Protokolle vom Oktober 2012

aus ZUM-Wiki, dem Wiki für Lehr- und Lerninhalte auf ZUM.de
Wechseln zu: Navigation, Suche
Kurzinfo

Schülerbeitrag
Diese Seite enthält
Schülerbeiträge.

Bitte beachte die Hinweise für Schüler.

Inhaltsverzeichnis

Protokoll vom 01.10.2012/ Thema: Vertiefung der Strategie zur Bestimmung der Lage zweier Geraden/ Elementar geometrische Beweise

Protokoll von --Tortosa 18:57, 1. Okt. 2012 (CEST) (Schuljahr 2012 / 13)
Lehrer C.-J. Schmitt (2 Unterrichtsstunden)


Anmerkung von Herr Schmitt

Heute bekamen wir erneut einen Klapptest, diesen sollte uns ebenso als Übung für die Kursarbeit dienen. Herr Schmitt machte uns nochmal aufmerksam, dass es weitere Klapptests auf unserer Lernplattform Conseles gibt, die wir uns auch ansehen sollten. Die Kursarbeit ist gleich da, nicht vergessen!

Uns steht es frei, die Lösungen der Musterklausur auf Wiki zu stellen (Erste Musterklausur). So werden wir am Montag die bereits gelösten Aufgaben problemlos besprechen können, um mögliche Unverständlichkeiten zu klären. Es ist nicht nötig, Herr Schmitt zu fragen, welche Aufgabe man übernehmen kann, man sollte sich eine aussuchen, die noch frei steht und sich ins Zeug legen.

Ein weiterer Punkt, den Herr Schmitt angesprochen hat, bezieht sich auf die Korrektur der Protokolle. Man sollte die Komentare berücksichtigen, die man erhält und sie möglichst schnell korrigieren. Wenn die Korrektur von einem Protokoll beendet ist, müsste man Herr Schmitt mit einer E-mail informieren. Herr Schmitt trägt im Logbuch ein, wenn das Protokoll abgeschlossen ist.


Abfragung der in der letzte Stunde enwickelte Strategie zur berechnung der Lager zweier Geraden

Nach Herrn Schmitts Anmerkungen fuhren wir mit dem Unterricht fort. Wir schliessen die Hefte und wurden abgefragt. Die Aufgabe lautete, die Bedingungen für folgende Fälle zu nennen:

  • Identische Geraden

\rightarrow \quad \vec{u}, \quad \vec{v} \qquad l.a.

\rightarrow \quad \vec{u}, \quad \vec{q}-\vec{p} \qquad l.a.

  • Parallele Geraden

\rightarrow \quad \vec{u}, \quad \vec{v} \qquad l.a.

\rightarrow \quad \vec{u}, \quad \vec{q}-\vec{p} \qquad l.u.

  • Sich schneidende Geraden

\rightarrow \quad \vec{u}, \quad \vec{v} \qquad l.u.

\rightarrow \quad \vec{q}-\vec{p}, \quad \vec{u}, \quad \vec{v} \qquad l.a.

  • Windschiefe Geraden

\rightarrow \quad \vec{v} \qquad l.u.

\rightarrow \quad \vec{q}-\vec{p}, \quad \vec{u}, \quad \vec{v} \qquad l.u.


Die Frage, die entsteht ist, muss man das alles lernen?

Es ist selbstverständlich, dass man für die Arbeit möglichst gut vorbereitet sein muss, wenn man aber etwas als überflüssig sehen würde, könnten wir uns ein bisschen Arbeit ersparen.

Überprufung der formalistischen Bestimmung der gegenseitige Lage zweier Geraden

1) Identische Geraden

Würde die Bedingung \vec{u}, \quad \vec{q}-\vec{p} \qquad l.a. reichen für  g=h?

Skizze:

Tortosa Identische geraden corregido.jpg

Diese Bedingung reicht nicht, denn \vec{u} und  \vec{v} müssen auch l.a., sonst besteht die Möglichkeit, dass der Richtungsvektor einer Geraden, nicht mit dem Richtungsvektor der anderen Gerade übereinstimmt. Wie auf der Skizze der Vektor  \vec{v}, der auf eine ganz andere Geraden steht, weil sich die Geraden schneiden.

2) Parallele Geraden

Würde die Bedingung  \vec{q}-\vec{p}, \quad \vec{u} \qquad l.u. reichen für g//h ?

Auch hier brauchen wir die Zusatzbedingung, dass \vec{u} und  \vec{v} l.a. sei. Die Geraden schneiden sich also, aber die gennante Bedingung reicht uns nicht damit sie Parallel sind (Siehe Skizze).


Skizze:

Tortosa PArallele geraden corregido.jpg

3) Sich schneidende Geraden

Würde die Bedingung  \vec{q}-\vec{p}, \quad \vec{u}, \quad \vec{v} \qquad  l.a. reichen für \ g \cap h ={P} ?

Skizze:

Tortosa Schneidende geraden corregido.jpg

DIe Bedingung würde auch hier nicht reichen. Es könnte ein Fall auftauchen, wie bei der Skizze, wo es mehr als ein Schnittpunkt gäbe, somit wären die Geraden (wie in der Skizze) Identisch, aber auch hier gilt  \vec{q}-\vec{p}, \quad \vec{u}, \quad \vec{v} \qquad  l.a. , ergo reicht es nicht.

4) Windschiefe

Würde die Bedingung  \vec{q}-\vec{p}, \quad \vec{u}, \quad \vec{v} \qquad  l.u. reichen für Windschiefe?

In diesem einen Fall würde es tatsächlich genügen, da sie die andere Bedingung "\vec{u} und  \vec{v} sind l.u." schon mit enthaltet.

Hausaufgaben des 26.09.2012

S. 192:

  • Nummer 7b)

g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}+ u \cdot \begin{pmatrix} 1,5 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}

h:\vec{x}= \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+ v \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}

Schnittpunkt:  S(1| \frac{8}{3}| \frac{2}{3} )

Bild zur Veranschaulichung:

Tortosa HA 7b.jpg


  • Nummer 14c)

"Wenn die Richtungsvektoren zweier Geraden im Raum nicht zueinander Parallel sind, dann schneiden sich die Geraden."

Die Aussage ist falsch, denn diese Geraden können auch windschief sein.

  • Nummer 14d)

"Wenn sich zwei Geraden im Raum schneiden, dann sind ihre Richtungsvektoren nicht zueinander Parallel."

Diese Aussage ist Korrekt.

  • Nummer 10b)

a=5 \Rightarrow \rightarrow \quad \vec{q}-\vec{p}, \quad \vec{u}, \quad \vec{v} \qquad l.a. \RightarrowDie Geraden schneiden sich


S(-7|-5|5)

  • Nummer 11b)

a=2,5 Die Geraden sind Parallel

  • Nummer 12a)

a=0

S(5|4|-5)

  • Nummer 12b)

Die Geraden haben immer einen Schnittpunkt und der lautet

S(5|4|-5)


S. 218:

  • Nummer 1a)

E:\vec{x} =\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}+u \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}+v \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}

  • Nummer 4a)

\ A, C\ \in E

  • Nummer 4b (1) )

p=0

  • Nummer 5a

Nein, die Punkte liegen nicht auf einer gemeinsamen Ebene.

S. 230

  • Nummer 2a

P(5|9|10)

Elementare geometrische Beweise

Beispiel 1)

Tortosa Elementare Beweise.jpg


Durch die Anwendung der Vektorenrechnung und der LGS wollen wir diese Aussage beweisen.


1)Vektorenrechnung

Wir starten mit dem Basissatz:

\vec{AS}+ \vec{SB}= \vec{AB}


Die Vektoren \vec{AS} und \vec{SB} kann wiederum spalten, da sie das "x"-Fache von den Diagonalvektoren sind. Daraus ergibt sich dann:


 x\vec{AC}+ y\vec{DB}= \vec{AB}

Diiese Diagonale sind die Summenvektoren von folgenden Vektoren:

x(\vec{AB} +\vec{BC})+y (\vec{DA} +\vec{AB} )= x\vec{AB}+ x\vec{BC}+y \vec{DA} +y\vec{AB} =\vec{AB}


Somit ergibt sich dann die dargestellte Gleichung. Die müssen wir umstellen:

Wir ändern \vec{DA}=-\vec{BC}

\vec{AB}(x+y)+x \vec{BC}-y \vec{BC} =\vec{AB}

Statt den Vektor \vec{DA} schreiben wir den Gegenvektor, um auch einklammern zu können.

\vec{AB}(x+y)+ \vec{BC}(x-y) =\vec{AB}

Die erste Klammer muss 1 ergeben und die zweite 0

Wir berechnen den Wert für x und y den wir brauchen, um diese Bedungung zu erfüllen, x und y sind auch die Werte, bei denen wir 0,5 kriegen müssten, falls unsere Behauptung stimmen würde (Punkt E halbiert die Diagonalen).

2) LGS

Tortosa Beweis 01 Lgs 01.jpg

Tortosa Beweis 01 LGS 02.jpg

Es stellt sich also heraus, dass x und y =0,5 sein müssen. Unsere Behauptung stimmt also, Punkt E halbiert die Diagonalen.


Beispiel 2)

Wor haben vor, die Mittelpunkten der vier Seiten eines beliebigen, unregelmässigen Vierecks mitenander zu verbinden. Unsere Behauptung ist, das sich ein Parallelogramm bildet. Wir stellen eine Seite des regelmässigen Vierecks, durch Vektoren dar, um am Ende auf eine Vereinfachung dieses Vektores zu kommen. Damit das Viereck regelmässig ist, muss dieses Ergebnnis, mit der gegenüberliegende Seite übereinstimmen.

 \vec{M_{1}M_{4}}= \vec{M_{2}M_{3}}

Skizze:

Tortosa Unregel zu regel.jpg

Wir befolgen die selben Schritte wie im ersten Beispiel, wir schreiben eine Formel, die wir später umschreiben:

 \vec{M_{1}M_{4}}= \vec{M_{1}A} +\vec{AM_{4}} =\frac{1}{2} \vec{BA}  + \frac{1}{2}\vec{AD} = \frac{1}{2}  \cdot(\vec{BA}+ \vec{AD} )=\frac{1}{2}\vec{BD}

Wir überprüfen ob wir bei \vec{M_{2}M_{3}} auch \frac{1}{2}\vec{BD} bekommen:

 \vec{M_{2}M_{3}}= \vec{M_{2}C} +\vec{CM_{3}} =\frac{1}{2} \vec{BC}  + \frac{1}{2}\vec{CD} = \frac{1}{2}\vec{BD}

In der Tat erhalten wir ein regelmässigen Viereck. Im Unterricht gab es die Bemerkung, dass es möglicherweise eine Raute dabei entstehen könnte. Im oben dargestellten bild erhalten wir aber ein Parallelogram. Allgemein ist es keine Raute

Besprechung der Aufgabe 11b)

Herr Schmitt wollte uns die Aufgabe verdeutlichen, und zeigen weshalb er zwei Ergebnisse hatte.Wir müssen den Parameter a so bestimmen, dass sich die Geraden schneiden. Die Richtungsvektoren müssen dabei l.u. sein.

Die andere Bedingung war, das \vec{q}- \vec{p}und \vec{u}, \vec{v} zueinander l.a. sein. Wir zeigen folgendes mit den 3 Vektoren


Tortosa Aufgabe 11 01 corregiuo 2.jpg

Tortosa Aufgabe 11 02 corregio 5.jpg

Tortosa Aufgabe 11 04 5.jpg

Die Klammer soll null ergeben, damit die Vektoren l.a. sind.

Beim Einsetzen der p/q Formel in der Klammer, erhalten wir:

-12a^2 +6a+60 =0 \quad \quad  / :(-12)


a^2 -0,5a -5=0\quad \quad  / \quad   p/q-Formel


 a_{1,2}=(\frac{1}{4})^{+}_{-} \sqrt{\frac{1}{16} +5 } =(\frac{1}{4})^{+}_{-} \quad \frac{9}{4}


a_{1}=\frac{10}{4}=2,5 \rightarrow Dies ist die Lösung


a_{2}=\frac{-8}{4}=-2 \rightarrow

Damit sich die Geraden schneiden muss a=2,5

Bei a=2 sind sie jedoch Parallel.

Hausaufgaben für den 8.12.2012

  • Musterklausur
  • Seite 218: 1b, 3, 4b, 5b, 12a
  • Seite 230: 2b, c

--Tortosa 18:57, 1. Okt. 2012 (CEST)

Protokoll vom 08.10.2012/ Thema: Besprechung der Musterklausur / Letzte "Instruktionen" zur 1. Kursarbeit

Protokoll von --T.Heb. 16:32, 8. Okt. 2012 (CEST) (Schuljahr 2012 / 13)
Lehrer C.-J. Schmitt (2 Unterrichtsstunden)


Lösungen der Hausaufgaben vom 01.10.2012 für den 08.10.2012

S.218

Nr. 1b

Die Parametergleichung der 3 gegebenen Punkte erreicht man mittels der 3-Punkte-Form.
Je nach dem welchen Ortsvektor zu den gegebenen Punkten man als Stützvektor wählt, ergeben sich selbstverständlich durch die differenz des Stützvektors der ebene und des nächsten Ortsvektors unterschiedliche Parametergleichungen für die Ebene E.
Eine mögliche Lösung ist:

E:\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}


Nr. 3

Zunächst müssen wir ein möglichst geeignetes Koordinatensystem auswählen, um die Parametergleichung für die Ebene des Tuches angeben zu können.
Wir haben die hintere, linke, untere Ecke (vom Betrachter aus links neben dem Bett) als Nullpunkt gewählt, wodurch wir für die Punkte folgene Ortsvektoren erhielten:

\vec{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 3,5 \end{pmatrix}         \vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 4,5 \end{pmatrix}         \vec{c} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 2,5 \end{pmatrix}

Mit der 3-Punkte-Form für das Erstellen von Parametergleichungen von Ebenen, lautet eine Möglichkeit:

E:\vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 3,5 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -4 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \\ -1 \end{pmatrix}


Nr. 4b (2)

Ähnlich wie in Teilaufgabe Nr. 4b (1), muss wieder ein Parameter p bestimmt werden, sodass der besagte Punkt in der Ebene   E:\vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}
  liegt.
Diesmal ist der Parameter p im angegebenen Punkt allerdings nicht die x_{2} sondern die x_{1} Koordinate. Nach Auflösen der 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten, erhalten wir:

p= 3\frac{5}{9}


Nr. 5b

Um zu überprüfen, ob die ángegebenen Punkte A,B,C und D in einer Ebene liegen, erstellen wir zunächst mithilfe der 3-Punkte-Form eine Parametergleichung von 3 der 4 Punkte.
Um schlussendlich zu überprüfen ob alle Punkte auf einer Ebene liegen, machen wir eine Punktprobe für den letzten verblienen 4. Punkt in der errechneten Parametergleichung der Ebene von den anderen 3 Punkten. Nun können wir bestimmen:
A,B,C und D liegen in einer Ebene.


Nr. 12.a

Um das Verhalten von 2 Geraden zu untersuchen, haben wir eine vereinbarte Reihenfolge, wonach auch diese Aufgabe am einfachsten zu lösen ist.
Gegeben sind 2 Gleichungen bei denen gillt, zunächst zu überprüfen ob sie sich schneiden und wenn das der Fall sein sollte, eine Parametergleichung der Ebene E, in welcher beide Graden verlaufen, zu bestimmen.
Zunächst gillt es, die lineare Abhängigkeit der beiden Richtungsvektoren zu überprüfen. Da diese Linear unabhängig sind, können die Geraden sich entweder scheiden, oder zu einander windschief sein.
Anschließend muss die lineare Abhängigkeit von beiden Richtungsvektoren zu dem Differenzvektor der beiden Stützvektoren bestimmt werden. Da diese Linearkombination eine lineare Abhängigkeit dieser 3 Vektoren darlegt, schneiden sich die Geraden, und zwar im Punkt:   S(3|4|3)

Um eine Parametergleichung der Ebene E zu erstellen, in welcher die beiden Geraden liegen, brauchen wir nur 3 Vektoren: den Ortsvektor des Schnittpunktes und die beiden Richtungsvektoren der Geraden wodurch sich folgende eine Parametergleichung der Ebene E ergibt

E:\vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}


S.230

Nr.2b, c

b)

Um bestimmen zu können, ob eine Gerade in einer Ebene liegt, parallel zu ihr ist oder sie durchstößt müssen einige Vorraussetzungen abgeklärt werden.
Vom Verständnis her müssen, damit eine Gerade in einer Ebene liegt, der Zielpunkt des Stützvektors der Gerade in der Ebene liegen und ihr Richtungsvektor muss sich als Linearkombination aus den Richtungsvektoren der Spannvektoren der Ebene darstellen lassen können. (andere Möglichkeit, siehe Buch S. 229 im Kasten, unten)
Auch mit Gegenüberstellen der Gleichungen der Gerade und der Ebene sowie das Übertragen selbigens in ein LGS, lässt sich lineare Abhängigkeit bestimmen, wonach deutlich ist:
Die Gerade G liegt in der Ebene E.


c)

Die Aufgabenstellung und der Rechenvorgang von Teilaufgabe Nr.2b sind ähnlich der Teilaufgabe Nr.2c, nur dass sich hier mit hilfe des LGS eine eindeutige Lösung für die Parameter ergibt.
Nach einsetzen der eindeutigen Lösungen für die Parameter in die Ursprungsgleichungen lässt sich ein Durchstoßpunkt der Gerade G mit Ebene E bestimmen, welcher da lautet:

D (2|2|2)


Fortsetzung des Protokolls

Da wir im Unterricht unseren Schwerpunkt auf die Lösung der Musterklausur gelegt haben, werde ich mein Protokoll ergänzen, indem ich auf der Seite der Musterklausur, Musterlösungen zu den jeweiligen bearbeiteten Aufgaben erstelle. Die Musterklausur findet man hier


Hausaufgaben / Anmerkungen für den 10.10.2012

  • Da kommende Mathematikstunde (10.10.2012) unsere erste Klausur ansteht, gibt es keine "offiziellen" Hausaufgaben
  • Es wird besonders die Anwesenheitspflicht betont
  • Bezüglich der 1. Kursarbeit kommenden Mittwoch:
    • Es werden ca. 50 BE zu ergattern sein
    • Darüber hinaus können durch 2 Zusatzaufgaben noch "Extrapunkte" erreicht werden
    • HINWEIS: Auch ohne diese Zusatzaufgaben ist es möglich, die volle Punktzahl zu erreichen (niemand muss sich dazu verpflichtet fühlen diese Aufgaben anzugehen)
  • Für weiteres Üben und Vorbereiten empfehlen sich:
    • Klapptests (wie sonst auch)
    • Hausaufgaben (auch weitere Aufgaben im Buch; WICHTIG: sie sollten die selben Themengebiete beinhalten)
    • Musterklausur (diese findet man hier )

Protokoll vom 10.10.2012/ Thema: Konvertierung und Rekonvertierung der Parameterform von Geraden und Ebenen in die Koordinatenform

Protokoll von --Liberté 17:51, 10. Okt. 2012 (CEST) (Schuljahr 2012 / 13)
Lehrer C.-J. Schmitt (1 Unterrichtsstunde)

In den ersten zwei Stunden des dreistündigen Mathematikunterrichts wendeten wir uns dem ersten Leistungsnachweis zu.

Nachdem diese zwei Stunden endeten, beschäftigten wir uns zunächst mit den Epochalnoten.

Diese wird aus der mündlichen Note, welche als einzige der Noten doppelt gewertet wird, und aus weiteren vergebenen Noten wie der Note für die Hausaufgabenüberprüfung, der Protokollnoten und Noten für Leistungen im Wiki ermittelt.

Zudem wurde thematisiert, dass sich jede Schülerin und jeder Schüler gerne an der Musterlösung der ersten Klausur im Wiki beteiligen darf und dass die Protokollanten für die Zeit nach den Herbstferien schon feststehen.


Konvertierung der Parameterform einer Geraden in die Koordinatenform

Zunächst griff Herr Schmitt auf, dass wir Geraden im zweidimensionalen Bereich schon aus der Analysis kennen und diese nicht mit Hilfe von Vektoren, sondern mit Hilfe einer Gleichung formuliert haben.

Nun kennen wir aus der analytischen Geometrie auch Geraden, welche mit Hilfe von Vektoren ausgedrückt werden können.

Daher stellt sich nun die Frage, ob und wie die Parameterform einer Geradem aus der analytischen Geometrie mit Hilfe der Koordinatenform, de facto einer Gleichung ohne Vektoren, dargestellt werden kann.

Dazu betrachteten wir uns zunächst eine Gerade in Parameterform, wobei es galt, diese nun mit Hilfe einer Koordinatenform auszudrücken.

Die folgende Gerade in Parameterform wurde dazu in Betracht gezogen.

g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}

Nun setzen wir den Vektor der Geraden mit einem Vektor gleich, welcher lediglich zwei Koordinaten für die Koordinatenwerte enthält.

Zur Illustration:

\vec{x}=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}

Dies ist möglich, da wir aus dem Ausdruck für den Vektor \vec{x} einer Geraden unter Berücksichtigung des Parameters λ durch Addition einen Vektor erstellen könnten, wobei dieser einem Vektor mit zwei Parametern für die Koordinatenwerte gleichen würde.

Damit würde der x1-Parameter des Vektors der x1-Koordinate der Geraden gleichen.

Wir formulieren daher das Folgende.

g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}

Nun können wir ein lineares Gleichungssystem formulieren, in welchem die x1-Koordinaten und die x2-Koordinaten unter Berücksichtigung des Parameters λ addiert werden.

Liberté Bildschirmfoto 2012-10-10 um 22.53.51.png

Unser Ziel ist es, eine Gleichung zu erhalten, in welcher nur noch x1 und x2 als Variable einer Gleichung enthalten sind, sodass die Gleichung nur noch Parameter für die x1-Koordinate und für die x2-Koordinate beinhaltet, wobei dies analog zur Analysis wäre.

Daher sollte der Parameter λ in der neu erstellten Gleichung nicht vorhanden sein, weshalb wir die Gleichungen im linearen Gleichungssystem unter Berücksichtigung von Äquivalenzumformungen so geschickt addieren, so dass der Parameter λ bei der Addition wegfällt.

Dies wird wie folgt erreicht.

Liberté Bildschirmfoto 2012-10-10 um 23.26.21.png

Nun haben wir eine Gleichung erhalten, in welcher lediglich die Variable x1 und x2 und Zahlenwerte enthalten sind, sodass wir unsere Gerade in Parameterform nun in eine Koordinatenform umgewandelt haben.

Der grüne Rahmen soll verdeutlichen, dass genau diese Koordinatenform angestrebt wird.

Nun können wir folgendes für unsere Gerade formulieren.

g:2x_2+x_1=-1

Nach diesem Schritt lösen wir die Gleichung nach einer der beiden Variable auf.

2x_2+x_1=-1 \qquad \qquad |:2

x_2=\frac{x_1}{2}+\frac{1}{2}

Nennen wir den Variable x2 nun y und den Parameter x1 nun x, so erhalten wir den folgenden Ausdruck, welcher uns auch aus der Analysis bekannt ist,

y=\frac{x}{2}+ \frac{1}{2}

Zudem könnten wir die Gleichung auch in einer anderen, aus der Analysis bekannten Form ausdrücken.

f(x)=\frac{x}{2}+\frac{1}{2}

Nun können wir zeichnerisch überprüfen, ob die erhaltene Funktion der Geraden mit unserer Geraden in Parameterform übereinstimmt.

Dazu zeichnen wir die Gerade in Parameterform mit Hilfe eines Stützvektors und eines Richtungsvektors und die Gerade in Koordinatenform mit Hilfe eines Steigungsdreieck wie folgt in ein Koordinatensystem.

Zur Illustration:

Liberté Bildschirmfoto 2012-10-12 um 20.09.44.png

Somit erkennen wir, dass wir die Parameterform erfolgreich in die Koordinatenform umgewandelt haben.


Konvertierung der Koordinatenform einer Geraden in die Parameterform

Nun, da wir die Parameterform in die Koordinatenform umgewandelt haben, fragt sich, ob und wie die Koordinatenform in die Parameterform transferiert werden kann.

Wieder formulieren wir einen Vektor, wobei die x1-Koordinate des Vektors für die x1-Koordinate der Geraden und die x2-Koordinate des Vektors für die x2-Koordinate der Geraden stehen soll.

Diesen formulieren wir wie folgt.

\vec{x}= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}

Zuvor haben wir für die x2-Koordinate der Geraden eine Gleichung in Abhängigkeit der x1 dargestellt, welche die Folgende war.

x_2=\frac{x_1}{2}+\frac{1}{2}

Dies können wir in dem Ausdruck für den Vektor \vec{x} berücksichtigen.

\vec{x}=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ \frac{x_1}{2} + \frac{1}{2} \end{pmatrix}

Nun würden wir die Variable x1 gerne ausklammern, weshalb wir den soeben erhaltenen Vektor als Summe zweier Vektoren formulieren, sodass einer dieser Vektoren lediglich den Parameter und seine Vorfaktoren und der andere die addierten Zahlenwerte enthält.

Daher formulieren wir nun die folgende Gleichung.

 \vec{x}= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\  \frac{x_1}{2} + \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ \frac{x_1}{2} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}

Nun klammern wir die Variable x1 aus, wobei wir dadurch die folgende Gleichung formulieren können.

 \vec{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ \frac{x_1}{2} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} + x_1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}

Durch Umbenennung der Variable x1 zu dem Parameter λ erhalten wir die folgende Gleichung, wobei diese unsere Gerade ausdrückt.

g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}

Nun haben wir die Koordinatenform der Geraden g in eine Parameterform umgewandelt, wobei nun zu prüfen ist, ob diese Parameterform mit unserer anfänglichen Parameterform übereinstimmt.

Um zu überprüfen, ob zwei Geraden identisch sind, ist zunächst klarzustellen, ob die Geraden parallel sind.

Dazu überprüfen wir die lineare Abhängigkeit der Richtungsvektoren der Geraden.

\lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}

Es ist zu erkennen, dass die Richtungsvektoren linear abhängig sind, da sich durch Einsetzen der Zahl 2 für den Parameter λ die beiden Richtungsvektoren gleichen.

Somit sind die Geraden parallel, dennoch ist nun zu überprüfen, ob diese auch identisch sind.

Zwei Geraden sind identisch, wenn diese einen Punkt teilen und parallel sind, weshalb nach der Feststellung der Parallelität überprüfen können, ob der Stützvektor der anfänglichen Parameterform der Geraden ein Vektor auf unserer soeben ermittelten Parameterform der Geraden ist.

Dies wird wie folgt ausgeführt.

\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}

Nun verwenden wir Äquivalenzumformungen, um die Gleichung zu lösen.

\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} \qquad \qquad | - \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 3 \\ \frac{3}{2} \end{pmatrix} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}

Hierbei ist klar zu erkennen, dass der Vektor auf der rechten Seite der Gleichung mit dem Vektor auf der linken Seite der Gleichung übereinstimmt, sofern der Parameter λ den Zahlenwert 3 annimmt.

Somit sind die beiden Ausdrücke für die Gerade g identisch, womit wir nachgewiesen haben, dass wir die Koordinatenform der Geraden erfolgreich in die Parameterform konvertiert haben.


Konvertierung der Parameterform einer Ebene in die Koordinatenform

Nachdem wir die Parameterform einer Geraden im zweidimensionalen Bereich erfolgreich in die Koordinatenform umgewandelt haben, versuchen wir nun analog zu dem vorherigen Verfahren die Parameterform einer Ebene in die Koordinatenform transformieren.

Die Parameterform der Ebene, welche im Folgenden in die Koordinatenform umgewandelt werden soll, ist die Folgende.

E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}

Diese Ebene können wir nun mit Hilfe einer Grafik im ersten Oktanten darstellen.

Liberté Bildschirmfoto 2012-10-11 um 20.32.43.jpg

Nun setzen wir diese Ebene mit einem Vektor gleich.

Dabei gleicht ein Parameter des Vektors für einen Koordinatenwert der jeweiligen Koordinate der Geraden.

Wir formulieren daher das Folgende.

 E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}

Nun können wir ein lineares Gleichungssystem aufstellen, wobei durch Additionen und Äquivalenzumformungen eine Gleichung erhalten möchten, welche die Parameter der Parameterform der Geraden nicht beinhalten.

Liberté Bildschirmfoto 2012-10-11 um 20.22.50.png

Berücksichtigen wir die zweite und die dritte Gleichung in der ersten Gleichung des linearen Gleichungssystems, so erhalten wir den folgenden Ausdruck in Koordinatenform für die Ebene.

E: x_1= x_2 + x_3

Formen wir die Gleichung so um, dass die Parameter auf einer Seite der Gleichung stehen, so können wir die Ebene wie folgt beschreiben.

E: x_1-x_2-x_3=0

Somit haben wir die Parameterform der Ebene in eine Koordinatenform umgewandelt.


Konvertierung der Koordinatenform einer Ebene in die Parameterform

Nachdem uns die Konvertierung der Parameterform einer Ebene in die Koordinatenform gelungen ist, wollten wir diese Koordinatenform wiederum in die Parameterform transformieren.

Auch hier gingen wir analog zu unserem vorherigen Verfahren zur Transformierung der Koordinatenform einer Gerade in die Parameterform vor.

Zunächst formulieren wir einen Vektor, dessen x1-Koordinate für die x1-Koordinate der Ebene, dessen x2-Koordinate für die x2-Koordinate der Ebene und dessen x3-Koordinate für die x3-Koordinate stehen soll.

Dazu formulieren wir den folgenden Vektor.

\vec{x}= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}

Durch die Koordinatenform der Ebene kennen wir die folgende Beziehung zwischen den Parametern für die Koordinatenwerte der Ebene.

x_1=x_2+x_3

Diese Gleichung berücksichtigen wir nun in unserem Ausdruck für den Vektor  \vec{x} .

Dadurch können wir das Folgende formulieren.

\vec{x}= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_2+x_3 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}

Nun können wir den Vektor als Summe zweier Vektoren darstellen, wobei ein Vektor lediglich x2-Variable und ein Vektor lediglich x3-Parameter enthalten soll.

Dadurch entsteht die folgende Gleichung.

\vec{x}=\begin{pmatrix} x_2 \\ x_2 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_3 \\ 0 \\ x_3 \end{pmatrix}

Nun können wir die jeweiligen Variablen ausklammern.

\vec{x}=\begin{pmatrix} x_2 \\ x_2 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_3 \\ 0 \\ x_3 \end{pmatrix} = x_2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} + x_3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}

Durch Umbenennung der Variable x2 in den Parameter r und durch Umbenennung des Parameters x3 in den Parameter s erhalten wir folgere Gleichung, welche auch unserer ursprünglichen Parameterform für die Ebene E gleicht.

E: \vec{x}= r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}


Aus zeitlichen Gründen wurde nur kurz angemerkt, dass es auch möglich wäre, dass man eine Gleichung erhält, bei welcher lediglich einer der Spannvektoren der erhaltenen Parameterform identisch mit den Spannvektoren der anfänglichen Parameterform der Ebene wäre.

Dies wäre der Fall, wenn wir nicht den x1-Parameter durch einen anderen Ausdruck, sondern den x2-Parameter durch einen anderen Ausdruck in dem Vektor  \vec{x} ersetzt hätten.

Wir haben für den Vektor  \vec{x} das Folgende definiert.

\vec{x}= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}

Nun haben wir zuvor die folgende Gleichung ermittelt, welche wir nun nach der Variable x2 auflösen werden.

x_1=x_2 + x_3 \qquad \qquad | -x_3

x_2=x_1 - x_3

Nun berücksichtigen wir dies in dem Vektor \vec{x}.

\vec{x}=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_1 - x_3 \\ x_3 \end{pmatrix}

Nach diesem Schritt können wir den Vektor als Summe zweier Vektoren darstellen, wobei ein Vektor lediglich x1-Variablen und ein Vektor lediglich x3-Variablen enthalten soll.

\vec{x}=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_1 - x_3 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ -x_3 \\ x_3 \end{pmatrix}

Nun klammern wir die jeweiligen Parameter aus.

\vec{x} = x_1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + x_3 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}

Durch Umbenennung des Variable x2 in den Parameter r und durch Umbenennung des Parameters x3 in den Parameter s erhalten wir folgere Gleichung, welche unsere Ebene ausdrücken sollte.

g: \vec{x} = r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}

Nun, da ein Spannvektor mit den Spannvektoren der anfänglichen Parameterform der Ebene nicht übereinstimmt, gilt es zu überprüfen, ob dieser durch die Spannvektoren der ursprünglichen Parameterform der Ebenen darstellbar ist, sodass die ermittelte Ebene mit unserer anfänglichen Ebene übereinstimmt.

Dies überprüfen wir im Folgenden.

\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}=r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}

Hierbei ist zu erkennen, dass die Vektoren linear abhängig sind, da durch das Einsetzen des Wertes -1 für den Parameter r und des Wertes 1 für den Parameter s die rechte Seite der Gleichung der linken Seite gleich ist..

Damit sind die Ebenen parallel, aber auch identisch, da beide den Nullpunkt in ihrer Punktmenge beinhalten und daher identisch sein müssen.


Unmöglichkeit der Konvertierung einer Parameterform einer Geraden im dreidimensionalen Bereich in eine Koordinatenform

Zusätzlich ist es von Bedeutung zu erwähnen, dass lediglich die Parameterform von Geraden in einem zweidimensionalen System in die Koordinatenform transferiert werden kann, während es nicht möglich ist, die Parameterform einer Geraden im dreidimensionalen Bereich in eine Koordinatenform umzuwandeln.

Würde man versuchen, eine Gerade in einem dreidimensionalen Koordinatensystem von der Parameterform in eine Koordinatenform zu transformieren, so würde man ein lineares Gleichungsssystem mit 4 Parametern, wobei einer aus der Parameterform entstammt, und drei Gleichungen erhalten.

Es existiert nun die Möglichkeit, dass man die ersten zwei Gleichungen addiert, ohne das ein Parameter wegfällt und diese neu erstellte Gleichung könnte man nun mit der dritten Gleichung des linearen Gleichungssystems unter Anwendung von Äquivalenzumformungen so addiert, dass der aus der Parameterform stammende Parameter bei der Addition wegfällt, sodass eine Gleichung mit drei Parametern erstellt werden würde, welche vermeintlich unsere Gerade in einer Koordinatenform darstellen würde.

Man würde allgemein die folgende Form erhalten.

ax_1+bx_2+cx_3=d

Wir erkennen schon hier, dass dies eine Gleichung für eine Ebene ist, sodass mit Hilfe einer solchen Gleichung eine Gerade nicht ausgedrückt werden kann.

Zudem könnte durch das Gauß-Verfahren aus dem linearen Gleichungssystem mit drei Zeilen und vier Unbekannten eine Gleichung mit lediglich zwei Parametern erstellt werden, welche jedoch keine Gerade im dreidimensionalen Bereich darstellen könnte.


Lagebeziehung dreier Ebenen

Des Weiteren wurde im Unterricht thematisiert, wie sich drei Ebenen zueinander verhalten können.

Haben wir eine Ebene in Koordinatenform gegeben, so liegt uns eine Gleichung mit drei diversen Variablen vor und auch nur eine Zeile für ein lineares Gleichungssystem.

Liegen uns jedoch drei Ebenen in Koordinatenform vor, so können wir ein lineares Gleichungssystem mit drei Zeilen und drei Unbekannten aufstellen und mit Hilfe dessen die Lagebeziehung dreier Ebenen untersuchen.

Im Unterricht haben wir uns überlegt, durch welche Lösungen nach Anwendung des Gauß-Verfahrens auf welche Lagebeziehungen geschlossen werden kann.

Ergibt sich lediglich eine Lösung für jeweils eine Koordinate, so können wir aussagen, dass alle Ebenen einen Punkt teilen und sich somit in einem Punkt schneiden.

Erhalten wir keine Lösung, so sind die Ebenen, zumindest zwei der drei Ebenen, parallel zueinander oder schneiden sich alle an entlang diversen Geraden, sodass sich die drei Geraden in der Gesamtheit nicht an einem Punkt schneiden.

Erhalten wir unendlich viele Lösungen, so schneiden sich die Ebenen in einer unendlichen Anzahl von Punkten.

Dies ist der Fall, wenn die Ebenen identisch sind oder sich entlang einer Geraden schneiden, welche aus einer unendlichen Anzahl von Punkten besteht.

Um die einzelnen Möglichkeiten der Lagebeziehungen zu illustrieren, wird im folgenden Verlauf jeweils ein Beispiel zu den diversen Fällen dargestellt.


Eine Lösung nach dem Anwenden des Gauß-Verfahrens

Als erstes Beispiel zur Illustration der Lagebeziehung bei einer Lösung nach dem Anwenden des Gauß-Verfahrens sollen die folgenden drei Ebenen dienen.

E:x_1 -2x_2+ 3x_3= 0

F:3x_1+ 4x_2 -2x_3= 9

G:2x_1-x_2 +5x_3= 5

Um die Lagebeziehung der drei Ebenen zu bestimmen, verwenden wir ein lineares Gleichungssystem und wenden das Gauß-Verfahren an.

Liberté Bildschirmfoto 2012-10-12 um 00.48.58.png

Liberté Bildschirmfoto 2012-10-12 um 00.56.23.png

Nun haben wir ermittelt, dass eine Lösung existiert und somit ein Schnittpunkt, welchen alle drei Ebenen als Punktmengen beinhalten.

Zur Illustration:

Liberté Bildschirmfoto 2012-10-12 um 00.40.22.jpg

Es ist zu erkennen, dass sich die drei Ebenen an einem Punkt schneiden, wodurch unser Ergebnis bestätigt ist.


Keine Lösung nach dem Anwenden des Gauß-Verfahrens


Erstes Beispiel

Nun wenden wir uns einem Beispiel zu, bei welchem die Lagebeziehung der folgenden drei Ebenen untersucht wird.

E:-x_1+x_2+x_3=1

F:-16x_1+16x_2+16x_3=64

G:-64x_1+64x_2+64x_3=512

Um zu untersuchen, welche Lagebeziehung zwischen den Ebenen existiert, formulieren wir das folgende lineare Gleichungssystem und wenden das Gauß-Verfahren an.

Liberté Bildschirmfoto 2012-10-12 um 14.19.10.png

Wir erkennen, dass unsere Lösungsmenge die leere Menge ist, weshalb kein Wert für eine Variable gefunden werden konnte, wodurch ausgesagt werden kann, dass sich die Ebenen in keinem Punkt schneiden.

Erstellen wir eine Grafik, welche die Ebenen in einem dreidimensionalen Koordinatensystem darstellt, so erkennen wir, dass alle drei Ebenen parallel zueinander sind.

Zur Illustration:

Liberté Bildschirmfoto 2012-10-12 um 14.27.01.jpg


Zweites Beispiel

Bei diesem Beispiel sollen die folgenden Ebenen auf ihre Lagebeziehung untersucht werden.

E:x_1 -3x_2+ 2x_3= 2

F: 3x_2 -2x_3= 1

G:-6x_2+ 4x_3= 3

Um zu untersuchen, welche Lagebeziehung zwischen den Ebenen vorliegt, haben wir das folgende lineare Gleichungssystem formuliert und das Gauß-Verfahren angewandt.

Liberté Bildschirmfoto 2012-10-12 um 12.36.26.png

Nun, da unsere Lösungsmenge die leere Menge ist und da wir keine Werte für die Koordinaten der Schnittpunkte erhalten haben, liegen keine Schnittpunkte vor, weshalb die Ebenen, zumindest zwei der drei Ebenen, parallel zueinander sind oder sich in der Gesamtheit nicht an einem Punkt schneiden und auch nicht parallel sind.

Visualisieren wir die Ebenen, so erkennen wir, dass die blau und rot eingezeichneten Ebenen F und G parallel zueinander sind, während die gelb markierte Ebene E die beiden Ebenen jeweils entlang einer Geraden schneidet.

Zur Illustration:

Liberté Bildschirmfoto 2012-10-12 um 00.36.52.jpg



Drittes Beispiel

Hierbei werden die folgenden drei Ebenen untersucht.

Dabei soll dieses Beispiel verdeutlichen, dass auch keine parallelen Ebenen vorliegen können, wenn wir eine leere Lösungsmenge erhalten.

E:x_1 -3x_2+ 2x_3= -2

F:x_1+ 3x_2 -2x_3= 5

G: -6x_2+ 4x_3= 3

Auch hierbei wenden wir ein lineares Gleichungssystem an.

Liberté Bildschirmfoto 2012-10-12 um 11.50.29.png

Auch hierbei erhalten wir eine leere Lösungsmenge, weshalb die drei Ebenen als Punktmengen keinen Punkt teilen und somit keine gemeinsamen Schnittpunkte haben.

Dennoch ist keine der drei Ebenen parallel zur anderen Ebene, wie im Folgenden dargestellt wird.

Zur Illustration:

Liberté Bildschirmfoto 2012-10-12 um 00.24.37.jpg



Unendliche Anzahl von Lösungen nach dem Anwenden des Gauß-Verfahrens


Erstes Beispiel

Nun untersuchen wir die folgenden drei Ebenen auf ihre Lagebeziehungen.

E:3x_1+ 3x_2 -2x_3= 18

F:x_1+ 3x_2 -2x_3= 5

G: -6x_2+ 4x_3= 3

Dabei verwenden wir erneut lineare Gleichungssysteme und das Gauß-Verfahren.

Liberté Bildschirmfoto 2012-10-12 um 13.04.12.png

Nun können wir folglich für den Parameter x3 eine unendliche Anzahl von Werten bestimmen, bei denen die letzte Gleichung stimmt.

Daher existiert eine unendliche Anzahl von Lösungen, weshalb die Geraden identisch sind oder sich entlang einer Geraden schneiden.

Mit Hilfe einer Grafik, welche die drei Ebenen in einem dreidimensionalen Koordinatensystem darstellt, können wir erkennen, dass sich die Ebenen entlang einer Geraden schneiden.

Zur Illustration:

Liberté Bildschirmfoto 2012-10-12 um 13.10.54.jpg



Zweites Beispiel

Im letztes Beispiel betrachten wir uns die folgenden drei Ebenen.

E:3x_1 -x_2 -x_3= 1

F:12x_1-4x_2-4x_3= 4

G:27x_1 -9x_2 -9x_3= 9

Dabei gehen wir analog zu den vorherigen Beispielen vor.

Liberté Bildschirmfoto 2012-10-12 um 13.43.59.png

Auch hierbei existiert eine unendliche Anzahl von Schnittpunkten zwischen den drei Ebenen, weshalb diese identisch sein können oder sich entlang einer Geraden schneiden.

Erstellen wir eine Grafik, welche die drei Ebenen in einem dreidimensionalen Koordinatensystem darstellt, so wird deutlich, dass die drei Ebenen identisch sind.

Zur Illustration:

Liberté Bildschirmfoto 2012-10-12 um 14.22.43.jpg


--Liberté 14:40, 12. Okt. 2012 (CEST)


Protokoll vom 29.10.2012/ Thema: Konvertierung und Rekonvertierung der Parameterform von Ebenen in die Koordinatenform

Protokoll von --Aikawa 20:06, 29. Okt. 2012 (CEST) (Schuljahr 2012 / 13)
Lehrer C.-J. Schmitt (2 Unterrichtsstunden)

Zu Beginn der Stunden gab es ein paar Anmerkungen von Herrn Schmitt:

1) Die Musterlösung des 1.LN wurde von unserem Ferienteam bearbeitet und steht in Wiki bereit.

2)Die erste Abituraufgabe steht in Wiki bereit. Damit auch jeder was davon hat, sollen wir erst mal selber versuchen, diese zu lösen und uns nicht gleich mit einem Lösungsvorschlag eines anderen zufrieden geben, denn es gibt ja keinen einzigen Lösungsweg eine Aufgabe zu lösen.


Wiederholung (PF zu KF)

Nach 2 Wochen Ferien haben wir uns erst mal mit einer Musteraufgabe des vorherigen Themas befasst. Dabei konvertieren wir die Parameterform einer Ebene in die Koordinatenform:

E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} +\lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}

Wir versuchen mit unserem LGS nun die Parameter \lambda und \mu mit den Koordinaten x_1;x_2;x_3 zu ersetzen:

LGS PF KF.png

LGS PF KF2.png

Da wir unser \mu schon gleich herrausbekommen haben, können wir gleich eine Gleichung für \lambda erstellen und können dann beide Parameter ersetzen.Daraus ergibt sich folgende Koordinatenform:

E:x_3 - x_2 +3= x_1

Besser dargestellt:

E:x_1 +x_2 - x_3=3


Rezept

Nun haben wir ein Rezept bekommen, womit wir formal die Parameterform in die Koordinatenform konvertieren können:


1)E:\vec{x}=\vec{p}+\lambda\vec{u}+\mu\vec{v}

2) \vec{x}=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}

3) LGS 3x3 erstellen.

4)\lambda und \mu aus 2 Gleichungen bestimmen.

5)In die 3.Gleichung jeweils \lambda und \mu einsetzen, damit wir nur noch unsere Koordinaten x_1, x_2, x_3, stehen haben.

6)Variable auf eine Seite (ggT)



Wiederholung 2 (KF zu PF)

Nun versuchen wir, aus unserer erstellten Koordinatenform der Ebene wieder diese in die Parameterform zu konvertieren.

E:x_1+x_2-x_3=3

\vec{x}=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3-x_2+x_3 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}

\vec{x}= \begin{pmatrix}3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-x_2 \\ x_2 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}x_3 \\ 0 \\ x_3 \end{pmatrix}

Nun ziehen wir x_2 und x_3 vor die Klammer:

\vec{x}= \begin{pmatrix}3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}  +x_2\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} +x_3 \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}

Diese ersetzen wir nun mit unseren Parametern \lambda und \mu:

E_1:\vec{x}= \begin{pmatrix}3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}  +\lambda\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} +\mu \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}

Diese Gleichung muss jetzt unserer ursprünglich gegebenen Gleichung: E:\vec{x}= \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}  +\lambda\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} +\mu \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}
entsprechen.
Dazu müssen folgende Kriterien erfüllt werden :

1) Die Ebenen müssen parallel sein, d.h. die Spannvektoren müssen l.a. sein.
2) Der Stützvektor einer Ebene muss \vec{x} der anderen Ebene sein.

Durch diese können wir die beiden Ebenen als identisch beweisen.

Schritt1:
Wir nehmen folgende Spannvektoren und überprüfen, ob diese linear abhängig sind: \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}  ;\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} ;\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}

x\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}  +y\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} +z\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\vec{0}

Nun erstellen wir ein LGS:

LGS KF PF.png

Da wir für z jede Zahl einsetzen können ist die lineare Abhängigkeit bewiesen. Somit sind E_1 und E schon mal parallel zueinander.

\Rightarrow E_1||E

Schritt 2:

Nun muss der Stützvektor \begin{pmatrix}3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \vec{x} von E sein:

P(3|0|0)\epsilon   E

\begin{pmatrix}3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}  +\lambda\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} +\mu \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}

Nun bilden wir wieder ein LGS:

LGS KF PF2.png

Da die Werte der ersten Gleichungen für die 3. Gleichung passen, sind die Ebenen auch identisch und wir haben beide Kriterien erfüllt.

\Rightarrow E_1=E




Weitere Aufgaben


Parameterform zu Koordinatenform

Unsere nächste Ebenengleichung zum Konvertieren lautet:

E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} +\lambda \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}


Hierzu fanden wir 2 verschiedene Lösungswege.

Der erste ist relativ kurz und knapp, da uns passende Gleichungen schon gegeben sind:

LGS PF KF3.png

Wie wir sehen, haben wir einen Glückstreffer erzielt, wodurch wir schon unsere Koordinatenform haben:

E:-2x_1+x_2=0

Aus dieser Gleichung können wir auch 3 Merkmale erkennen:

1)Die Ebene läuft durch den Ursprung(Ursprungsgerade in x_1 x_2 - Ebene).

2)x_3 ist nicht in der Gleichung vorhanden, dass heißt es kann einen beliebigen Wert haben.

3)Die Ebene verläuft senkrecht zur x_1;x_2Ebene.

Skizze:

135162367385620852.jpg


Doch da wir nicht immer Glück haben, haben wir als Alternative einen zweiten Lösungsweg erstellt.
Wir beginnen wie beim ersten Vorschlag mit einem LGS.Dabei haben wir die 2. und 3. Zeile vertauscht, da wir die 3. leichter umformen können:


LGS PF KF4.png


Nun fassen wir die erste Gleichung zusammen und wir haben unsere Koordinatenform:

E:0,5x_2-x_1=0

E:x_1-0,5x_2=0


Koordinatenform zu Parameterform

Nun bringen wir diese Koordinatenform wieder in die Parameterform zurück.

\vec{x}=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}


\vec{x}=\begin{pmatrix}x_1 \\ 2x_1 \\ x_3 \end{pmatrix}

\vec{x}=\vec{0}+\begin{pmatrix}x_1 \\ 2x_1 \\ 0 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ x_3 \end{pmatrix}

E_1:\vec{x}=\vec{0}+\lambda \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} +\mu\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}

Unsere ursprüngliche Gleichung lautet:

E:\vec{x}=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix}2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} +\mu\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}


Nun gehen wir wieder unsere 2 Kriterien durch.

Schritt1:

Diesmal überprüfen wir 4 Vektoren auf Ihre lineare Abhängigkeit.Wir haben gelernt, dass in einen Raum nur bis zu 3 Vektoren linear unabhängig sein können.Somit müssen diese linear abhängig sein.

Dies überprüfen wir aber nochmal rechnerisch. Wir nehmen dabei folgende Spannvektoren:

1) \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} ;\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}

2) \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} ;\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}


1)

LGS KF PF3.png

Hier wäre die lineare Abhängigkeit schon mal bewiesen.

2)

LGS KF PF4.png

Hier haben wir den selben Fall, somit sind die Ebenen parallel zueinander.

\Rightarrow E||E_1


Schritt2:

Nun versuchen wir den Nullvektor in der ursprünglichen Gleichung darzustellen.

\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix}2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} +\mu\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}

LGS KF PF5.png

Der Nullvektor ist \vec{x} der Ebene, somit sind beide Ebenen identisch.

0(0|0|0)\epsilon E \Rightarrow E=E_1



Lagebeziehung dreier Ebenen

Zum Schluss haben wir 3 Ebenengleichungen in einer Koordinatenform überprüft.

Lagebeziehung.png

Das LGS hat unendlich viele Lösungen. Daraus folgt, dass alle 3 identisch sind.


Nun haben wir diese Gleichung in die Parameterform konvertiert.

\vec{x}=\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}

\vec{x}=\begin{pmatrix}-x_2+0,75x_3 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}

E:\vec{x}=\vec{0}+\lambda \begin{pmatrix}-0,5 \\ 1\\ 0 \end{pmatrix} +\mu\begin{pmatrix} 0,75 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}

Zuletzt noch eine Skizze dazu :

135163244191520854.jpg


Hausaufgaben für den 31.10.2012

Konvertierung und Rekonvertierung der Parameterform/Koordinatenform von folgenden Ebenen in die Koordinatenform/Parameterform:

E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} -\lambda \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}

E:3x_1 -x_2+ 7x_3= 12

Protokoll vom 31.10.2012/ Thema: Besondere Ebenen in KF erkennen, drei Punkte Koordinatenform, Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen

Protokoll von --Pythago24 21:13, 31. Okt. 2012 (CET) (Schuljahr 2012 / 13)
Lehrer C.-J. Schmitt (3 Unterrichtsstunden)

Hausaufgaben vom 29.10.12

Koordinatenform \rightarrow Parameterform

Hier die Ausführung einer der Hausaufgaben auf Wunsch der Klasse.

E:3x_{1} -x_{2} +7x_{3} =12

x_{2} =3x_{1} +7x_{3} 12

\vec{x}=\begin{pmatrix} x_{1}  \\ 3x_{1}+7x_{3}-12   \\ x_{3}  \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} 0 \\ -12 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} +\mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}

E:\vec{x}=   \begin{pmatrix} 0 \\ -12 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} +\mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}


Parameterform \rightarrow Koordinatenform

E:\vec{x} =\begin{pmatrix} 0 \\ -12 \\ 0 \end{pmatrix} +\lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{1}  \\ x_{2}  \\ x_{3}  \end{pmatrix}


Pythago24 LGS7.png


E_{1}: 3x_{1} -x_{2}+ 7x_{3} =12

E_{1}=E

Pythago24 3D5.png


2. HA

Parameterform:

E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} -\lambda \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}

Koordinatenform:

E:29x_{1} +x_{2} -9x_{3} =51


Ebenen in Koordinatenform

Im Unterricht besprachen wir einige Grundlagen, die für Ebenen gelten.

wenn wir eine zweidimensionales Koordinatensystem haben, in der uns nur die Information "x=7" gegeben ist, aber y nicht gegeben ist, ist alles möglich für y.

Pythago24 2D1.png


Wir haben ebenfalls 2 Beispiele für Ebenen in Koordinatenform besprochen

-2x_{1}+x_{2}=0\qquad> \rightarrow der Graph ist eine geht durch den Ursprung in der x_{1}\qquad x_{2}-Ebene

-2x_{1}+x_{2}+ 0\cdot x_{3}=0

Pythago24 3D2.png



x_{1}+2x_{2}=6 \rightarrow senkrecht zur x_{1}; x_{2} Ebene / x_{3} beliebig

E: x_{1}+2x_{2}=6

x_{2}= \frac{x_{1}}{2}-3


Pythago24 3D1.png

Ansicht auf die x_{1}\qquad x_{2}-Ebene Pythago24 3D9.png

Der Graph verläuft am Ursprung vorbei und ist senkrecht zur x_{1}\qquad x_{2}-Ebene.



E: x_{2} = 7

E: 0\cdot x_{1}+ x_{2}+ 0\cdot x_{3} = 7

Hier sind x_{1} und x_{3} beliebig.

Die Ebene ist parallel zur x_{1}x_{3} und senkrecht zur x_{1}x_{2} Ebene

Pythago24 3D3.png



Drei Punkte Koordinatenform

Die Methoden, die wir bisher kennen würden von uns verlangen, dass wenn wir Punkte in eine Ebene in der Koordinatenform umformen wollen, zuerst die Parameterform verwenden und danach diese konvertieren müssten. Doch kann man Punkt direkt in die Koordinatenform setzen?

A(1|2|-1); B(6|-5|11); C(3|2|0) unsere Punkte

ax_{1} +bx_{2}+cx_{3}  =d die Formel für die Koordinatenform

Wir haben 4 unbekannte. Nun setzten wir für die Variablen die einzelnen Koordinaten ein.

Pythago24 LGS9.png

In den ersten beiden Zeilen multiplizieren wir mit 11, da wir 11c nicht in der 2 Zeile benötigen und das, entgegen der Dreicksform, der beste und schnellste Weg ist, den wir bisher kennen.


Alexanders Methode:

Achtung! Bei dieser Methode handelt es sich nicht um eine triviale Lösung. Sie ist nur in diesem speziellen Fall anwendbar.

Hier die Überlegung:

Jeanneaux Bildschirmfoto 2012-11-08 um 20.49.36.png

Betrachtet man sich beide Gleichungen, erkennt man, dass c =-2a ergeben muss, da sie sich sonst widersprechen würden:

Dieses c kann man dann in das Lgs einfügen, statt wie normal, mit dem c weiterzurrechnen:


Jeanneaux Bildschirmfoto 2012-11-13 um 16.39.33.png


Nun können wir wie gewohnt, a in die anderen Gleichungen einfügen, dabei kommen folgende Werte für a und b heraus:


Jeanneaux Bildschirmfoto 2012-11-13 um 16.54.14.png


da wir am Anfang festgestellt hatten, dass c=-2c ergibt, können wir dies nun einsetzen:

c= -\frac{7}{17}d \cdot -\frac{7}{17} d=\frac{14}{17} d

Wie erhalten die selben Werte für die Variablen a,b und c, daher funktioniert in diesem Fall auch diese Methode.

Wir sehen, wir gewinnen nicht viel Zeit mit meiner Methode, allerdings war es auch nur eine kleine Überlegung am Rande.

--Jeanneaux 21:10, 8. Nov. 2012 (CET)


-\frac{7}{17}dx_{1}+\frac{19}{17}dx_{2}+ \frac{14}{17}dx_{3}= d \qquad| \cdot(-\frac{17}{d})

E:7x_{1}-19x_{2}-14x_{3} =-17

wir dürfen nur durch d teilen, wenn d \neq 0 ist.



Probe über 3.Punkte in der Parameterform

A(1|2|-1); B(6|-5|11); C(3|2|0)

\vec{a} =\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}

Wir einigten uns darauf Punkt A als Stützvektor zu wählen.

E:\vec{x} =\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 5 \\ -7 \\ 12 \end{pmatrix}+ \mu \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2}  \\ x_{3}  \end{pmatrix}

Pythago24 LGS81.png

-\frac{5}{7}x_{2}+\frac{10}{7}+2x_{3}+\frac{24}{7}x_{2}-\frac{34}{7}-x_{1}=-1\qquad |\cdot 7

-5x_{2}+14x_{3}+24x_{2}-24-7x_{1}=-7\qquad |+24

-7x_{1} +19x_{2} +14x_{3} =17


E:7x_{1}- 19x_{2} -14x_{3} =-17




Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen

Wir unterscheiden auch bei der Lagebeziehung von einem Graphen und einer Ebene in Fällen. Hier haben wir 3 Fälle. Die Geraden und Ebenen können sich schneiden, parallel und identisch sein. Sie können jedoch nicht windschief zueinander sein, da Ebenen nie windschief sein können. Wenn der Graph und die Ebene nicht parallel zueinander sind, dann schneiden sie sich in jedem Fall.

Auch hier haben wir wie schon bei den Lagebeziehung zweier Geraden die Bedingung für die Falleinordnung zusammengefasst. Doch hierbei handelt es sich um die Lagebeziehung von einer Gerade zu einer Ebene. Hier gelten auch wieder bestimmte Bedinungen, die erfüllt werden müssen.

Gerade

g:\vec{x} =\vec{p} +r\cdot \vec{u}


Ebene

E:\vec{x} =\vec{q} +\lambda\cdot \vec{v} +\mu \cdot \vec{w}



1.

Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): \ g \cap E= \{P}

 Die Gerade schneidet die Ebene in einem (Durchstoß-)Punkt.

\vec{u}; \vec{v}; \vec{w} \qquad lu. Der Richtungsvektor der Gerade und die Spannvektoren der Ebene sind linear unabhängig.

Dann schneidet die Gerade die Ebene.


2.

g \subseteq E

Pythago24 Bild Lagebeziehung.png

Damit die Gerade und die Ebene identisch sind müssen

a)

\vec{u}; \vec{v}; \vec{w} \qquad la. und

der Richtungsvektor die 2 Spannvektoren linear abhängig sein.

b)

\vec{p}- \vec{q}; \vec{v}; \vec{w} \qquad la.

die Differnz der beiden Stützvektoren und die beiden Spannvektoren linear abhängig sein.


3.

g || E

Damit Gerade und Ebene nur parallel sind zueinander müssen folgende Bedingungen erfüllt werden.

a)

\vec{u}; \vec{v}; \vec{w} \qquad la.

Der Richtungs- und die Spannvektoren müssen linear abhängig sein.

b)

\vec{p}- \vec{q}; \vec{v}; \vec{w} \qquad lu.

Die Differnz der beiden Stützvektoren und die beiden Spannvektoren müssen linear unabhängig sein.


Beispiel:

a)

g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}

E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} +\mu \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}


x \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} +y\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} +z\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}=\vec{0}

Pythago24 LGS2.5.png


\Rightarrow la.


Der Richtungs- und die Spannvektoren sind linear abhängig.

Die Alternative wäre eine vorzeitige Erkenntnis das die Vektoren linear abhängig sind durch den vergleich von \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} und \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}, was impliziert das alle 3 linear abhängig sind.


b)

x\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} +y\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} +z\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} =\vec{0}


Pythago24 LGS§3.png


\Rightarrow lu.

g||E


Die Differnz der beiden Stützvektoren und die beiden Spannvektoren sind linear unabhängig während der Richtungs- und die Spannvektoren linear abhängig sind folglich ist der Graph ist Parallel zur Ebene.

Pythago24 3D6.png




g:\vec{x} =\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} -1 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix}

E:\vec{x} =\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}

E:\vec{x} =x\begin{pmatrix} -1 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix} +y\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} +z\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} =\vec{0}


Pythago24 LGS6.png


\Rightarrow la.

Der Richtungs- und die Spannverktoren sind linear abhängig.



\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}= p-q


x\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} +y\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} +z\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} =\vec{0}


Pythago24 LGS5.png


\Rightarrow la.


g \subseteq E

Die Differenz der Stützvektoren und die Spannvektoren sind linear abhängig also ist die Schnittmenge eine Untermenge der Ebene.

Pythago24 3D7.png



Gemeinsame Punkte von Geraden und Ebenen bestimmen

Bu.S.230 Nr 1a ,1d,1e

g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix} +r\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x_{1}  \\ x_{2}  \\ x_{3}  \end{pmatrix}


E: \vec{x} =2x_{1} +4x_{2} +6x_{3} =16

Wir ersetzten die Variablen der Ebene durch die entsprechenden Koordinaten des Graphen. x_{1} wird durch die x_{1}-Koordinaten des Graphen ersetzt. Dann Formen wir nach r bzw. dem benötigten Koeffizienten um, sodass wir wissen welchen Koeffizienten der Graph braucht, damit er die Ebene schneidet. Wenn eine leere Menge als Ergebnis herrauskommt, gibt es keinen Schnittpunkt was in diesem Fall bedeutet, dass der Graph parallel zur Ebene ist. Wenn unendliche viele Ergebnisse für r rauskommen ist der Graph eine Untermenge der Ebene.


x_{1}=4+r

x_{2}=6+2r

x_{3}=2+3r


8+2r+24+8r+12+18r=16

28r +44 =16

28r = -28

r=-1

\vec{s}= \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix}  -\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}

S(3|4|-1)



1d)

E:3x_{1} -x_{3} =10


x_{1}= 4+t

x_{2}=0

x_{3}=2+3t


12+3t-2-3t=10

10=10

0=0


g \subseteq E



1e)

E:3x_{1} -x_{3} =12


x_{1}= 4+t

x_{2}=0

x_{3}=2+3t


3(4+r)-(2+3r)=12

12+3r-2-3r=12\qquad |-12+2

0\neq 2


L=\{\qquad \}


falsch also:

g ||E



Im letzten Teil des Unterrichts haben wir Spurpunkte besprochen. Spurpunkte der Ebene sind Punkte, die die Koordinatenachsen schneiden.


3\cdot (4+r)-2-3r=0

12+3r-2-3r=0

0=0


g\subseteq E

Hausaufgaben für den 5.11.2012

Bu.S.219 Nr. 9a; 10a; 11a; 12c; 13a

A(1|1|0); B(1|0|1); C(0|1|1) direkt Koordinatenform bestimmen

Bu.S230 Nr. 1b

Klapptest Nr 4-6