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Zur Geschichte des Folgenbegriffs

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Inhaltsverzeichnis

Vorgriechische Mathematik

Der ägyptische Rhind-Papyrus

In der vorgriechischen Mathematik wurden Folgen als Hilfsmittel für Rechenoperationen verwendet. Die Ägypter benutzten endliche Zahlenfolgen um
z.B. zwei Zahlen zu multiplizieren. Dabei wurde ein Faktor fortlaufend verdoppelt und anschließend entsprechende 'Folgenglieder' der so konstruierten Zahlenfolge addiert. Dies wird auch als "dyadische Entwicklung eines Faktors" bezeichnet. (vgl. NEUGEBAUER 1926, S.7)
Analog ging man auch bei der Zerlegung der 2:n-Brüche in Stammbrüche vor. Die Grundlage der 2:n-Tabelle des 'Papyrus Rhind' bildet die Folge  \frac {1}{2}, \frac {1}{4}, \frac{1}{8},...  .

Pdf20.gif Hier finden Sie eine Aufgabe aus dem Papyrus Rhind, die sich mit der Berechnung einer unbekannten Größe befasst und zur Lösung eine schlichtweg geniale Idee verwendet.

Weiter findet man in dieser Rolle Aufgaben, die man heute mit dem Begriff 'eingekleidete Aufgaben' bezeichnen würde, bei denen die Glieder arithmetischer und geometrischer Folgen addiert werden müssen.

Es zeigt sich ein Interesse an Eigenschaften und Gesetzmäßigkeiten von speziellen Folgen.

Folgen werden so zu eigenständigen Objekten.

Bei den Babylonieren kommen Zahlenfolgen in Form vielfältiger Arten von Tabellen vor, etwa bei Multiplikationstabellen oder den Tabellen zur Mondrechnung.

Dabei werden auch die Beziehungen zwischen benachbarten Tabellenwerten sichtbar, so dass sich hier bereits iterative Aspekte beim Arbeiten mit Folgen zeigen.

Zusammenfassend kann man sagen, dass in der vorgriechischen Mathematik Folgen als eine Auflistung, Aufreihung, oder eine Aufzählung von endlich vielen Symbolen, Objekten oder Zahlen erscheinen. Eine Folge wird in Form von Tafeln oder Tabellen präsentiert, was in erster linie den statischen Aspekt des Folgenbegriffs deutlich macht.

Die Auseinandersetzung mit dem Unendlichkeitsbegriff erfolgt jedoch noch nicht bei den Ägyptern und Babyloniern.

Griechische Mathematik

Die Frage nach dem Wesen des Unendlichen beginnt mit Aristoteles. Er unterscheidet nämlich zwischen dem ptentiellen und aktualen Unendlichen. Diese Thematik zieht sich durch die gesamte Entwicklungsgeschichte der Mathematik.

"Das unendliche hat wie keine andere Frage von jeher so toef das Gemüt des Menschen bewegt; das Unendliche hat wie kaum eine andere Idee auf den Verstand so anregend und fruchtbar gewirkt; das Unendliche ist aber auch wie kein anderer Begriff so der Aufklärung bedürftig." (HILBERT 1926, S. 163)
Archimedes.jpg

Dynamische Sichtweise des Unendlichen

Folgen kommen in Form von beliebig oft wiederholbaren schrittweisen Handlungen vor (vgl. Bewegungs-Paradoxien des ZENON von Elea).

Dadurch steht das Erzeugen einer Folge und damit die dynamische Sichtweise im Vordergrund. Die Frage, ob eine Strecke unendlich oft geteilt werden kann, war eine Diskussionsgrundlage für die griechischen Philosophen.

Anaxagoras (500-430 v. Chr.) oder Demokrit (460-370 v. Chr.) glaubten, dass man durch fortgesetztes Halbieren schließlich zum 'Unendlichkleinen' gelangen kann. Vehement gegen diese Auffassung waren Aristoteles und Platon (428-347 v. Chr.).

Für Aristoteles ist die Idee des Erzeugens einer Folge mit der Vorstellung des Unendlichen identisch:

"Allgemein nun ist Unendlichkeit lediglich fortwährende Sukzession von Gliedern (einer Reihe), wobei also jedes Glied durchaus endlich ist, aber eben auf jedes Glied jedesmal wieder ein weiteres folgt." (Physik 3, S. 75f, 206a)

Er verbindet den Unendlichkeitsbegriff mit der Möglichkeit eines unendlichen Prozesses (Begriff des potentiellen Unendlichen).

Statische Sichtweise des Unendlichen

Die Überlegungen des Aristoteles haben dazu beigetragen, dass die griechische Mathematik äußerst vorsichtig mit dem Begriff 'unendlich' umgegangen ist.

In den 'Elementen' von Euklid tritt dieser Begriff nicht auf; der Satz über die Existenz unendlich vieler Primzahlen heißt bei Euklid:

"Es gibt mehr Primzahlen als jede vorgelegte Anzahl von Primzahlen" (Elemente, S. 204)

Dies führt Euklid: auf den Umgang mit einer prinzipiell vorstellbaren endlichen Folge oder einer "vorgelegten Anzahl" zurück.

"Er löst sich damit von der dynamischen Vorstellung, indem endlich viele Primzahlen als eine fertig vorliegende Menge gedacht werden können,
wodurch die statische Sichtweise der Folge oder Menge betont wird." (vgl. WEIGAND, S. 44)

Beginn der Neuzeit

Die Summation unendlicher Reihen bildet dann auch zu Beginn der Neuzeit den Ausgangspunkt für Grenzwertüberlegungen.

Zu Beginn des 19. Jahrhunderts sind mit dem Grenzwertbegriff zum einen dynamische oder kinematische Vorstellungen verbunden (Newton, d'Alembert), und zum anderen Vorstellungen von 'unendlich kleinen Größen (Euler, Leibniz). Um die beliebige Fortsetzbarkeit einer Folge explizit beschreiben zu können geht bei Gauss der Aufzählungsaspekt einer Folge in die funktionale Sichtweise über. In Cauchy's Lehrbuch 'Cours d'Analyse' von 1828 wird dann der Grenzwertbegriff zu einem Grundbegriff der Analysis, den Cauchy wiederum in dynamischer Weise mit Hilfe des Folgenbegriffs erklärt.

"Wenn die einer variablen Zahlengröße successive beigelegten Werthe sich einem bestimmten Werthe beständig nähern, so daß sie endlich von diesem Werthe so wenig verschieden sind, als man irgend will, so heißt die letztere die Grenze aller übrigen." (S. 3)

Grenzwertdefinition durch Weierstraß

Die Lösung des Grenzwertbegriff von dynamischen Vorstellungen erfolgt dann durch Weierstraß, indem er den Folgengrenzwert mit Hilfe der ' n_0- \epsilon - Bedingung' definiert.

20. Jahrhundert

Neue Aktualität erlangte der Folgenbegriff durch die Möglichkeit des maschinellen Rechnens. Im Zusammenhang mit der Formalisierung der Mathematik und insbesondere mit der Präzisierung des Algorithmenbegriffs erlangen endliche Folgen an Bedeutung. Schließlich ist der Folgenbegriff die zentrale Grundlage der Diskreten Mathematik.

Literaturverzeichnis

  • HILBERT, D., Über das Unendliche, Math. Ann. 95 (1926)
  • HOPPE, E., Das älteste Zeugnis für die Erkenntnis der Bedeutung des Differentialquotienten (1919)
  • HOPPE, E., Zur Geschichte der Infinitesimalrechnung bis Leibniz und Newton (1928)
  • NEUGEBAUER, O., Die Grundlagen der ägyptischen Bruchrechnung, Berlin (1926)
  • NEUGEBAUER, O., The Exact Sciences in Antiquity, New Jersey (1952)
  • WEIGAND, H.-G., Zur Didaktik des Folgenbegriffs (1993)


Diese Seite ist eine Überarbeitung und Erweiterung der Seite Informationen zum Folgenbegriff von Hans-Georg Weigand, der hierzu seine Zustimmung erteilt hat.