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Inhaltsverzeichnis

Zwei Aufgaben mit Lösung zur Linearen Algebra

von A.K.

→ GadApedia/Lineare Algebra mit Kärtchen

Die erste Truppe

Elefant.JPG Soldat.JPG

In der Truppe befinden sich nur E Elefanten und S Soldaten. Jeder Elefant hat einen Angriffswert von 5 und einen Transportwert von 3. Jeder Soldat hat einen Angriffswert von 0 und einen Transportwert von 1. Die Truppe hat einen Gesamt-Angriffswert von 35 und einen Gesamt-Transportwert von 28.

Möglichkeiten, die Truppe zu erraten

Man soll nun herausbekommen, wieviele Elefanten und Soldaten in der Truppe sind.

Das kann man herausfinden

  1. durch Ausprobieren oder
  2. mit Hilfe der Umkehrmatrix oder
  3. man verwendet ein lineares Gleichungssystem und löst es.

Die Umkehrmatrix für die erste Truppe

Die Gleichung für die erste Truppe ist:

\begin{pmatrix} 
 5 & 0 \\ 3 & 1 
 \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix} 
 E \\ S
 \end{pmatrix} = 
 \begin{pmatrix} 
 35 \\ 28
 \end{pmatrix}

Allgemein ist die Umkehrmatrix M^{-1}zu einer Matrix M=\begin{pmatrix} 
 a & b \\ c & d 
 \end{pmatrix}

Um die Lösung zu erhalten, braucht man nur die obige Gleichung für die erste Truppe mit der Umkehrmatrix von links zu multiplizieren, denn dann heben sich Umkehrmatrix und Matrix auf, d.h. M^{-1} M \begin{pmatrix} 
 E \\ S
 \end{pmatrix} = 1 \begin{pmatrix} 
 E \\ S
 \end{pmatrix} = M^{-1} \begin{pmatrix} 
 35 \\ 28
 \end{pmatrix}


Jetzt mit Hilfe dieser Umkehrmatrix die Lösung für E und S ermitteln:

Die zweite Truppe

Schiff.JPG Katapult.JPG

In der Truppe befinden sich nur G Galeonen und K Katapulte. Jede Galeone hat einen Angriffswert von 1 und einen Transportwert von 12. Jeder Katapult hat einen Angriffswert von 8 und einen Transportwert von 1. Die Truppe hat einen Gesamt-Angriffswert von 29 und kostet 63.

Die Umkehrmatrix für die zweite Truppe

Die Gleichung für die zweite Truppe ist:

\begin{pmatrix} 
 1 & 8 \\ 12 & 1 
 \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix} 
 G \\ K
 \end{pmatrix} = 
 \begin{pmatrix} 
 29 \\ 63
 \end{pmatrix}

Um die Lösung zu erhalten, braucht man nur die obige Gleichung für die erste Truppe mit der Umkehrmatrix von links zu multiplizieren, denn dann heben sich Umkehrmatrix und Matrix auf, d.h. M^{-1} M \begin{pmatrix} 
 G \\ K
 \end{pmatrix} = 1 \begin{pmatrix} 
 G \\ K
 \end{pmatrix} = M^{-1} \begin{pmatrix} 
 29 \\ 63
 \end{pmatrix}


Jetzt mit Hilfe dieser Umkehrmatrix die Lösung für G und K ermitteln: