Quadratische Gleichungen lösen

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Wie sieht es aus?

Eine Parabel kann keinen oder zwei Schnittpunkte mit der x-Achse haben, oder sie berührt die x-Achse mit ihrem Scheitelpunkt. Dementsprechend hat eine quadratische Gleichung keine, zwei oder genau eine reelle Lösung:

Dreiparabeln.JPG

Wenn man keinen Funktionsgraphen vorliegen hat, und dennoch die Nullstellen der Funktion wissen möchte, also diejenigen x-Werte herausfinden will, für die f(x)=0 gilt, so ist das unglaublich einfach, wenn man die Funktion als Produkt zweier Linearfaktoren kennt. Z.B:

f(x)= (x-2)\cdot (x-4)

denn ein Produkt ist dann gleich Null, wenn einer der Faktoren Null ist! Die erste Klammer im Beispiel ist Null, wenn x=2 ist, die zweite Klammer ist Null, wenn x=4 ist. Schon haben wir die Lösungen dieser Gleichung: 2 und 4. Formal korrekt aufgeschrieben ist die Lösungsmenge

\mathbb L=\{ 2; 4  \}

Ganzzahlige Lösungen raten

Bei ganzzahligen Lösungen kann man das Produkt der Linearfaktoren auch oft durch geschicktes Hinschauen ermitteln, denn

 (x-a)\cdot (x-b)= x^2-(a+b)\cdot x +a\cdot b

und wenn man z.B.  x^2-5\cdot x +6 =0 lösen möchte, und probiert ganze Zahlen aus, deren Summe 5 und deren Produkt 6 ist, so kommt man schnell auf die Lösungen 2 und 3.

Hier geht es zu Übungen mit Lösungen, bei denen Du die ganzzahligen Lösungen nach diesem Schema finden kannst: Ganzzahlige Lösungen

Scheitelpunkt und Nullstellen

Wenn die Lösungen nicht ganzzahlig sind, ist ein direktes Ablesen der Lösung i.A. nicht möglich, dann kann man sich aber überlegen, dass der x-Wert des Scheitelpunktes des Funktionsgraphen genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss:

Scheitelpkt Nullstellen.JPG

Der Plan ist:

a) Den x-Wert xs des Scheitelpunktes herausfinden

b) Bestimmen, wie weit man von xs aus nach links bzw. rechts gehen muss, um zur Lösung zu gelangen.

zu a) Der x-Wert des Scheitelpunktes läßt sich mit Hilfe der Umkehrung der binomischen Formeln aus der Gleichung ermitteln:

Sei z.B.

 f(x)=x^2-10\cdot x +12,75

so kann man aus den Binomischen Formeln schliessen, dass der x-Wert xs des Scheitelpunktes bei 5 liegen muss. ( man muss also die -10 durch -2 teilen ) . Allgemein bekommt man xs, wenn man den Term, der vor dem x steht, durch -2 teilt.

Hier kannst Du üben, den x-Wert des Scheitelpunktes des Graphen einer quadratischen Funktion zu ermitteln: Scheitelpunkt finden

zu b)

Lösen von (x-4)²=9

Wissen wir den x-Wert des Scheitelpunktes, z.B. xs=4, so kann man die zu lösende Gleichung immer in der Form (x-4)²=Rest schreiben, wir nehmen als Beispiel:

 (x-4)^2=9

Um nach x aufzulösen, muss man zuerst das Quadrat wegbekommen.

Vorsicht! Beim Wurzelziehen gibt es immer zwei Lösungen, d.h. sowohl 3 mal 3 ist 9, als auch (-3) mal (-3) ist 9.

Die Wurzel von 9 ist 3, also sind die Nullstellen 3 Einheiten rechts bzw. links vom x-Wert 4 des Scheitelpunktes.

 x-4 =\sqrt{9} oder  x-4 =-\sqrt{9}

Auf beiden Seiten der Gleichungen 4 addieren ergibt dann:

 x =4 + \sqrt{9}=4+3=7 oder  x =4 -\sqrt{9} =4-3=1

Die Lösungsmenge für (x-4)²=9 oder für (x-4)²-9=0 ist also \mathbb L=\{ 1; 7  \}

Dementsprechend hat auch der Graph der Funktion f(x)=(x-4)²-9 Nullstellen bei 1 und 7:

ParabelNS1NS7.JPG

Hier kannst Du üben, Lösungen von Gleichungen im Stil von (x-4)^2=9 zu ermitteln: Zwei Lösungen mit Wurzel

Lösen von x²+px+q=0

Wir starten wieder mit einem Beispiel, denn konkrete Zahlen sind anschaulicher als Variablen p und q. Wir betrachten also z.B.

 x^2-5\cdot x +2,25 =0

Um diese Gleichung auf den vorherigen Typ ( wie (x-4)²=9 ) zu überführen, ziehen wir von beiden Seiten der Gleichung 2,25 ab, das ergibt

 x^2-5\cdot x =-2,25 ( * )

Jetzt den Scheitelpunkt ermitteln, das haben wir schon geübt, er liegt bei 2,5 ( die -5 vor dem x durch -2 teilen ) . Also müssen wir irgendwie zur Form

 \left( x-2,5\right) ^2 = Rest gelangen.

Wenn man die linke Seite ausmultipliziert ( d.h. die Klammer wieder auflöst ) dann ist

 \left( x-2,5\right) ^2 = x^2-2\cdot x \cdot 2,5 +2,5^2 = x^2-5\cdot x +2,5^2

Das sieht ja schon fast so aus wie oben in ( * ), nur fehlt der Term 2,5² Wenn er nicht da ist, dann addieren wir ihn einfach hinzu, dann ist er da! Das nennt man Quadratische Ergänzung , wenn man das Quadrat dieses fehlenden Terms auf beiden Seiten der Gleichung ergänzt. Also ergänzen wir die 2,5² in der Gleichung ( * ) auf beiden Seiten. Das ergibt:

 x^2-5\cdot x +2,5^2=2,5^2 -2,25

also ( die linke Seite dieser Gleichung wieder zu einem Produkt verwandeln )

 \left( x-2,5\right) ^2 = 2,5^2 -2,25

Jetzt wie gewohnt die Wurzel, und die Beiden Vorzeichenmöglichkeiten beachten. Das ergibt:

 x-2,5 = \sqrt{2,5^2 -2,25}  oder  x-2,5 = -\sqrt{2,5^2 -2,25}

Zum Schluss noch 2,5 addieren gibt dann die Lösungen

 x = 2,5+ \sqrt{2,5^2 -2,25}  oder  x= 2,5-\sqrt{2,5^2 -2,25}

und die Lösungsmenge angeben: \mathbb L=\{ 0,5 ; 4,5  \}

Du hast gut durchgehalten und bekommst einen kleinen Pokal als Anerkennung für Deine Ausdauer, ausserdem haben wir es uns verdient, die Funktion f(x)=x²-5x+2,25 einmal anzuschauen, tatsächlich erkennen wir die Nullstellen bei 0,5 und 4,5.

Parabelmitpokal.JPG

So haben wir im Beispiel einmal alles durchgerechnet. Anstelle der Zahlen -5 und 2,25 in

 x^2-5\cdot x +2,25 =0

kann man natürlich mit beliebigen anderen Zahlen p und q die gleichen Umformungen betreiben, dann startet man eben bei

 x^2+p\cdot x +q =0

wir ziehen q ab

 x^2+p\cdot x =-q ( * )

und erkennen -p/2 als x-Wert des Scheitelpunktes. Wir brauchen also

 \left( x+\frac{p}{2}\right) ^2 = Rest

wenn man davon die Klammern auflöst, ergibt die linke Seite ( das nennt man übrigens "Binomische Formel" )

 \left( x+\frac{p}{2}\right) ^2 = x^2+2\cdot \frac{p}{2} \cdot x + \left( \frac{p}{2} \right) ^2 = x^2+p \cdot x + \left( \frac{p}{2} \right) ^2

und im Vergleich zur Gleichung ( * ) fehlt wieder nur ein  \left( \frac{p}{2} \right) ^2 , so dass wir diesen fehlenden quadratischen Term einfach auf beiden Seiten von ( * ) ergänzen :

 x^2+p\cdot x +\left( \frac{p}{2} \right) ^2 =\left( \frac{p}{2} \right) ^2 -q

also ( die linke Seite dieser Gleichung wieder zu einem Produkt verwandeln )

 \left( x+\frac{p}{2}\right) ^2 = \left( \frac{p}{2} \right) ^2 -q

Jetzt wie gewohnt die Wurzel, und die Beiden Vorzeichenmöglichkeiten beachten. Das ergibt:

 x+\frac{p}{2} = \sqrt{\left( \frac{p}{2} \right) ^2 -q }  oder  x+\frac{p}{2} = -\sqrt{\left( \frac{p}{2} \right) ^2 -q }

Zum Schluss noch p/2 subtrahieren gibt dann die Lösungsmenge

\mathbb L=\{ -\frac{p}{2} - \sqrt{\left( \frac{p}{2} \right) ^2 -q } ; -\frac{p}{2} + \sqrt{\left( \frac{p}{2} \right) ^2 -q } \}

Falls die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung, da +0 und -0 ja das gleiche Ergebnis gibt. Falls unter der Wurzel eine negative Zahl steht, gibt es keine reelle reelle Lösung, entsprechend einer Parabel, die die x-Achse nicht schneidet.

Ich persönlich empfehle, anstatt die Lösungsformel ( nennt man auch p-q-Formel ) zu benutzen, die Äquivalenzumformungen und die quadratische Ergänzung bei zu lösenden Aufgaben immer durchzuführen. Zu viele Schüler haben schon die Lösungsformel falsch angewendet. Außerdem gibt es noch andere Formen quadratischer Gleichungen, und wenn man sich zu sehr auf die Lösungsformel fixiert, hat man zu wenig Übung im Umgang mit anderen Möglichkeiten.

Hier hätte ich gerne noch 9 Übungsaufgaben, meine Schüler sollen sie erstellen und testen.

Lösen von ax²+bx+c=dx²+ex+f

Jede beliebige Gleichung mit x²,x und Zahlen kann man immer auf den Typ x²+px+q=0 umformen. Hier nur ein Beispiel dafür:

 5\cdot x^2+6\cdot x-20=3\cdot x^2-2\cdot x+5

von beiden Seiten die rechte Seite der Gleichung, also  3\cdot x^2-2\cdot x+5 abziehen ergibt:

 2\cdot x^2+8\cdot x-25=0

das ist schon fast die gesuchte Form, aber die 2 vor dem x² stört noch. Also: die ganze Gleichung einfach durch 2 teilen!

 x^2+4\cdot x-12,5=0

Damit ist der Typ x²+px+q=0 erreicht, und zwar mit p=4, q=-12,5. Die Lösung ist ( durch Äquivalenzumformungen und quadratische Ergänzung +2² erreicht ) auf drei Nachkommastellen genau:

\mathbb L=\{ -6,062; 2,062 \}

Hier hätte ich gerne noch 9 Übungsaufgaben, meine Schüler sollen sie erstellen und testen.