schräger Wurf mit Luftwiderstand

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Bewegungen mit Luftwiderstand

oder: Warum wird man von einem aus 400m Höhe fallenden Regentropfen nicht erschlagen?


Die Behandlung von Reibungskräften kommt im herkömmlichen Physikunterricht deutlich zu kurz - In der Regel wird (für Schüler oft unverständlich) die Bewegung reibungsfrei "idealisiert" und die Reibung weggelassen. Obwohl sie doch immer da ist...

Realsituationen können durch mathematische Modellierung einer physikalische Untersuchung zugänglich gemacht werden. In dieser Aufgabe stehen Bewegungsvorgänge mit Luftwiderstand im Mittelpunkt.

Aufgabe: Der fallende Tischtennisball

Ein TT-Ball soll aus der Ruhe fallengelassen werden. Untersuchen Sie, wie sich seine Geschwindigkeit ändert. Entwickeln Sie aus einem Kraftansatz ein einfaches Modell.

Infobox
Bewegt sich ein realer Körper, wird er von der Luft umströmt, die ihm damit in Bewegungsrichtung eine Kraft entgegensetzt. Die Abhängigkeit dieser Luftwiderstandskraft lässt sich näherungsweise mit den Faktoren Gesamtwiderstandsbeiwert, wirksame Querschnittsfläche, Dichte des Mediums Luft sowie Geschwindigkeit im Medium  F_R = \frac{1}{2} c_w\cdot A\cdot \rho\cdot v^2 modellhaft beschreiben.

Beim Fall wirken zwei Kräfte einander entgegen, die Gewichtskraft und die Luftwiderstandskraft. Der Auftrieb wird vernachlässigt. Die Beschleunigung des Balles erfolgt durch die resultierende Kraft. Daraus ergibt sich die spezielle Bewegungsgleichung.


 F_{res}=F_G-F_L
 m \cdot a = m \cdot g-\frac{1}{2} c_w\cdot A\cdot \rho\cdot v^2


Dabei ist der Luftwiderstandsbeiwert von der Form des Körpers abhängig; die Querschnittsfläche des Balles und die Masse sind messbar. Die Dichte der Luft ist bekannt und ebenfalls konstant. Die Beschleunigung und die Geschwindigkeit sind zeitlich veränderlich, also momentane Werte.


a(t) = g - \frac{c_w \cdot A \cdot \rho}{2 \cdot m} \cdot v(t)^2


Als Näherungslösung einer solchen Differentialgleichung betrachten wir ein hinreichend kleines Zeitintervall \Delta t.


\frac{\Delta v}{\Delta t} = g - \frac{c_w \cdot A \cdot \rho}{2 \cdot m}\cdot v(t)^2


\Delta v = \left( g - \frac{c_w \cdot A \cdot \rho}{2 \cdot m}\cdot v(t)^2 \right) \Delta t


Nehmen Sie geeignete Randbedingungen an. Für den TT-Ball sei der Luftwiderstandsbeiwert 0,45 (Kugel), die Querschnittsfläche 0,00126 m² (Radius 0,02 m) und die Masse 0,002 kg. Die Luft habe die Dichte 1,27 kg/m3. Die Anfangsgeschwindigkeit ist 0. Für die Fallbeschleunigung wird 9,81 m/s2 eingesetzt.

Möglicher Lösungsweg zu Aufgabe

Man kann im Nspire unter "Graphs & Geometry" Folgen definieren. Dazu werden zunächst mittels zweier Schieberegler der Widerstandsbeiwert c_w und dt für die Schrittweite definiert. So lassen sich beide Größen leicht variieren und die Änderungen beobachten. Bei Bedarf können natürlich auch die Querschnittsfläche, Dichte und Masse als Parameter übergeben werden.

Aus Sicht der Mathematik und für leistungsfähigere Kurse wäre natürlich an dieser Stelle auch der Einfluss von dt interessant.

Beantworten Sie die Regentropfen-Frage aus physikalischer Sicht mit sinnvollen Annahmen.

Aufgabe: Schräger Wurf mit Anfangshöhe

Aufgabe: Fallschirmsprung

Beim Absprung aus einem Flugzeug bewegt sich der Körper des Springers zunächst horizontal mit der Geschwindigkeit des Flugzeuges. Diese Komponente bewirkt einen aufgrund des Luftwiderstands abnehmenden Abdrift, wird in diesem Modell aber vernachlässigt, da der Landeort nicht interessiert. Die vertikale Komponente der Geschwindigkeit (beim Absprung gleich 0) resultiert aus dem Fallvorgang, für den das für den TT-Ball entwickelte Modell angewendet wird. Es sind jedoch zwei Phasen des Fallvorgangs zu beachten. Phase 1

Die Parameter für den fallenden Springer ohne Schirm sind grob abgeschätzt: Luftwiderstandsbeiwert 1,1, Fläche 1,2 m² und die Masse 100 kg. Die Luft habe die Dichte 1,27 kg/m3. Die vertikale Komponente der Anfangsgeschwindigkeit ist 0. Für die Fallbeschleunigung wird 10 m/s2 eingesetzt. Man erkennt, dass nach etwa 10 Sekunden sich eine konstante Fallgeschwindigkeit von 33 m/s einstellt. Die grafische Darstellung lässt auch Teilabschnitte erkennen.


Phase 2 Nach dem (hier plötzlichen) Öffnen des Schirmes ändern sich Luftwiderstandsbeiwert 2,2 und Fläche 12 m². Die Anfangsgeschwindigkeit ist 33 m/s. Nach etwa 1,5 Sekunden sinkt der Springer mit Schirm nun etwa 8 m/s schnell. Diese Werte sind realistisch. Der Vorgang des Öffnens ist jedoch nicht modelliert. Dazu müsste die Fläche in kurzer Zeit von etwa einem auf 12 m² anwachsen. Übung: 1. Sinkgeschwindigkeit verringern, 2. horizontale Komponente der Geschwindigkeit beim Absprung beachten

Phase 1 und 2 zusammen Die Syntax für stückweise definierte Funktionen kann offensichtlich auch auf Folgen angewendet werden. Die Parameter sind leicht variiert, das Darstellungsfenster muss neu angepasst werden. In der Simulation soll der Schirm nach 15 Sekunden geöffnet werden. Es wird die im Rechner implementierte solange-sonst-Bedingung (when – else) genutzt. Die Eingabezeile lautet vollständig:

u1(n)=when(n<150,u1(n-1)+(10-1.2*1.27/200*(u1(n-1))^2)*.1,u1(n-1)+(10-2*12*1.27/200*(u1(n-1))^2)*.1




(1) Taschenrechnermodus, Tabellenkalkulation (2)

Bewerten Sie das Ergebnis. Variieren Sie ggf. einzelne Bedingungen.


Und später...

Mit der Nspire-Datei können Schülerinnen und Schüler selbständig mit den theoretischen Einflüssen der Reibung auf die Bewegungsgrößen und die Bahnkurve experimentieren und so einen Zugang zur Luftreibung erhalten. Die Fragestellungen sind auch auf dem Handheld gestellt.



Benutzte Technologie: TI-Nspire CAS