Landesabitur Hessen 2010 B2

aus ZUM-Wiki, dem Wiki für Lehr- und Lerninhalte auf ZUM.de
Wechseln zu: Navigation, Suche

Inhaltsverzeichnis

. Aufgabe; Lösungsvorschlag von --Vincent97 (Diskussion) 12:18, 18. Jan. 2015 (CET)

Jedes Kästchen entspricht einer Längeneinheit.

142159536484731189.jpg

142159573205531190.jpg


Um die erste Ebene zu erhalten, muss man die Drei-Punkte-Form verwenden.

E_1: \ \vec{x}=\begin{pmatrix}
 -8\\
 0\\
0
 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}    
 2\\
 3\\
 0
 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}
 0\\
 3\\
 4
 \end{pmatrix}

E_2:\ 8x_1-4x_2-5x_3=-96

Die Schnittgerade bekommt man, indem man beide Ebenen schneidet.

8(-8+2s)-4(3s+3r)-20r=-96

-64+16s-12s-12r-20r=-96

4s=32r-32

s=8r-8

g: \ \vec{x}=\begin{pmatrix}
 -8\\
 0\\
 0
 \end{pmatrix}+(8r-8) \cdot \begin{pmatrix}    
 2\\
 3\\
 0
 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}
 0\\
 3\\
 4
 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}    
 -8\\
 0\\
 0
 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}
 16\\
 27\\
 4
 \end{pmatrix}


. Aufgabe; Lösungsvorschlag von

Die Gerade h ergibt sich aus den Punkten P1 und P5.

h: \ \vec{x}=\begin{pmatrix}
 8\\
 4\\
0
 \end{pmatrix}+\lambda \cdot \begin{pmatrix}    
 -20\\
 5\\
 8
 \end{pmatrix}


In dieser Aufgabe muss man eine Abstandsbestimmung zweier windschiefer Geraden machen. Falls der Abstand 0 ist trifft das Flugzeug auf den Gebirgsgrad.

\vec{n}=\begin{pmatrix}    
 -216+20\\
 80+128\\
 -80-540
 \end{pmatrix}=4\cdot\begin{pmatrix}    
 -49\\
 52\\
 -155
 \end{pmatrix}

d(g;h)=\vec{n_e}\cdot |(\vec{p}-\vec{q})|=\frac{1}{\sqrt{49^2+52^2+155^2}}\cdot|\begin{pmatrix}    
 -49\\
 52\\
 -155
 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}    
 -32\\
 -28\\
 0
 \end{pmatrix}|=\frac{|1456-1568|}{170,68}=0,66

Der Abstand müsste 1 sein, damit das Flugzeug sicher über das Gebirge fliegt. Es ist also zu tief.

Eine andere Möglichkeit den Abstand zu berechnen, wäre den Schnittpunkt der Geraden in der Ebene zu berechnen S(-5,42|7,35). Am Schnittpunkt muss man dann nur noch die Höhe für den Gebirgsgrat und für das Flugzeug ermitteln.


. Aufgabe; Lösungsvorschlag von --Vincent97 (Diskussion) 12:13, 31. Jan. 2015 (CET)

Wir brauchen hier zwei Matrizen. Die erste soll alle Punkte um 90o drehen und die Zweite alles um 20% verkürzen.

1. Spalte:

\begin{pmatrix}
 0&0&0\\
 0&0&0\\
 0&0&1
 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}    
 0\\
 0\\
 1
 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
 0\\
 0\\
 1
 \end{pmatrix}

2.Spalte:

\begin{pmatrix}
 0&-1&0\\
 0&0&0\\
 0&0&1
 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}    
 0\\
 1\\
 0
 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
 -1\\
 0\\
 0
 \end{pmatrix}

3.Spalte:

\begin{pmatrix}
 0&-1&0\\
 1&0&0\\
 0&0&1
 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}    
 1\\
 0\\
 0
 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
 0\\
 1\\
 0
 \end{pmatrix}

Nachdem wir nun alle drei Spalten für unsere Matrix erstellt haben, müssen wir die zweite Matrix machen, die alles verkleinert.

\begin{pmatrix}
 0,8&0&0\\
 0&0,8&0\\
 0&0&0,8
 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}    
 1\\
 1\\
 1
 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
 0,8\\
 0,8\\
 0,8
 \end{pmatrix}

Damit man nicht jeden Punkt mit zwei Matrizen mulitplizieren muss, multiplizieren wir die Matrizen miteinander, um eine zu erhalten, die alles dreht und sowohl verkürzt.

\begin{pmatrix}
 0,8&0&0\\
 0&0,8&0\\
 0&0&0,8
 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
 0&-1&0\\
 1&0&0\\
 0&0&1
 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
 0&-0,8&0\\
 0,8&0&0\\
 0&0&0,8
 \end{pmatrix}

\vec{p'}=\begin{pmatrix}
 0&-0,8&0\\
 0,8&0&0\\
 0&0&0,8
 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
 8\\
 4\\
 0
 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
 -6,4\\
 3,2\\
 0
 \end{pmatrix}

Das neue Startbahnende liegt bei P'(-6,4|3,2|0).