Schüler für Schüler 4

aus ZUM-Wiki, dem Wiki für Lehr- und Lerninhalte auf ZUM.de
Wechseln zu: Navigation, Suche
Kurzinfo
GadApedia.jpg
Diese Seite gehört zur GadApedia.

Inhaltsverzeichnis

Zwei Aufgaben mit Lösung zur Linearen Algebra

von V.W. und M.S.

→ GadApedia/Lineare Algebra mit Kärtchen

Die erste Truppe

von V.W. und M.S. gemeinsam.

Elefant.JPG Schiff.JPG

In der Truppe befinden sich nur E Elefanten und G Galeonen. Jeder Elefant hat einen Angriffswert von 5 und kostet 5. Jede Galeone hat einen Angriffswert von 1 und kostet 9. Die Truppe hat einen Gesamt-Angriffswert von 15 und kostet 55.

Möglichkeiten, die Truppe zu erraten

Man soll nun herausbekommen, wieviele Elefanten und Galeonen in der Truppe sind.

Das kann man herausfinden

  1. durch Ausprobieren oder
  2. mit Hilfe der Umkehrmatrix oder
  3. man verwendet ein lineares Gleichungssystem und löst es.

Die Umkehrmatrix für die erste Truppe

Die Gleichung für die Truppe ist:

\begin{pmatrix} 
 5 & 1 \\ 5 & 9 
 \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix} 
 E \\ G
 \end{pmatrix} = 
 \begin{pmatrix} 
 15 \\ 55
 \end{pmatrix}

Allgemein ist die Umkehrmatrix M^{-1}zu einer Matrix M=\begin{pmatrix} 
 a & b \\ c & d 
 \end{pmatrix}

Um die Lösung zu erhalten, braucht man nur die obige Gleichung für die erste Truppe mit der Umkehrmatrix von links zu multiplizieren, denn dann heben sich Umkehrmatrix und Matrix auf, d.h. M^{-1} M \begin{pmatrix} 
 E \\ G
 \end{pmatrix} = 1 \begin{pmatrix} 
 E \\ G
 \end{pmatrix} = M^{-1} \begin{pmatrix} 
 15 \\ 55
 \end{pmatrix}


Jetzt mit Hilfe dieser Umkehrmatrix die Lösung für E und G ermitteln:

Die zweite Truppe

Von M.S.

Soldat.JPG Elefant.JPG

In der Truppe befinden sich nur S Soldaten und E Elefanten. Jeder Soldat hat einen Paradeswert von 4 und einen Transportwert von 1. Jeder Elefant hat einen Paradewert von 2 und einen Transportwert von 3.

Die Truppe hat einen Gesamt-Paradewert von 22 und einen Gesamt-Transportwert von 18.

Die Umkehrmatrix für die zweite Truppe

Die Gleichung für die erste Truppe ist:

\begin{pmatrix} 
 4 & 2 \\ 1 & 3 
 \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix} 
 S \\ E
 \end{pmatrix} = 
 \begin{pmatrix} 
 22 \\ 18
 \end{pmatrix}

Um die Lösung zu erhalten, braucht man nur die obige Gleichung für die zweite Truppe mit der Umkehrmatrix von links zu multiplizieren, denn dann heben sich Umkehrmatrix und Matrix auf, d.h. M^{-1} M \begin{pmatrix} 
 S \\ E
 \end{pmatrix} = 1 \begin{pmatrix} 
 S \\ E
 \end{pmatrix} = M^{-1} \begin{pmatrix} 
 22 \\ 18
 \end{pmatrix}


Jetzt mit Hilfe dieser Umkehrmatrix die Lösung für S und E ermitteln: