Kernphysik

Übung zum Zerfallsgesetz 1

Thema/Anforderungen

Thema: Kernphysik

Sekundarstufe: I/II

EPA-Sachgebiet: Materie

Kompetenzen:

Kommunikation/AB I: Darstellen von Sachverhalten in verschiedenen Darstellungsformen

Fachmethoden/ABII: Gewinnen von mathematischen Abhängigkeiten aus Messdaten

Aufgabe

Ein Element der Thoriumreihe ist Radon-220. Mittels eines Zählrohrs wurden bei einer abgeschirmten Probe dieses Gases folgende Messdaten festgestellt.

Zeit in s	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50
Zählrate in Imp/s	235	221	207	195	183	172	162	152	143	134

Aufgabe 1

Stellen Sie den Zerfall grafisch dar.

Aufgabe 2

Ermitteln Sie aus einer geeigneten grafischen Darstellung die Halbwertszeit und die Zerfallskonstante von Radon-220 sowie die Zählrate zum Zeitpunkt t=0. Stellen Sie den Graf der so gewonnenen Funktion der Zählraten in Abhängigkeit von der Zeit im Diagramm aus Aufgabe 1 dar.

Lösungsvorschlag

Benutzte Technologie: TI-Nspire

Zu Aufgabe 1

Beschreibung	Abbildung
sollte natürlich per Hand beherrscht werden dauert bei umfangreicheren Messtabellen einige Zeit Halbwertszeit lässt sich nur ungenau ablesen ein Nachweis, dass sie Messwerte überhaupt dem Zerfallsgesetz entsprechen erfolgt nicht für genauere grafische Auswertungen ist ein ln(Zählrate)-Zeit-Diagramm nötig

Zu Aufgabe 2

Beschreibung	Abbildung
Berechnung von ln(Zählrate) in der Tabellenkalkulation Regression für die Geradengleichung $\ln(Z) = - \lambda * t + \ln(Z_0)$ Regressionen müssen als Hilfsmittel nicht tabu sein, wenn zumindest einmalig über „die Mathematik dahinter“ gesprochen wird die Regressionsfunktion kann gespeichert und zur Lösung weiterer Probleme benutzt werden (Einheitenproblem sollte generell geklärt sein)
ln(Zählrate)-Zeit-Diagramm:
Übertragen von Anstieg und y-Abschnitt der Geraden Berechnen der Zerfallskonstante (0,012443 1/s) und der Halbwertszeit (55,7s)
Berechnen der Zählrate zum Zeitpunkt 0 (250 Imp/s)
Darstellen der Funktion $Z(t) = Z_0 e^{-\lambda t}$

Thema/Anforderungen

Thema: Kernphysik

Sekundarstufe: II

EPA-Sachgebiet: Materie

Kompetenzen:

Fachmethoden/AB II:

• Nutzen von Modellbildungssystemen zur Überprüfung oder zur graphischen Veranschaulichung physikalischer Abhängigkeiten
• mathematisches Beschreiben physikalischer Phänomene

Fachmethoden/AB III:

• Entwickeln eigener Fragestellungen bzw. sinnvolles Präzisieren einer offenen Aufgabenstellung
• Entwickeln neuer Modellelemente mit einem Modellbildungssystem

Aufgabe

Modellieren Sie den Zerfall einer radioaktiven Substanz (Muttersubstanz) der Halbwertszeit th_M, wobei die bei diesem Zerfall entstehende Tochtersubstanz wiederum radioaktiv ist. Diese zerfalle mit der Halbwertszeit th_T in eine dritte Substanz (Enkel), die stabil ist. Untersuchen Sie, unter welchen Bedingungen der Zerfall der Tochtersubstanz vernachlässigt werden kann.

Lösung

Benutzte Technologie: TI-Nspire CAS

Diese Näherung kann in einer Tabellenkalkulation umgesetzt werden. Definiert man die Halbwertszeiten als frei veränderbare Variablen, lässt sich der Einfluss des Verhältnisses der beiden Halbwertszeiten auf die zeitliche Entwicklung der Teilchenzahlen untersuchen. Eine Bearbeitung ohne eine Tabellenkalkulation ist nur theoretisch denkbar.

2. Bearbeitung mit TI-Nspire CAS

• Erstellen eines neuen Dokumentes, Calculator hinzufügen, Definition der Halbwertszeiten und der Schrittweite:

• Lists & Spreadsheets hinzufügen, Listennamen festlegen, Eingabe der Anfangswerte für die Zeit und die Stoffmengen (Mutter, Tochter, Enkel)
• Ausfüllen der Zeitliste, z.B.: 40 Werte
• Zelle A2 kopieren(CTRL-C), Zellen A3 bis A41 markieren und einfügen (CTRL-V)
• Teilchenanzahl der Muttersubstanz

• Teilchenanzahl der Tochtersubstanz
• Teilchenanzahl der Enkelsubstanz
• Grafische Darstellung der Ergebnisse: Graphs & Geometry hinzufügen, Streuplot einstellen, Definition von drei Plots
• Ergebnis für t_(h_T)=5 Zeiteinheiten:

• Simulation durch Verändern der Halbwertszeit der Tochtersubstanz,Schieberegler einfügen
• Ergebnis für t_(h_T)=1,0 Zeiteinheiten:

Fazit: Verändert man, die anfangs gemachten Einstellungen und ändert auch die Schiebereglereinstellungen, zeigt sich schnell: Wenn sich die Halbwertszeiten von Mutter- und Tochtersubstanz etwa um den Faktor 100 unterscheiden, kann bereits davon ausgegangen werden, dass die Stoffmenge Tochtersubstanz z.B. nach einer Halbwertszeit praktisch keine Rolle mehr spielt.

Absorptionsmessungen mit der Schulröntgeneinrichtung

Wasserschichten unterschiedlicher Dicke sowie verschiedene Materialien werden von monochromatischer Röntgenstrahlung durchstrahlt und ihr Absorptionsvermögen wird gemessen.

Thema/Anforderungen

Thema: Kernphysik

Sekundarstufe: II

EPA-Sachgebiet: Materie

Aufgabe

Eine in unterschiedlich breite Kammern unterteilte Küvette wird mit Wasser gefüllt und in den monochromatisierten Strahlengang gestellt. Mit einem Geiger-Müller-Zählrohr werden die Impulse hinter der Küvette über einen Zeitraum von 10 s dreimal gemessen.

Es ergibt sich die folgende Tabelle:

ohne Wasser	1,5 mm Wasser	3 mm Wasser	10 mm Wasser
1433	1333	1209	859
1423	1319	1213	858
1424	1325	1217	867

a. Führe eine exponentielle Regression durch und bestimme den Absorptionskoeffizienten $\mu$ von Wasser!
b. Wie dick muß eine Wasserschicht sein, damit gerade die Hälfte der Röntgenstrahlung absorbiert wird?
c. Die Abhängigkeit von $\mu$ von der Ordnungszahl Z läßt sich durch eine quadratische Regression annähern. Bestimme für die unten aufgeführten Stoffe $\mu$ sowie die Gleichung der Regression!

Luft	0,5 mm Polystyrol ( Z $_{C}$ =6 )	0,5 mm Aluminium ( Z $_{Al}$ = 13 )	2,0 mm Gefäßwand (Plastik)
1518	1492	1150	1433
1528	1480	1156	1423
1519	1508	1142	1424

d. Was fällt beim Plastikgefäss auf? Begründe!
e. Erläutere anhand des Graphen der Regression, warum der Wert von $\mu$ für Wasser so ungewöhnlich ist, und versuche eine Erklärung! Wasserstoff Z $_{H}$ = 1 Sauerstoff Z $_{O}$ = 8

Lösung

a. Daten in den nspire bei lists&..eingeben und darstellen lassen. Legt man N $_{0}$ = N( d = 0 ) fest, so kann man eine exponentielle Regression anpassen durch Variation des Koeffizienten im Exponenten bzw. durch Ziehen des Graphen. Eine gute Anpassung ist z.B.
$N(d)=1427 \cdot e^{-0,5 \cdot d}$
Für Wasser ist $\mu$= 0,05 1/mm.

b. Es ist $d_\frac{1}{2} = \frac{ln 2}{o,o5} mm = 13,9 mm$
c. Mittelwert Luft: 1522 = N$_0$
Damit ist $\mu = - \frac{ln(\frac{N}{N_0})}{d}$
Für Polystyrol: $\mu$ = 0,038 1/mm (Z = 6)
Für Aluminium: $\mu$ = 0,56 1/mm (Z = 13)
Für Plastik: $\mu$ = 0,033 1/mm
Ausgehend von $\mu$(Z=0) = 0 kann man durch Variation des Koeffizienten in $\mu$(Z)=a·Z² eine Regression bestimmen, die jedoch nicht so recht überzeugend ist.
Eine mögliche Regressionsgleichung wäre: $\mu(Z) = 0,003 \cdot Z^2$

d. Die Absorptionskoeffizienten von Polystyrol und Plastik müssen ungefähr gleich sein, da beides Kunststoffe auf Kohlenstoffbasis sind.
e. Für Wasser war $\mu$= 0,05 1/mm. Das ist deutlich größer als für Wasserstoff ($\mu$= 0,003 1/mm) bzw. deutlich kleiner als für Sauerstoff ($\mu$= 0,192 1/mm). Der Wert für Wasser könnte sich dadurch erklären, dass die Wassermoleküle nicht so dicht gepackt sind.

Übung zur Bestimmung der Halbwertsdicke 1

In der folgenden Übung sollen die Schüler mit Hilfe des TI-Nspire CAS eine geeignete Kalkulationstabelle für das vorgegebene Problem erstellen, die dazu notwendigen Berechnungen durchführen und den geforderten Zusammenhang graphisch darstellen. Danach erfolgen mehrere Berechnungen. Diese Übung ähnelt herkömmlichen Übungen zur Thematik „Absorption von Radioaktiven Strahlungen“, wie sie auch ohne CAS bzw. GTR durchgeführt werden können, würde dann aber einen wesentlich höheren Zeitaufwand benötigen.

Thema/Anforderungen

Thema: Absorption von γ-Strahlung an Blei / Bestimmung des Absorptionskoeffizienten

Sekundarstufe: II

EPA-Sachgebiet: Materie

Erstellen einer Kalkulation, Durchführen von Berechnungen, Erstellen einer Graphik

Fachmethoden/AB I:

• Durchführung von Berechnungen

Fachmethoden/AB II:

• Graphischen Veranschaulichung physikalischer Abhängigkeiten
• Auswählen und Verknüpfen von Daten, Fakten und Methoden in einem abgegrenzten Bereich

Aufgabe

Mit Hilfe der γ- Strahlung eines ${}^{137}_{55}\mathrm{Cs}$ - Präparats soll die Absorption der Strahlung an Bleiplatten der vorgegebenen Dicke d untersucht werden. Der Nulleffekt (die Nullrate) beträgt ohne Präparat 509 Impulse in 30 Minuten. Es werden folgende Werte gemessen:

d in mm	5	10	15	20	25	30	40
Zählrate Imp. pro min	869	492	310	167	95	61	33

1. Korrigieren Sie die gemessene Zählrate um den Nulleffekt (die Nullrate) und stellen Sie den Zusammenhang zwischen der Messrate und der Dicke des Absorbers graphisch dar!

2. Welche Messrate würde man ohne Absorber $d=0$ feststellen können?

3. Bestimmen Sie die Halbwertsdicke $d_{1/2}$ und berechnen Sie den Absorptionskoeffizienten für Blei!

Datentabellen

Grafiken

1. Um die Messrate für d = 0 zu bestimmen, wird eine Exponential-Regression durchgeführt. Als Regressionsgleichung ergibt sich: $y=1508,23\cdot(0,890925)^x$.

2. Daraus folgt: $I_{(d=o)}=1508,23\cdot(0,890925)^0=1508,23\cdot(1)\approx1508$

3. Aus $x=d_{1/2}$ folgt: $754=1508\cdot(0,890925)^x$. Daraus ergibt sich: $x=-8,63838\cdot\ln(\frac{754}{1508})=-8,63838\cdot\ln(\frac{1}{2})=6,00153$

Die Halbwertsdicke beträgt also ca. 6,0 mm.

Übungsaufgabe zur Halbwertsdicke 2

Thema/Anforderungen

Thema: Kernphysik

Sekundarstufe: II

EPA-Sachgebiet: Strahlungsabsorption

Kompetenzen: Berechnungen, Tabellenkalkulation, Erstellen einer Graphik

Fachmethoden/AB I: Berechnungen

Fachmethoden/ABII: Erstellen einer Tabellenkalkulation, Erstellen einer Graphik

Aufgabe: Halbwertsdicke von Blei

Gammastrahlung wird beim Durchgang durch Materie geschwächt. Die jeweilige Intensität I wird als Anzahl der Gammaquanten gemessen, die pro Minute und Flächeneinheit auf die Schicht der Dicke ∆x einfallen. Für monoenergetische Strahlung gilt dabei, dass die Intensitätsabnahme ∆I in kleinen Schichtdicken zu der Intensität I und der Schichtdicke ∆x proportional ist. Als Ergebnisse erhält man:

1) Nulleffekt: 24 Impulse pro Minute

2) Absorptionsmessung:

Dicke in mm	0	1,6	3,9	5,5	7,8
Zählrate	973	869	734	676	553

a) Leiten Sie aus diesen Annahmen das Absorptionsgesetz für Gammastrahlung her.

b) Entwickeln Sie eine Beziehung zwischen dem Absorptionskoeffizienten und der Halbwertsdicke, das ist die Dicke, die die Gammastrahlung zur Hälfte absorbiert.

c) Bestimmen Sie aus einem x-I-Diagramm den Absorptionskoeffizienten von Blei.

d) Wie groß ist im durchgeführten Experiment die Halbwertsdicke von Blei?

e) Die γ-Quanten haben pro Quant eine Energie Wγ = 1,332 MeV. Berechnen Sie, ob seine Energie zur Bildung eines Elektron-Positron-Paares ausreicht.

Lösung

Benutzte Technologie: TI-Nspire CAS

Die TI-Nspire Datei zum Runterladen: Datei:Halbwertsdicke.tns

Siehe auch

• Exponentieller Zerfall: Simuliert mit Würfeln
• verfügbare Sensoren