Fläche eines Dreiecks im Kästchenraster

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Hier gibt es Geometrie zum Abzählen: Du zeichnest ein Dreieck ABC auf ein Blatt mit Kästchenraster. Der erste Punkt A soll bei (1|1) sein, d.h. zwei Kästchen rechts und zwei Kästchen nach oben vom Achsenkreuz ausgehend:

Punkta1 1.JPG

Danach kannst Du selbst wählen, wohin Du Deine Punkte B und C setzt, aber sie sollen immer auf dem Kästchenraster liegen, und sie sollen in der Verbindung A-B-C entgegen dem Uhrzeigersinn angeordnet sein, z.B. so:

Beispieldreieck.JPG

Jetzt zählst Du, wie viele Kästchen Fläche Dein eigenes Dreieck hat. Gar nicht so einfach, denn manche Kästchen werden durchgeschnitten. Aber nach sorgfältiger Arbeit hast Du sicher Dein Ergebnis. Schreibe es hier auf:

<html lang="de"> <meta http-equiv="content-type" content="text/html; charset=ISO-8859-1"> <script type="text/javascript">

function Wertefuerpunkteeingeben () {

pschaetz = parseFloat(document.getElementById("zahl0").value);
 if (isNaN(pschaetz)) {
   document.getElementById("ergebnis9").firstChild.data = "Bitte gib eine gültige Zahl für Deinen Schätzwert ein!";
 } else {
zschaetz = pschaetz;
  document.getElementById("ergebnis9").firstChild.data = "Dein Schätzwert für die Fläche ist " + zschaetz +" Kästchen" ;
 } // von der if-Abfrage
pbx = parseFloat(document.getElementById("zahl1").value);
 if (isNaN(pbx)) {
   document.getElementById("ergebnis10").firstChild.data = "Bitte gib eine gültige Zahl für Bx ein!";
 } else {
zbx = pbx;
  document.getElementById("ergebnis10").firstChild.data = "Ok, es ist Bx=" + zbx ;
 } // von der if-Abfrage
pby = parseFloat(document.getElementById("zahl2").value);
 if (isNaN(pby)) {
   document.getElementById("ergebnis11").firstChild.data = "Bitte gib eine gültige Zahl für By ein!";
 } else {
zby = pby;
  document.getElementById("ergebnis11").firstChild.data = "Ok, es ist By=" + zby ;
 } // von der if-Abfrage
pcx = parseFloat(document.getElementById("zahl3").value);
 if (isNaN(pcx)) {
   document.getElementById("ergebnis12").firstChild.data = "Bitte gib eine gültige Zahl für Cx ein!";
 } else {
zcx = pcx;
  document.getElementById("ergebnis12").firstChild.data = "Ok, es ist Cx=" + zcx ;
 } // von der if-Abfrage
pcy = parseFloat(document.getElementById("zahl4").value);
 if (isNaN(pcy)) {
   document.getElementById("ergebnis13").firstChild.data = "Bitte gib eine gültige Zahl für Cy ein!";
 } else {
zcy = pcy;
  document.getElementById("ergebnis13").firstChild.data = "Ok, es ist Cy=" + zcy ;
 } // von der if-Abfrage

} // Funktionsende


function ComputerBerechnetdieflaeche () {

f3 = Math.sqrt(                                  
     ((zbx-1)*(zbx-1)+(zby-1)*(zby-1))*((zcx-1)*(zcx-1)+(zcy-1)*(zcy-1))
      -((zbx-1)*(zcx-1)+(zby-1)*(zcy-1))*((zbx-1)*(zcx-1)+(zby-1)*(zcy-1))
     )*2;
g3 = Math.floor(1000*Math.min(f3,zschaetz)/Math.max(f3,zschaetz))/10;
  document.getElementById("ergebnis14").firstChild.data = "Flächeninhalt= " + f3 +" Kästchen.";
  document.getElementById("ergebnis15").firstChild.data =  g3 +" Prozent";

} // Funktionsende </script> </head>

<body>


<label>Notiere Deinen Schätzwert für die Fläche (wieviele Kästchen ins Dreieck hineinpassen )hier: <input type="text" id="zahl0" size="4"></label>

Nun soll Dir der Computer das exakte Resultat errechnen. Dafür braucht er die genauen Koordinaten Deiner Punkte. Im Beispiel oben ist Bx=6; By=0.5; Cx=4; Cy=3.

<label>Bitte gib Bx an: <input type="text" id="zahl1" size="4"></label>

<label>Bitte gib By an: <input type="text" id="zahl2" size="4"></label>

<label>Bitte gib Cx an: <input type="text" id="zahl3" size="4"></label>

<label>Bitte gib Cy an: <input type="text" id="zahl4" size="4"></label>

<input type="button" value="Computer, nimm meine Punktkoordinaten!" onclick="Wertefuerpunkteeingeben()">

Braucht noch Deinen Schätzwert für die Fläche:

Braucht noch Bx:

Braucht noch By:

Braucht noch Cx:

Braucht noch Cx:

Jetzt kann der Computer Deine Werte benutzen, um die Fläche Deines Dreiecks exakt zu berechnen:

<input type="button" value="Computer, berechne die Dreiecksfläche!" onclick="ComputerBerechnetdieflaeche()">

Ergebnis:

Um nicht in Kästchen, sondern in normalen Einheiten ( wie die Achsen sie im Koordinatensystem anzeigen ) zu rechnen, muss man das Kästchen-Ergebnis noch durch 4 teilen, denn eine Flächeneinheit im Koordinatensystem sind ja 4 Kästchen.

Dein Wert stimmte übrigens auf

Schätzgenauigkeit:

mit dem exakten Wert überein.

</body> </html>

Man kann den exakten Flächeninhalt auf verschiedene Arten auch berechnen:

a) mit der Methode, ein Rechteck drumherum zu legen, und Dreiecksflächen abzuziehen (Klasse 6 bis 9): Rechteck um Dreieck

b) Mit Hilfe des Skalarproduktes (Jahrgangsstufe 12 und 13).