Protokolle vom Februar 2015

aus ZUM-Wiki, dem Wiki für Lehr- und Lerninhalte auf ZUM.de
Wechseln zu: Navigation, Suche
Kurzinfo

Schülerbeitrag
Diese Seite enthält
Schülerbeiträge.

Bitte beachte die Hinweise für Schüler.

Inhaltsverzeichnis

Protokoll vom 11.02.2015 Thema: Differenzialgleichungen

Protokoll von --Marius95 (Diskussion) 15:47, 11. Feb. 2015 (CET) (Schuljahr 2014 / 15)
Lehrer C.-J. Schmitt (2 Unterrichtsstunden)
verbessert von:--Marius95 (Diskussion) 17:05, 17. Feb. 2015 (CET)

Differenzialgleichungen

Nach unserem wissen aus den letzten Schuljahren kennen wir Funktionsgleichungen als Gleichungen an, die einen definierten Zahlenraum abdecken. Damit ergibt sich immer eine Lösungsmenge.


Beispiel

\mathbb{D} = \mathbb{R}

3x^{2}+5=17

\mathbb{L}=\big\{-2;2\big\}


Nun beschäftigen wir uns aber mit Funktionen, die man mit Ableitungen bilden kann. Die Lösungen sind hiermit keine Zahlen mehr, sondern Funktionen.

\Rightarrow  F'(x)=f(x)

f(x)=e^{x'}


Beispiele


1.)

f'(x)=x+f(x)

 \rightarrow f(x)=e^x-x-1


Probe

LT: \ e^x-1

RT: \ x+e^x-x-1=e^x-1 \ \ \ \ \ \ vorgegeben



2.)

f''(x)=-f(x)

 f(x)=sin(x)

 f'(x)=cos(x)

 f''(x)=-sin(x)



3.)

f'(x)= \frac{(f(x))^{2}}{x^2} \ \ \ x \neq 0, \ x \neq 1

f(x)= \frac{x}{1-x}


Probe


LT: \ \frac{1 \cdot (1-x)-[x(-1)]}{(1-x)^2}= \frac{1-x+x}{(1-x)^2}= \frac{1}{(1-x)^2}

RT: \frac{( \frac{x}{1-x}) }{x^2}=\frac{ \frac{x^2}{1-x} }{x^2}= \frac{x^2}{1-x} \cdot  \frac{1}{x^2}= \frac{1}{(1-x)^2}



Wiederholung Kettenregel

f(x)=h(g(x))

f'(x)=h'(g(x)) \cdot g'(x)


Beispiele

1.

f(x)=(8x+2)^2

f'(x)=8 \cdot 2(8x+2)=16(8x+2)=128x+32



2.

f(x)=2sin(4x)

f'(x)=2 \cdot cos(4x) \cdot 4=8 \cdot cos(4x)



3.

f(x)=\sqrt{7x-5}

f'(x)=\frac{1}{2 \sqrt{7x-5}} \cdot 7 =3,5 \cdot  \frac{\sqrt{7x-5}}{7x-5}



4.

f(x)= \frac{1}{3(x-1)^2}

g(x)=3(x-1)^2 \ \ \ g'(x)=6(x-1)=6x-6

g(t)= \frac{1}{t}  \ \ \ g'(x)=- \frac{1}{t^2}


f'(x)=- \frac{1}{(3(x-1)^2} \cdot (6x-6)= \frac{-6x+6}{9(x-1)^4}= \frac{-2x+2}{3(x-1)^4} = \frac{-2(x-1)}{3(x-1)^4}= \frac{-2}{3(x-1)^3}


Alternative


g(x)=x-1 \ \ \ g'(x)=1

h(t)= \frac{1}{3t^2}  \ \ \ h'(t)= \frac{-2}{3t^3}


f'(x)= \frac{-2}{3(x-1)^3}


Wiederholung Integration durch Substitution

Formel Integration durch Substitution

\int h(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = H(g(x))=F(x)


Beispiele

1.


\int e^{sin(x)} \cdot cos(x) \, dx = \int h(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = H(g(x))=F(x)

\sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim

g(x)=sin(x) \ \ \ g'(x)=cos(x)

h(t)=e^t \ \ \ H(t)=e^t

\sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim

\int e^{sin(x)} \cdot cos(x) \, dx = e^{sin(x)}=F(x)


Probe

F'(x)=e^{sin(x)} \cdot cos (x)=f(x)



2.

\int e^{x^2} \cdot x \, dx =\frac{1}{2} \int h(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = H(g(x))=F(x)

\sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim

g(x)=x^2 \ \ \ g'(x)=2x

h(t)=e^t \ \ \ H(t)=e^t

\sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim

\int e^{x^2} \cdot x \, dx =  \frac{1}{2} e^{x^2}=F(x)


Probe

F'(x)=\frac{1}{2} e^{x^2} \cdot 2x=e^{x^2} \cdot x


Uns fällt auf, dass es sich um eine immer wieder kehrende Durchführung einer Integration durch Substitution handelt: Lineare Substitution!


Lösungsmethoden für Differenzialgleichungen

Lineare Substitution

Eine Lineare Substitution benutzt man zur Berechnung von Integralen mit linearen Verkettungen. Sie beruht auch auf der Grundlage der Kettenregel; heißt: Die innere Funktion ist eine lineare Funktion!




\int sin(3x+7) \, dx =\frac{1}{3} \int h(g(x)) \cdot g'(x) \, dx =\frac{1}{2} H(g(x))=F(x)

\sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim

g(x)=3x+7 \ \ \ g'(x)=3

h(t)=sin(t) \ \ \ H(t)=-cos(t)

\sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim

\int sin(3x+7) \, dx =-\frac{1}{3}cos(3x+7)=F(x)



Verallgemeinert haben wir somit geschrieben:

\int h(mx+b) \, dx = \frac{1}{m} \int h(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = \frac{H(mx+b)}{m}

g(x)=mx+b \ \ \ g'(x)=m

h(t): \ \ \ H(t):


Formel für Lineare Substitution

\int h(mx+b) \, dx=\frac{H(mx+b)}{m}

Hausaufgaben

S.249 A7

S.252 A9

S.255 A5, A7a)

S. 261 A9b)

S.280 A(5)

S.289 A(6,7)

S.296 A12)

Ü1 A5 a),g), e)

--Marius95 (Diskussion) 18:49, 11. Feb. 2015 (CET)


Protokoll vom 13.02.2015 Thema: Lineare-und Logarithmische Substitution

Protokoll von --[--Schiffert1996 (Diskussion) 19:39, 17. Feb. 2015 (CET) (Schuljahr 2014 / 15)
Lehrer C.-J. Schmitt (3 Unterrichtsstunden)
verbessert von:----Schiffert1996 (Diskussion) 10:21, 24. Feb. 2015 (CET)


Zuerst haben haben wir beide Substitutionsverfahren, die uns bisher bekannt sind, zusammengetragen:

Integration durch Substitution: \int h(g(x))\cdot g'(x)dx=H(g(x))=F(x)


Lineare Substitution: \int h(m \cdot x +b)dx= \frac{H(m \cdot x +b)}{m}


Um die Lineare Substitution zu vertiefen, haben wir zwei Beispielaufgaben gemacht:

1.\int (5x-7)^2dx= \frac{(5x-7)^3}{3} \cdot  \frac{1}{5} = \frac{1}{15} \cdot (5x-7)^3

\sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim

h(t)=t^2

H(t)= \frac{t^3}{3}

\sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim


2. \int  \sqrt{3x+2} dx= \frac{2}{3}  \sqrt{3x+2} \cdot (3x+2)\cdot  \frac{1}{3}= \frac{2}{9} \sqrt{3x+2}\cdot (3x+2)   = \frac{2}{9} \sqrt{(3x+2)^3}  +c

\sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim

h(t)= \sqrt{t}

H(t)= \frac{2}{3}  \sqrt{t}\cdot t

\sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim

Probe:

F'(x)= \frac{2}{9}\cdot  \frac{1}{2 \cdot  \sqrt{3(3x+2)^3} }  \cdot 3 \cdot (3x+2)^2 \cdot 3 = \frac{(3x+s)^2}{ \sqrt{(3x+2)^3} } = \frac{ \sqrt{(3x+2)^4} }{ \sqrt{(3x+2)^3} }= \sqrt{3x+2}  =f(x)


Logarithmische Substitution

Die Logarithmische Substitution haben wir an folgendem Beispiel erläutert:

\int \frac{2x+3}{x^2+3x} dx=\int h(g(x))\cdot g'(x)dx=H(g(x))=ln ( | x^2+3x | )+c=F(x)

\sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim

g(x)=x^2+3x

g'(x)=2x+3

h(t)= \frac{1}{t}

H(t)=ln ( | t | )

\sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim

Man sieht, dass der Zähler die Ableitung des Nenners ist.Daraus ergibt sich folgende Formel:

Logarithmische Substitution:
\int  \frac{g'(x)}{g(x)} dx=ln( | lg(x) | )

Daraufhin haben wir die neu erlernte logarithmische Substitution anhand von zwei Beispielen gefestigt:

1.\int   \frac{e^x -e^{-x}}{e^x+e^{-x}} dx= \int \frac{g'(x)}{g(x)} dx=ln( | e^x+e^{-x} | +c=F(x)

2.\int    \frac{e^x}{2e^x-1} dx= \frac{1}{2}  \int \frac{g'(x)}{g(x)} = \frac{1}{2} ln( | 2e^x-1 | )+c=F(x)

\sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim

g(x)=2e^x-1

g'(x)=2e^x

\sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim

Probe: F'(x)= \frac{1}{2}\cdot \frac{2e^x}{2e^x-1}  = \frac{e^x}{2e^x-1} =f(x)

!An diesem Beispiel sieht man, dass man die logarithmische Substitution nicht unterschätzen darf, da oft auch ein Vorfaktor zu F(x) gehört!

3.\int \frac{cos(x)}{sin(x)} dx=ln( | sin (x) | )+c=F(x) Diese Stammfunktion gilt auch für \int \frac{1}{tan} (x)dx, da  \frac{1}{tan} (x)=\frac{cos(x)}{sin(x)}.

4. \int tan(x)dx= \int \frac{sin(x)}{cos(x)} dx=-ln(|cos(x)|)+c

5. \int \frac{x^2}{x^3+1} dx= \frac{1}{3} \cdot  \int \frac{g'(x)}{g(x)} = \frac{1}{3} ln(|x^3+1|)+c

\sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim

g(x)=x^3+1

g'(x)=3x^2

\sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim  \sim

Wie entstehen Differenzialgleichungen?

Wenn man Kapital von 100€ hat und dies bei einer Bank anlegt, welche 3% Zinsen gibt, hat man nach einem Jahr:

Kapital=100

Zinssatz=3%

k(1)=100 \cdot 1,03 =103

Da das Kapital mit den Zinsen wieder verzinst wird, hat man nach zwei Jahren:

k(2)=100 \cdot 1,03^2

Nach 10 Jahren hätte man also:

k(10)=100\cdot 1,03^{10}

Dies lässt sich auf eine beliebige Zeit t beziehen:

k(t)=100 \cdot 1,03^t

Anders geschrieben heißt die Gleichung:

k(t)=100 \cdot 1,03^t=100 \cdot (e^{ln(1,03)})^t

Der Logarithmus ist also die Hochzahl mit der man e potenzieren muss um 1,03 zu erhalten!

Nun kann man die Ableitung von k(t)=100 \cdot 1,03^t bilden:

k'(x)=100 \cdot e^{t\cdot ln(1,03)}\cdot ln(1,03)=100 \cdot 1,03^t \cdot ln(1,03)=k(t) \cdot ln(1,03)

k'(x)=k(t) \cdot ln(1,03)

Weiterhin werden Differenzgleichungen beispielsweise in der Physik angewendet:

Beispielsweise ist der Bestand von radioaktiven Kernen f(t) zur Zeit t propotional zur Zerfallsrate f'(x).

Daraus ergibt sich :

f'(t)=-k \cdot f(t)

Anwendung: Schraubenfederpendel

225.gif

Hierbei gilt, dass die Geschwindigkeit die erste Ableitung des Weges ist. Die Beschleunigung ist die erste Ableitung der Geschwindkeit, daraus folgt, dass sie die zweite Ableitung des Weges ist.

v(t)=s'(t)

a(t)=s''(t)

Wenn man nun die Feder auslenkt ist die Kraft der Beschleunigung von der Masse (Newton Gesetz) gleich mit der vom Hookschen Gesetz (Kraft, die man braucht um einen elastischen Körper, um einen bestimmten Weg zu dehnen).

m \cdot a=-D\cdot s

Jetzt setzt man für a(t) S(t) ein.

m\cdot s''(t)=-D \cdot s(t)

s''(t)= -\frac{D}{m} \cdot s(t)

Nun stellt sich die Frage, was die Lösung der Differentzialgleichung ist?

Rein spekulativ haben wir versucht mit der e-Funktion die Gleichung zu lösen, indem wir s(t)=e^{kt} festlegen:

s(t)=e^{kt}

Daraus folgt die zweite Ableitung:

s''(t)=k^2e^{kt}

k^2e^{kt}== -\frac{D}{m} \cdot e^{kt}  |  :e^{kt}

k^2=- \frac{D}{m}

Dies kommt also nicht in Frage, da k^2 nicht negativ werden kann!

Wenn wir aber davon ausgehen, dass der Sinus s(t) beschreibt, kommen wir zum richtigen Ergebnis:

s(t)=sin(kt)

s(t)=-sin(kt)\cdot k^2

k^2= \frac{D}{m}

k= \sqrt{\frac{D}{m}}

t beschreibt die Schwinungsdauer (T), daraus folgt:

s(0)=0

s(T)=0=sin(2\pi)=sin(k\cdot T) \Rightarrow \ \ 2\pi=k\cdot T\Rightarrow \ \ T=\frac{2\pi}{k}\Rightarrow \ \ 2\pi\cdot \sqrt{\frac{m}{D}}

Wenn man nun Beispielsweise die 4-fache Masse hat, verdoppelt sich die Schwinungsdauer, wobei die Schwingungsdauer nur noch ein Drittel beträgt, wenn man die Federkonstante verneunfacht. Dieses mathematische Vorgehen nennt man deduktives Vorgehen. Wenn man diese Änderungen bzw. die Schwinungsdauer mit einem Versuch nachmisst, macht man es induktiv.


Hausaufgaben für den 23.02.2015

(S.252 Nr.14)

S.296 Nr.14

S.262 Nr.10 a,c

(S.283 Nr.4+5)

Ü1 5(c,f,i);6(b,d);7(a,g,i);8(a,b)

___________________________________________________________

Protokoll vom 18.02.2015 Thema:partielle und logarithmische Substitution

Protokoll von --Jugu5797 (Diskussion) 18:46, 19. Feb. 2015 (CET) (Schuljahr 2014 / 15)
Lehrer C.-J. Schmitt (2 Unterrichtsstunden)
verbessert von:--Jugu5797 (Diskussion) 11:25, 22. Feb. 2015 (CET)

Hausaufgabenbesprechung

Ü1 A5c.),f.) und i.)

5c.)

\int 10x(x^2-4)^4dx=(x^2-4)^5+C=F(x)

5f.)

\int \frac{1}{x}\cdot 3 (ln(|x|))^2 dx= ln(|x|)^3 + C =F(x)

5i.)

\int 3 \cdot cos(x) \cdot sin(x)^3 dx = \frac{3}{4} sin(x)^4 +C =F(x)

__________________________________________________

Ü1 A6b.) und d.)

6b.)

\int x^2 \cdot (x^3-1)^2dx= \frac{1}{9} (x^3-1)^3 +C=F(x)

6d.)

\int x \sqrt {x^2-1}dx= \frac{\sqrt{(x^2-1)^3}}{3} +C=F(x)

_______________________________________________

Ü1 A7a.),g.) und i.)

7a.)

\int 15(3x+4)^5dx=\frac{5}{6}(3x+4)^6+C=F(x)

7g.)

\int -4e^{2-4x}dx=e^{2-4x}+C=F(x)

7i.)

\int x^2 \cdot e^{x^3}dx=\frac{1}{3}e^{x^3}+C=F(x)

__________________________________________________

Ü1 A8a.) und b.)

8a.)

\int \frac{2x}{1+x^2}dx= ln(1+x^2)+C=F(x)

8b.)

\int \frac{e^x}{1+e^x}dx=ln(1+e^x)+C=F(x)

\rightarrow \quad Hier kann man die Betragszeichen innerhalb der Logarithmus-Klammern weglassen, da die Klammer niemals negativ werden kann!

____________________________________________________

Partielle Integration

Wiederholung

Mithilfe der partiellen Integration kann man Multiplikationen ganz einfach integrieren:

\int g'(x) \cdot h(x)dx=g(x) \cdot h(x) - \int h'(x) \cdot g(x)dx

Was g'(x) ist und was h(x) ist muss dabei mit Bedacht gewählt werden, denn diese Formel soll die Multiplikation im Integral vereinfachen und nicht erschweren.

____________________________________________________

Ü1 A9

Als Übung für die Partielle Integration wählten wir die Aufgabe 9 auf dem Übungsblatt 1.

Zunächst schafften wir uns einen Überblick über den Grafen:

Funktion f

Funktion h

Funktion g

Wenn wir uns die einzelnen Elemente der Funktion betrachten erkennen wir, dass sich ln(x) beim asymptotischen bestreben Richtung 0 quasi "durchgesetzt hat", und (3-x) beim Verlauf in Richtung Negativ.

Aus Intuition würde man (3-x) als h(x) wählen, jedoch muss man durch die Stammfunktion von ln(x) (x \cdot ln(x) -x) feststellen, dass dieses Vorgehen die Integration nicht vereinfachen würde.

Also wählen wir wie folgt:

h(x)=ln(x) \quad h'(x)= \frac{1}{x}

g'(x)=3-x \quad g(x)=3x- \frac{1}{2}x^2

\int (3-x)\cdot ln(x)dx= [(3x-0,5x^2)\cdot ln(x)]-\int \frac {1}{x} \cdot (3x-0,5x^2)dx= [(3x-0,5x^2)\cdot ln(x)]- \int (3-0,5x)dx = [(3x-0,5x^2)\cdot ln(x)]- [3x-0,25x^2] + C =F(x)

Nun die Probe ob unsere Rechnung auch stimmt:

F'(x)= [(3-x)\cdot ln(x) + 3x - 0,5x^2)\cdot \frac{1}{x}]-3+0,5x= (3-x)\cdot ln(x)=f(x)

Nun integrieren wir den Teil von 1 bis 3. Also der Teil, welcher oberhalb der x-Achse ist:

\int_1^3 (3-x)ln(x)dx=[(3x-0,5x^2)\cdot ln(x)]_1^3 - [3x-0,25x^2]_1^3=|[(9-0,5 \cdot 9)\cdot ln(3)]-[(3\cdot 1 - 0,5) \cdot ln(1) ] - ( [3\cdot 3 - 0,25\cdot 3^2] - [3 \cdot 1 - 0,25\cdot 1^2]=(4,5 \cdot ln(3))-(6,75-2,75) \approx 0,94

__________________________________________________

Logarithmische Substitution

Wir wiederholten, was wir letzte Stunde gelernt hatten mit einer Übungsaufgabe.

Zunächst noch einmal die Formel:

\int \frac {g'(x)}{g(x)}=ln(|g(x)|)

\int \frac{2x+1}{x^2+x+5}dx=ln(|x^2+x+5|)+C=F(x)

Auffallend ist, dass die Funktion,welche innerhalb der Klammer von ln steht, keine Nullstellen besitzt.

Sie liegt oberhalb der x-Achse. Es kommen also nur positive Funktionswerte heraus. Daraus folgt, dass man die Betrags Zeichen innerhalb der Klammer weglassen kann, da die Klammer niemals negativ werden kann.

Natürlich machten wir auch die Probe, ob unsere Rechnung auch wirklich richtig ist:

F'(x)=\frac {2x+1}{x^2+x+5}=f(x)

Wir integrierten von 0 bis 5:

\int \frac{2x+1}{x^2+x+5}dx=[ln(x^2+x+5)]_0^5=ln(35)-ln(5)=1,95

_________________________________________________________

Vorgeschmack auf die nächste Stunde

f'(x)=3x^2

Bei dieser Funktion ist es "noch" einfach. Wir erkennen quasi sofort was f(x) ist.

Um f(x) herauszufinden, müssen wir die Stammfunktion von f'(x) finden.

f(x)= \int f'(x)dx= \int 3x^2dx=x^3

Doch schon jetzt sehen wir ein Problem:

Was machen wir, wenn auf der anderen Seite f(x),welche Funktionen wir bereits letzte Stunde kennengelernt haben, steht?

Mit dieser Problematik werden wir uns in der nächsten Stunde befassen.

_______________________________________________________________

Hausaufgaben

S.283 A3, Abi B8 A3.1 und A3.2, S.296 A13, S.263 A18, Ü1 A6f.), A7h.),e.) und 8c.)

Sowie Wiki auf Beobachten stellen.

Thema vom 20.02.2015 Separation von Variablen

Lehrer C.-J. Schmitt (Schuljahr 2014 / 15)
Kapitel: Lösung von Differenzialgleichungen Protokoll ausgesetzt wg. Abiturvorbereitung
Von --Philipp95 (Diskussion) 16:44, 20. Feb. 2015 (CET)



Thema vom 25.02.2015 Lösen von Differentialgleichungen an Beispielen

Lehrer C.-J. Schmitt (Schuljahr 2014 / 15)
Kapitel: Lösung von Differenzialgleichungen Protokoll ausgesetzt wg. Abiturvorbereitung
Von --Philipp95 (Diskussion) 20:58, 26. Feb. 2015 (CET)



Thema vom 27.02.2015 Anwendung der Differentialgleichungen an Wachstumsfunktionen

Lehrer C.-J. Schmitt (Schuljahr 2014 / 15)
Kapitel: Lösung von Differenzialgleichungen Protokoll ausgesetzt wg. Abiturvorbereitung
Von --Philipp95 (Diskussion) 19:36, 27. Feb. 2015 (CET)