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Übung mit k

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Kurzinfo
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Du solltest Dich mit dem Newtonverfahren auskennen, bevor Du diese Aufgabenserie erzeugst und löst.

Zur Schreibweise: x_0=x_0, x_1=x_1 und x_2=x_2

Wenn Dir im Unterricht ein individueller Wert k gegeben wurde, der von Schüler zu Schüler unterschiedlich ist, dann sind hier individuell gestellte Aufgaben zu Deinem Wert k. Sinnvolle Werte für k liegen im Bereich von 3 bis 40. Diesen Wert k musst Du hier eingeben:

<shtml hash="0d60ff131c666ddac4736ab1f313b7a4"><meta http-equiv="content-type" content="text/html; charset=ISO-8859-1"> <script type="text/javascript"> function NewtonverfahrenAufgabestellen () { k = parseFloat(document.getElementById("zahl").value); if (isNaN(k)) { document.getElementById("ergebnis10").firstChild.data = "Bitte gib eine gültige Zahl ein!"; } else { zx = (4+k*0.2); document.getElementById("ergebnis10").firstChild.data = "Aufgabe: Sei f(x)= x³-" + zx + " x-10"; } } </script> </head> <body>

<label>Bitte Deine Zahl k eingeben: <input type="text" id="zahl" size="4"></label>

<input type="button" value="Erzeuge eine Aufgabe zum Newtonverfahren!" onclick="NewtonverfahrenAufgabestellen()">

Aufgabe 1:

Berechne ausgehend von x_0 = 3 nach dem Newtonverfahren die nächsten Näherungswerte für die Nullstelle, also x_1 und x_2 . Notiere diese jetzt auf einem Blatt Papier. Danach darfst Du vergleichen mit der Lösung: </body></shtml> <shtml hash="768f5658dbcb5258d62562e4e9e2569c"><meta http-equiv="content-type" content="text/html; charset=ISO-8859-1"> <script type="text/javascript"> function ComputerBerechnetx1x2 () { f3 = 3*3*3-zx*3-10; fs3= 3*3*3-zx; x1 = 3- f3/fs3; fx1= x1*x1*x1-zx*x1-10; fsx1=3*x1*x1-zx; x2 = x1-fx1/fsx1; fx2 =x2*x2*x2-zx*x2-10; fsx2=3*x2*x2-zx; x3 = x2-fx2/fsx2; fx3 =x3*x3*x3-zx*x3-10; fsx3=3*x3*x3-zx; x4 = x3-fx3/fsx3; fx4 =x4*x4*x4-zx*x4-10; fsx4=3*x4*x4-zx; x5 = x4-fx4/fsx4; fx5 =x5*x5*x5-zx*x5-10; document.getElementById("ergebnis11").firstChild.data ="x1 = "+x1; document.getElementById("ergebnis12").firstChild.data ="x2 = "+x2; document.getElementById("ergebnis13").firstChild.data ="f(x2) ="+fx2; document.getElementById("ergebnis14").firstChild.data ="f(x0) ="+f3; document.getElementById("ergebnis15").firstChild.data ="f'(x0) ="+fs3; document.getElementById("ergebnis16").firstChild.data = "f(x1) ="+fx1; document.getElementById("ergebnis17").firstChild.data = "f'(x1) ="+fsx1; document.getElementById("ergebnis18").firstChild.data = "x3 = "+x3; document.getElementById("ergebnis19").firstChild.data = "x4 = "+x4; document.getElementById("ergebnis20").firstChild.data = "x5 = "+x5; document.getElementById("ergebnis21").firstChild.data = "f(x5) = "+fx5; } </script> </head> <body>

<input type="button" value="Computer berechne das Ergebnis!" onclick="ComputerBerechnetx1x2()">

Ergebnis:

Ergebnis:

Ergebnis:

Man sieht: mit x_2 ist man einer Nullstelle von f schon ziemlich nahe gekommen. Würde man das Newtonverfahren weiter betreiben, so käme man noch näher heran. Und hier noch ein paar Zwischenergebnisse:

Ergebnis:

Ergebnis:

Ergebnis:

Ergebnis:

Und zum Schluss für sehr interessierte Schüler noch einige weitere Schritte im Newtonverfahren zum Nachrechnen:

Ergebnis:

Ergebnis:

Ergebnis:

Ergebnis:

</body></shtml>