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Punkt und Koordinaten

Koordinaten sind zwei Zahlen, mit denen die Position eines Punkte angegeben wird. Wenn wir in der Ebene sind, hat ein Punkt zwei Koordinaten. Ein Raumpunkt braucht allerdings 3 Koordinaten.

Bleiben wir in der Ebene ... man bezeichnet die zwei Koordinaten meist mit x und y, hin und wieder auch x1 und x2. Jeder Punkt hat eindeutige Koordinaten und zu einem Koordinatenpaar (x,y) gehört nur eine Position in der Ebene. Das Ablesen der Koordinaten eines Punktes kann man verschieden machen und ebenso kann man beim Einzeichnen eines Punktes zu gegebenen Koordinaten verschieden vorgehen. Man kann das Koordinatengitter verwenden, manchmal braucht man Hilfslinien (auch wenn man sie nicht einzeichnet!).

Bild 1 Bild 2
Es gibt zwar immer jedes Koordinatenpaar und man könnte immer auch einen Punkt dahin einzeichnen, aber bei Funktionen betrachtet man vor allem die Punkte, die zu dem Graphen einer Funktion gehören. Das besondere an all diesen Punkten auf dem Graphen ist, dass es eine rechnerische Möglichkeit gibt, die y-Koordinate bei vorgegebener x-Koordinate zu berechnen. Man sagt zu dieser Rechenvorschrift auch Funktionsvorschrift oder Funktionsterm. Wie man bei gegebenem x-Wert den y-Wert bestimmt, wird weiter unten noch einmal erklärt.    

x-Wert/Stelle

Beide Begriffe meinen das gleiche. Wenn man von
  • Nullstelle
  • Schnittstelle
  • Maximalstelle

spricht, meint man immer den x-Wert von einem Punkt mit einer bestimmten Eigenschaften. Bewege beim dynamischen Bild rechts den Schieberegler links oben und beachte den Text unten.

y-Wert/Funktionswert

Auch y-Wert und Funktionswert meinen eigentlich das gleiche, allerdings muss nicht jeder y-Wert ein Funktionswert sein (siehe Wertebereich).

Umgekehrt gilt allerdings: jeder Funktionswert ist ein y-Wert. Funktionswerte gehören auch immer (mindestens) zu einem x-Wert.

Beispiele:

Starte die Animation durch einen Klick auf das kleine Dreieck links unten, wähle die Nummer des Beispiels und vergleiche das Bild mit dem dazugehörigen Text.

  1. zu x = 2 gehört der Funktionswert y = 8. Deshalb liegt auch der Punkt (2 | 8) auf dem Funktionsgraphen.
  2. y = 0 ein Funktionswert bei der gegebenen Funktion f(x) zu den Stellen x = -2 und x = 1. Weil y = 0 ist, liegen die dazugehörigen Punkte (-2|0) und (1,0) auf der x-Achse.
  3. Und wie sieht es bei y = -1 aus? Wenn du es nicht sofort erkennen kannst, musst du an der y-Achse beim entsprechenden Wert eine waagrechte Linie einzeichnen und schauen, welche Punkte des Funktionsgraphen den y-Wert -1 haben. Bei der Funktion rechts sind es 3 Stellen, bei denen der Funktionswert -1 ist. Um sie zu unterscheiden schriebt man x1 = -2.73, x2 = -1 und x3 = 0.73.

Achsenabschnitt

Funktionswerte bestimmen

Wertetabelle

Definitionsbereich

Grundsätzlich bezieht sich der Definitionsbereich auf die x-Werte. Genauer gibt der Definitionsbereich an, welche x-Werte verwendet werden dürfen. Dabei gibt es zwei Möglichkeiten:

  • Es wird der größtmögliche Definitionsbereich verwendet, wobei es aufgrund der Funktionsvorschrift sein kann, dass einige x-Werte nicht eingesetzt werden dürfen. Mögliche Gründe sind:
    • Die Wurzel darf nicht aus einer negativer Zahl gezogen werden.
    • Das Teilen durch Null ist nicht möglich, da das Ergebnis undefiniert ist.
  • Es wird ein beschränkter Definitionsbereich festgelegt, obwohl mehr Zahlen verwendet werden könnten.

Wertebereich

Der Wertebereich gibt Informationen über die y-Werte an. Im Gegensatz zum Definitionsbereich kommt es beim Wertebereich sehr häufig vor, dass nicht alle möglichen y-Werte enthalten sind. Dies hängt vor allem vom Verlauf des Funktionsgraphen an.

Kontrolltest

http://www.superlehrer.de/Mathe/HotPotatoes/FunkBegriffe/FunkBegriffe.htm