Dritte Kursarbeit

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Erste Kursarbeit in 12.2

Lösungsvorschläge:

Inhaltsverzeichnis

. Aufgabe

Grafik von: --CJSchmitt, Europa-Schule Obermayr (Diskussion) 21:07, 19. Apr. 2015 (CEST)

Der Graf von f3 ist grün Aufgabe 1 Lösungsvorschlag von: --Schiffert1996 (Diskussion) 20:12, 20. Apr. 2015 (CEST)

f_1(x)=x^2

f_1'(x)=2x

2x \neq 2  x^2


f_2(x)=3e^x

f_2'(x)=3e^x

3e^x \neq 6e^x


f_4(x)=2e^{3x}

f_4'(x)=6e^{3x}

6e^{3x} \neq 4e^{3x}


f_3(x)=3e^{2x}

f_3'(x)=6e^{2x}

6e^{2x} =6e^{2x}

Also löst die Funktion f_3(x)=3e^{2x} die Differentialgleichung f'(x)=2f(x).

. Aufgabe

Grafik von: --CJSchmitt, Europa-Schule Obermayr (Diskussion) 21:07, 19. Apr. 2015 (CEST) Aufgabe 2

Lösungsvorschlag von --Marius95 (Diskussion) 19:01, 20. Apr. 2015 (CEST):

Hier zeigt sich, dass sich die 1. Ableitung von der Funktion nur um den konstanten Vorfaktor -3 unterscheidet. Daher kommt nur eine Exponentialfunktion in Frage, die e-Funktion !

Hierbei gilt:


f(x)=e^{ax} \ \ \ \ f'(x)=a \cdot e^{ax}

Ersetzen wir den Buchstaben a mit dem Vorfaktor, so erhält man folgendes:


f(x)=e^{-3x} \ \ \ \  f'(x)=-3\cdot e^{-3x}

Dies beschreibt nur eine Funktion und um alle Funktionen darzustellen, die mit der Differentialgleichung beschrieben werden können, ergibt sich folgende Lösung:


f_{k}(x)=k \cdot e^{-3x}


Für welche Funktion fk gilt folgende Bedingung?

f(0)=2

f_{k}(0)= k \cdot e^{-3 \cdot 0}=2 \ \ \ \    \Rightarrow k=2


f_{2}(x)=2 \cdot e^{-3x}


. Aufgabe

Grafik von: --CJSchmitt, Europa-Schule Obermayr (Diskussion) 14:06, 20. Apr. 2015 (CEST)

Lösungsvorschlag von:--Vincent97 (Diskussion) 20:52, 21. Apr. 2015 (CEST)

Aufgabe 3a

Graf von f mit f(x) =  \sqrt{- x^{2} +k}

mit k=1

Herleitung:

f'(x)=-\frac{x}{f(x)}

f'(x)\cdot f(x)=-x

\frac{ (f(x))^2}{2}=c-\frac{(  x)^2}{2}

(f(x))^2=k-x^2

f(x)=\sqrt{k-x^2}

k >= 0

Aufgabe 3b Graf von f mit f(x)=kx-3

mit k=1

Herleitung:

f'(x)=-\frac{3f(x)}{x}

\frac{f'(x)}{f(x)}=-\frac{3}{x}

ln(|f(x)|)=-3\cdot ln(x)+c

f(x)\geq 0:\ \ f(x)=k\cdot x^{-3}

f(x)<0:\ \ f(x)=-k\cdot x^{-3}

Aufgabe 3c Graf von f mit f(x)=kx-3

mit k>0

Herleitung:

x\cdot f'(x)-3=f(x)

x\cdot f'(x)=f(x)+3

\frac{f'(x)}{f(x)+3}=\frac{1}{x}

ln(f(x)+3)=ln(x)+c

f(x)=k\cdot x-3

. Aufgabe

Lösungsvorschlag von: --Philipp95 (Diskussion) 13:31, 22. Apr. 2015 (CEST)

f'(x)= \frac{f(x)+3}{x}

x -1 1 2 4
f(x)=1 -4 4 2 1
f(x)=2 -5 5 2,5 1,25
f(x)=3 -6 6 3 1,5
f(x)=4 -7 7 3,5 1,75



Richtungsfeld




Beispiel



f(x)=kx-3

Wie in Aufgabe 3c kommt auch bei der Graphischenloesung eine Gerade raus.Wenn man die Bedingungen aus Aufgabe 3c mitbeansprucht ,
so verlaufen alle Geraden von links nach rechts hoch.

. Aufgabe

Grafik von: --CJSchmitt, Europa-Schule Obermayr (Diskussion) 14:06, 20. Apr. 2015 (CEST) Aufgabe 5 Graf von f mit f(t) = 30-ke-0,05t

mit k=29,8

Lösungsvorschlag von:--Hellmann (Diskussion) 21:48, 21. Apr. 2015 (CEST)

Gegeben:

f(0)=0,2m

f(t) \leq 30m

f'(t)= 0,05 \cdot (30-f(t))


a)

f'(t)= 0,05 \cdot (30-f(t))


\frac {f'(t)}{30-f(t)}=0,05


__________________________________________

g(x)=30-f(t)

g'(x)=-f'(t)

h(t)=\frac {1}{t}

H(t)=ln(|t|)

__________________________________________


-ln(30-f(t))=0,05t+c


ln(|30-f(t)|)=-0,05t-c


30-f(t)=e^{-0,05t} \cdot k


\Rightarrow da f(t) \leq 30


-f(t)=k \cdot e^{-0,05t}-30


f(t)=30-k \cdot e^{-0,05t}



f(0)=30-k \cdot e^0 =30-k=0,2


k=29,8


f(t)=30-29,8 \cdot e^{-0,05t}



b)

f(t)=25m

f(t)=30-29,8 \cdot e^{-0,05t}



30-29,8 \cdot e^{-0,05t}=25


-29,8 \cdot e^{-0,05t}=-5


e^{-0,05t}=\frac {25}{149}


-0,05t=ln (\frac {25}{149})


t=\frac {ln (\frac {25}{149})}{-0,05}


t\approx 35,70 Jahre


Antwort: Der Baum erreicht nach 35 Jahren und 256 Tagen eine Höhe von 25 Metern.


. Aufgabe

Grafik von: --CJSchmitt, Europa-Schule Obermayr (Diskussion) 15:04, 20. Apr. 2015 (CEST) Aufgabe 6 Graf von f mit f(x) = e-2x+ke-x

mit k=1

Lösungsvorschlag von: --Jugu5797 (Diskussion) 15:15, 23. Apr. 2015 (CEST)

f(x) \cdot e^x + f'(x) \cdot e^x = -e^{-x}

\rightarrow Hier wurde die Produktenregel angewendet.

\int h(x) \cdot g(x) dx = h'(x) \cdot g(x) + h(x) \cdot g'(x)


g(x)=f(x) \quad g'(x)=f'(x)

h(x)=e^x \quad h'(x)=e^x


f(x) \cdot e^x = e^{-x} + c

f(x) = \frac {1}{e^x} \cdot (e^{-x}+c)

f(x)=e^{-2x}+c \cdot e^{-x}


Probe:

f'(x)=-2e^{-2x}- c \cdot e^{-x}

Linker Term:

(e^{-2x} + e^{-x}) \cdot e^x + (-2e^{-2x}-e^{-x}) \cdot e^x= -e^{-2x} \cdot e^x = -e^{-2x+x} = -e^{-x}

Rechter Term:

-e^{-x}

\rightarrow LT=RT

7. Aufgabe

Grafik von: --CJSchmitt, Europa-Schule Obermayr (Diskussion) 21:07, 19. Apr. 2015 (CEST) Aufgabe 7

Graf von f (rot) mit f(x) = ke0,25x

mit k=1; Tangenten an den Stellen 0, 3 und 5

Lösungsvorschlag von: --Marius95 (Diskussion) 17:43, 25. Apr. 2015 (CEST)

t(x)=f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})

t(x_{0}-4)=f'(x_{0})(x_{0}-4-x_{0})+f(x_{0})=0

-4f'(x_{0})+f(x_{0})=0

f(x_{0})=4f'(x_{0}) \ \ \ \ | : f'(x_{0})

\frac{f'(x)}{f(x)} =  \frac{1}{4}  \ \ \ \ | \ \int

ln(f(x))= \frac{1}{4}  \cdot x +C

f(x)=ke^{ \frac{1}{4}x}


Probe

t(x)= \frac{1}{4}ke^{ \frac{1}{4} x_{0} }(x-x_{0})+ke^{ \frac{1}{4} x_{0}}

\Rightarrow t(x_{0}-4)=0 \ , \ \ \ k=1

t(x_{0}-4)= \frac{1}{4}e^{ \frac{1}{4} x_{0} }(-4)+e^{ \frac{1}{4} x_{0}}= -e^{ \frac{1}{4} x_{0}} + e^{ \frac{1}{4} x_{0}}=0


. Aufgabe

Lösungsvorschlag von:--Hellmann (Diskussion) 16:10, 22. Apr. 2015 (CEST)


Gegeben:


f(t)\leq 100


f(0)=1


f(45)=85





a)

Da die Ausbreitungsgeschwindigkeit immer mehr abnimmt, desto so mehr Leute das Gerücht kennen, muss die Differenzialgleichung so aussehen:


f'(t)=a \cdot (100-f(t))


Dabei sei a der prozentuale Zuwachs zu der Differenz der Anzahl der möglichen Schüler und der Anzahl der Schüler, welche das Gerücht schon kennen.




b)

f'(t)=a \cdot (100-f(t))


\frac {f'(t)}{100-f(t)}=a


___________________________________________

g(t)=100-f(t)

g'(t)=-f'(t)

h(x)=\frac {1}{x}

H(x)=ln(|x|)

___________________________________________


-ln(|100-f(t)|)=ax+c


ln(|100-f(t)|)=-ax-c


|100-f(t)|=e^{-ax} \cdot k


Da f(t)\leq100 sein muss, muss 100-f(t)>0 sein.


100-f(t)=e^{-ax} \cdot k


-f(t)=k \cdot e^{-ax} -100


f(t)=100-k \cdot e^{-ax}



c)

f(0)=100-k \cdot e^0=100-k=1


k=99



f(45)=100- 99 \dot e^{-45 \dot a}=85


99 \cdot e^{-45 \dot a}=15


e^{-45 \cdot a}=\frac {5}{33}


-45 \cdot a=ln( \frac {5}{33})

a=0,04


Die Funktion f(t)=100-99 \cdot e^{-0,04t} beschreibt die Ausbreitung des Gerüchtes.