die Produkte auf beiden Seiten gebildet und dann verglichen werden.

Dabei betrachten wir zunächst die linke Seite der Gleichung und multiplizieren diese aus, wobei wir die Regeln aus dem Unterricht zur Matrizenmultiplikation verwenden.

 \left( \begin{pmatrix} a_{11} && a_{12} \\ a_{21} && a_{22} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_{11} && b_{12} \\ b_{21} && b_{22} \end{pmatrix} \right) \cdot \begin{pmatrix} c_{11} && c_{12} \\ c_{21} && c_{22}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} && a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22} \\  a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} && a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} c_{11} && c_{12} \\ c_{21} && c_{22} \end{pmatrix}

Nun rechnen wir nach den uns bekannten Regeln zur Matrizenmultiplikation weiter.

\begin{pmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} && a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22} \\  a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} && a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} c_{11} && c_{12} \\ c_{21} && c_{22} \end{pmatrix} Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\blue“): \blue =\begin{pmatrix} c_{11}\cdot \left( a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}\right) + c_{21}\cdot \left( a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22} \right) && c_{12}\cdot \left( a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}\right) + c_{22}\cdot \left( a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22} \right) \\ c_{11} \cdot \left( a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} \right) + c_{21} \cdot \left( a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \right) && c_{12} \cdot \left( a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} \right) + c_{22} \cdot \left( a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \right) \end{pmatrix}


Nachdem wir die linke Seite der Gleichung zu einer Matrix transformiert haben, betrachten wir uns die rechte Seite der Gleichung und multiplizieren dort die Matrizenprodukte aus.

 \begin{pmatrix} a_{11} && a_{12} \\ a_{21} && a_{22} \end{pmatrix} \cdot \left( \begin{pmatrix} b_{11} && b_{12} \\ b_{21} && b_{22} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} c_{11} && c_{12} \\ c_{21} && c_{22}\end{pmatrix} \right)= \begin{pmatrix} a_{11} && a_{12} \\ a_{21} && a_{22} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_{11} c_{11}+b_{12}c_{21} && b_{11}c_{12}+b_{12}c_{22} \\ b_{21}c_{11} + b_{22}c_{21} && b_{21}c_{12}+b_{22}c_{22} \end{pmatrix}

Nun wird auch das obige Matrizenprodukt ausmultipliziert.

\begin{pmatrix} a_{11} && a_{12} \\ a_{21} && a_{22} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_{11} c_{11}+b_{12}c_{21} && b_{11}c_{12}+b_{12}c_{22} \\ b_{21}c_{11} + b_{22}c_{21} && b_{21}c_{12}+b_{22}c_{22} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{11} \cdot \left( b_{11} c_{11}+b_{12}c_{21} \right) + a_{12} \left(  b_{21}c_{11} + b_{22}c_{21} \right) && a_{11} \cdot \left( b_{11}c_{12}+b_{12}c_{22} \right) + a_{12} \cdot \left( b_{21}c_{12}+b_{22}c_{22} \right) \\ a_{21} \cdot \left(  b_{11} c_{11}+b_{12}c_{21} \right) + a_{22} \cdot \left( b_{21}c_{11} + b_{22}c_{21} \right) &&  a_{21} \cdot \left( b_{11}c_{12}+b_{12}c_{22} \right) + a_{22} \cdot \left( b_{21}c_{12}+b_{22}c_{22}\right) \end{pmatrix}

Formen wir die erhaltene Matrix nun um, so erhalten wir die folgende Gleichung, wobei wir zunächst ausmultiplizieren

\begin{pmatrix} a_{11} \cdot \left( b_{11} c_{11}+b_{12}c_{21} \right) + a_{12} \left(  b_{21}c_{11} + b_{22}c_{21} \right) && a_{11} \cdot \left( b_{11}c_{12}+b_{12}c_{22} \right) + a_{12} \cdot \left( b_{21}c_{12}+b_{22}c_{22} \right) \\ a_{21} \cdot \left(  b_{11} c_{11}+b_{12}c_{21} \right) + a_{22} \cdot \left( b_{21}c_{11} + b_{22}c_{21} \right) &&  a_{21} \cdot \left( b_{11}c_{12}+b_{12}c_{22} \right) + a_{22} \cdot \left( b_{21}c_{12}+b_{22}c_{22}\right) \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} a_{11} b_{11} c_{11}+a_{11} b_{12}c_{21} + a_{12}b_{21}c_{11} + a_{12}b_{22}c_{21}  && a_{11}b_{11}c_{12}+a_{11} b_{12}c_{22} + a_{12}b_{21}c_{12}+a_{12}b_{22}c_{22} \\ a_{21} b_{11} c_{11}+a_{21} b_{12}c_{21} + a_{22}b_{21}c_{11} + a_{22}b_{22}c_{21} &&  a_{21}b_{11}c_{12}+a_{21}b_{12}c_{22} + a_{22}b_{21}c_{12}+a_{22}b_{22}c_{22}\end{pmatrix}

Nun klammern wir in den Termen der Koeffizienten jeweils die c-Komponenten aus und erhalten dadurch die folgende Gleichung.

\begin{pmatrix} a_{11} b_{11} c_{11}+a_{11} b_{12}c_{21} + a_{12}b_{21}c_{11} + a_{12}b_{22}c_{21}  && a_{11}b_{11}c_{12}+a_{11} b_{12}c_{22} + a_{12}b_{21}c_{12}+a_{12}b_{22}c_{22} \\ a_{21} b_{11} c_{11}+a_{21} b_{12}c_{21} + a_{22}b_{21}c_{11} + a_{22}b_{22}c_{21} &&  a_{21}b_{11}c_{12}+a_{21}b_{12}c_{22} + a_{22}b_{21}c_{12}+a_{22}b_{22}c_{22}\end{pmatrix}

Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\blue“): \blue =\begin{pmatrix} c_{11}\cdot \left( a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}\right) + c_{21}\cdot \left( a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22} \right) && c_{12}\cdot \left( a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}\right) + c_{22}\cdot \left( a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22} \right) \\ c_{11} \cdot \left( a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} \right) + c_{21} \cdot \left( a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \right) && c_{12} \cdot \left( a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} \right) + c_{22} \cdot \left( a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \right) \end{pmatrix}


Damit haben wir gezeigt, dass die linke Seite der Gleichung auch mit der rechten Seite der Gleichung übereinstimmt, und somit für 2×2-Matrizen definitiv gilt:

(A \cdot B) \cdot C = A \cdot \left( B \cdot C \right)

Damit haben wir unsere Behauptung bewiesen.

q.e.d.

Bemerkung: Analog dazu lässt sich auch der Beweis für 3×3-Matrizen führen


--Liberté 16:16, 22. Jan. 2013 (CET)