Nullstelle durch Newtonverfahren annähern

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Nullstelle durch Newtonverfahren annähern

Manchmal bietet es sich an, eine Nullstelle durch das Newtonverfahren zu ermittleln. Als Beispiel erkennen wir aus dem Graphen von Cos(x), dass sich in der Nähe von x_0=1,5 eine Nullstelle befindet: Tangente an Cos1k5.JPG

Die Strategie ist folgende: Man nimmt an, dass die Funktion in der Nähe der Nullstelle wie eine Gerade aussieht! Diese Gerade ist im Bild oben Magentafarben eingezeichnet. Warum hilft das?

Wie bekomme ich diesen Punkt A auf der Geraden?

Die Gerade ist die Tangente an der Funktion an der Stelle x=1,5. Die Tangentensteigung dort ist ja die Ableitung der Funktion an der Stelle 1,5. Also ist m=f '(1,5)=-Sin(1,5)=-0,997 Wir müssen die Verhältnisse genauer unter die Lupe nehmen, das Dreieck im Bild oben ist zu klein dafür. Also Tangente an Cos1k5mLUPE.JPG

Man erkennt hier schon: Der Unterschied zwischen der Cos-Funktion und der Tangente ist so gering, dass man ihn im Graphen nicht mehr sieht. Entsprechend gut ist die neue Nullstelle, die wir x0 und {\Delta x} erhalten, dafür brauchen wir aber erst einmal das {\Delta x}, das bekommen wir aber durch Umformung der Tangentensteigung:

m=\frac{\Delta y}{\Delta x}= -0,997

Das lösen wir nach \Delta x auf

{\Delta x}= 
\frac{\Delta y}{-0,997} Jetzt nutzen wir, dass \Delta y der Funktionswert an der Stelle x_0 ist, also Cos(x_0)=Cos(1,5)\approx 0,070737. Im Graphen sieht man, dass man diese blau eingezeichnete Strecke nach unten gehen muss, deshalb kommt noch ein Minuszeichen hinzu: \Delta y\approx -0,070737

Einsetzen in die Gleichung für \Delta x ergibt: {\Delta x}= \frac{-0,070737}{-0,997}\approx 0,07095

Damit ist die rote Strecke bestimmt und der neue Näherungswert x_1 für die Nullstelle ist einfach

x_1=x_0+0,07095=1,5+0,07095=1,57095 Das wäre geschafft! Der Funktionswert f(x_1)=Cos(1,57095)\approx -0,0001536 ist jetzt schon sehr sehr nahe an Null, gut!

Damit ist der erste Schritt beendet. Als allgemeine Regel können wir für eine verbesserte Nullstelle notieren:

x_1=x_0+\frac{-f(x_0)}{f '(x_0)}

Um eine noch genauere Näherung zu erhalten, nehmen wir den neu gewonnenen x-Wert x_1 als Startwert, und nutzen genau die selbe Berechnungsmethode, um einen noch besseren x-Wert x_2 zu erhalten. Ganz analog ergibt sich damit: x_2=x_1+\frac{-f(x_1)}{f '(x_1)} Jetzt noch die konkreten Zahlenwerte einsetzen: x_2=1,57095+\frac{-Cos(1,57095)}{-Sin(1,57095)}=1,57095-0,000153673=1,570796327 Das ist jetzt schon so genau, dass selbst mein Taschenrechner für Cos(1,570796327) keinen Unterschied mehr zur 0 findet. Bei anderen Funktionen als Cos(x) oder anderen Startwerten als x_0=1,5 für Cos(x) funktioniert die Annäherung an die Nullstelle i.A. nicht so gut, dann muss man eben dieses Verfahren noch öfter durchführen, erhält x_1, x_2 ,x_3 ,x_4 usw. und immer aus x_n erhält man x_{n+1}. Die Formel dafür ist immer dieselbe:

x_{n+1}=x_n+\frac{-f(x_n)}{f '(x_n)}

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