Bewegungen mit Luftwiderstand

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Bewegungen mit Luftwiderstand

oder: Warum wird man von einem aus 400m Höhe fallenden Regentropfen nicht erschlagen?


Die Behandlung von Reibungskräften kommt im herkömmlichen Physikunterricht deutlich zu kurz - In der Regel wird (für Schüler oft unverständlich) die Bewegung reibungsfrei "idealisiert" und die Reibung weggelassen. Obwohl sie doch immer da ist...

Realsituationen können durch mathematische Modellierung einer physikalische Untersuchung zugänglich gemacht werden. In dieser Aufgabe stehen Bewegungsvorgänge mit Luftwiderstand im Mittelpunkt.

Aufgabe: Der fallende Tischtennisball

Infobox
Bewegt sich ein realer Körper, wird er von der Luft umströmt, die ihm damit in Bewegungsrichtung eine Kraft entgegensetzt. Die Abhängigkeit dieser Luftwiderstandskraft lässt sich näherungsweise mit den Faktoren Gesamtwiderstandsbeiwert, wirksame Querschnittsfläche, Dichte des Mediums Luft sowie Geschwindigkeit im Medium  F_L = \frac{1}{2} c_w\cdot A\cdot \rho\cdot v^2 modellhaft beschreiben.

Ein TT-Ball soll aus der Ruhe fallengelassen werden. Untersuchen Sie, wie sich seine Geschwindigkeit ändert. Entwickeln Sie aus einem Kraftansatz ein einfaches Modell.

Beim Fall wirken zwei Kräfte einander entgegen, die Gewichtskraft und die Luftwiderstandskraft. Der Auftrieb wird vernachlässigt. Die Beschleunigung des TT-Balls erfolgt durch die resultierende Kraft. Daraus ergibt sich die spezielle Bewegungsgleichung.


 F_{res}=F_G-F_L
 m \cdot a = m \cdot g-\frac{1}{2} c_w\cdot A\cdot \rho\cdot v^2


Dabei ist der Luftwiderstandsbeiwert von der Form des Körpers abhängig; die Querschnittsfläche des Balles und die Masse sind messbar. Die Dichte der Luft ist bekannt und ebenfalls konstant. Die Beschleunigung und die Geschwindigkeit sind zeitlich veränderlich, also momentane Werte.


a(t) = g - \frac{c_w \cdot A \cdot \rho}{2 \cdot m} \cdot v(t)^2


Als Näherungslösung einer solchen Differentialgleichung betrachten wir ein hinreichend kleines Zeitintervall \Delta t.


\frac{\Delta v}{\Delta t} = g - \frac{c_w \cdot A \cdot \rho}{2 \cdot m}\cdot v(t)^2


\Delta v = \left( g - \frac{c_w \cdot A \cdot \rho}{2 \cdot m}\cdot v(t)^2 \right) \Delta t


Nehmen Sie geeignete Randbedingungen an. Für den TT-Ball sei der Luftwiderstandsbeiwert 0,45 (Kugel), die Querschnittsfläche 0,00126 m² (Radius 0,02 m) und die Masse 0,002 kg. Die Luft habe die Dichte 1,27 kg/m3. Die Anfangsgeschwindigkeit ist 0. Für die Fallbeschleunigung wird 9,81 m/s2 eingesetzt.

Möglicher Lösungsweg zu Aufgabe

Man kann im Nspire unter "Graphs & Geometry" Folgen definieren. Dazu werden zunächst mittels zweier Schieberegler der Widerstandsbeiwert c_w und dt für die Schrittweite definiert. So lassen sich beide Größen leicht variieren und die Änderungen beobachten. Bei Bedarf können natürlich auch die Querschnittsfläche, Dichte und Masse als Parameter übergeben werden.

Aus Sicht der Mathematik und für leistungsfähigere Kurse wäre natürlich an dieser Stelle auch der Einfluss von dt interessant.

Beantworten Sie die Regentropfen-Frage aus physikalischer Sicht mit sinnvollen Annahmen.

Aufgabe: Schräger Wurf mit Luftreibung

Vorbemerkung: Die folgende Aufgabe kann mit leistungsfähigem Kurs auch selbst modelliert werden. Für kurzfristigere Anwendungen steht die fertige Datei für Handhelds (Datei:SchrägerWurf LR SuS HH.tns - leicht abgespeckt) und für den PC (Datei:SchrägerWurf LR SuS.tns) zur Verfügung.

Erstellen Sie ausgehend von obigen Kraftbetrachtungen eine Tabellenkalkulation, mit der die Bewegung eines Körpers beschrieben wird, der unter dem Winkel \alpha, nit der Startgeschwindigkeit v0 und dem Widerstandsbeiwert cw abgeworfen wird. Masse und Querschnittsfläche können von oben übernommen oder ebenfalls als Parameter festgelegt werden.

Hinweis zur Bearbeitung:

  • Die resultierende Reibungskraft wirkt in die Gegenrichtung von \vec v(t) (=tangential zur Flugbahn)
  • Die resultierende Reibungskraft ist proportional zum Betrag von \vec v(t)
  • Zur Berechnung der Bahnkurve verwendet man besser ein modifiziertes Verfahren mit
Mittelwertbildung aus zwei Geschwindigkeitswerten: s_{n} = s_{n-1} + \frac{v_{n-1}+v_{n}}{2}\cdot dt
  • Aus der Reibungskraft wird die Reibungsbeschleunigung gebildet:
 F_R = \frac{1}{2} c_w\cdot A\cdot \rho\cdot v^2 \Rightarrow a_R = \frac{c_w\cdot A\cdot \rho}{2 \cdot m} \cdot v^2

Lösungsmöglichkeit: Schräger Wurf mit Luftreibung

Wie versprochen, hier die TI-Nspire-Dateien:

Für die PC Software mit vielen Zeilen Datei:SchrägerWurf LR SuS.tns Für den HandHeld (nur 40 Zeilen (= schnelleres Rechnen) Datei:SchrägerWurf LR SuS HH.tns

Viel Spaß beim Nachmachen und Ausprobieren!

Aufgabe: Fallschirmsprung

Beim Absprung aus einem Flugzeug bewegt sich der Körper des Springers zunächst horizontal mit der Geschwindigkeit des Flugzeuges. Diese Komponente bewirkt für einen Beobachter am Boden einen (aufgrund des Luftwiderstands abnehmenden) Abdrift in Flugrichtung, der in diesem Modell jedoch vernachlässigt wird, da der Landeort nicht interessiert. Gleichfalls bleiben weitere äußere Einflüsse unbeachtet. Die vertikale Komponente der Geschwindigkeit (beim Absprung gleich 0) resultiert aus dem Fallvorgang. Es wird das für den TT-Ball entwickelte Modell zur Fallgeschwindigkeit angewendet. Es sind hier jedoch zwei Phasen des Fallvorgangs zu beachten, die zunächst einzeln beschrieben, dann aber nur zusammen modelliert werden.

Phase 1 Die Parameter für den fallenden Springer ohne Schirm sind grob abgeschätzt: Luftwiderstandsbeiwert 1,1, Fläche 1,2 m² und die Masse 100 kg. Die Luft habe die Dichte 1,27 kg/m3. Die vertikale Komponente der Anfangsgeschwindigkeit ist 0. Für die Fallbeschleunigung wird 10 m/s2 eingesetzt.

Phase 2 Nach dem Öffnen des Schirmes ändern sich Luftwiderstandsbeiwert 2,2 und Fläche 12 m². Die Anfangsgeschwindigkeit ist 36 m/s und wird in der Berechnung automatisch übernommen.

Phase 1 und 2 zusammen Die Syntax für stückweise definierte Funktionen kann auch auf Folgen angewendet werden. Die Parameter sind leicht variiert, das Darstellungsfenster muss angepasst werden. In der Simulation soll der Schirm nach 15 Sekunden geöffnet werden. Es wird die im Rechner implementierte solange-sonst-Bedingung (when – else) genutzt. Es wird mit 200 Zeitschritten von 0,1 s gearbeitet.

Lösung zum Fallschirmsprung

Die Eingabezeile lautet vollständig:

u1(n)=when(n<150,u1(n-1)+(10-1.2*1.27/200*(u1(n-1))^2)*.1,u1(n-1)+(10-2*12*1.27/200*(u1(n-1))^2)*.1

Da die physikalischen Größen der Randbedingung in den SI-Basiseinheiten gegeben sind, lassen sich die Achsenbezeichnungen entsprechend finden.

Fallschirm 2 Phasen.jpg

Man erkennt, dass sich nach etwa 10 Sekunden eine konstante Fallgeschwindigkeit von 36 m/s einstellt. Die grafische Darstellung lässt auch Teilabschnitte erkennen. Der Fallschirm öffnet sich nach 15 s. Nach etwa weiteren 1,5 Sekunden sinkt der Springer mit Schirm nun etwa 8 m/s schnell. Dies wäre umgangsprachlich ein gewaltiger Ruck. Der Vorgang des allmählichen Öffnens ist hier jedoch noch nicht modelliert. Dazu müsste die Fläche in kurzer Zeit von etwa einem auf 12 m² anwachsen. Bewerten Sie das Ergebnis. Variieren Sie ggf. einzelne Bedingungen. Eine weitere Möglichkeit wäre, die horizontale Komponente der Geschwindigkeit beim Absprung zu beachten.



Benutzte Technologie: TI-Nspire CAS