Geraden

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Gerade durch zwei Punkte

Inhaltsverzeichnis

Ideen zur Einführung und Anwendungen zum Thema

Selbstentdecken der Geradengleichung mit GeoGebra

... von BirgitLachner.

Nuvola apps edu miscellaneous.png   Unterrichtsidee

Dieser Einstieg in das Thema Geradengleichungen soll gleichzeitig als Einstieg in das Gebiet der Funktionenlehre genutzt werden.

Ich würde meinen Schülern am Computer Bilder und verschiedene Funktionen zeigen und erklären, dass man häufig Messwerte in eine Form überträgt, mit der man Berechnungen durchführen kann. Dazu muss man die reale Situation in eine mathematische Formel fassen und kann diese dann auch grafisch darstellen.

Dazu würde ich einige Beispiele zeigen, bei denen zu einem Bild eine Funktionsgleichung bestimmt wird, um so dann etwas zu berechnen.

Dazu könnte man die Fragen stellen:

  • Was haltet ihr von diesem Vorgehen?
  • Welcher Vorteil hat es, wenn man etwas berechnen kann?
  • Was ist die Schwierigkeit?

Nachdem das Wesentliche geklärt ist, werden noch einige Begriffe wiederholt und neue Begriffe erklärt:

  • (Funktions-)Graph
  • Funktionsgleichung
  • Achsen
  • Koordinatensystem/Kordinaten ablesen und eintragen
  • ...

Dann würde ich die Schüler darüber informieren, dass nach und nach bestimmte Arten von Kurven-Grundtypen eingeführt werden, die häufig vorkommen. Die könnte man grob zeigen (Geraden, Parabeln, Potenzfunktionen, Hyperbeln, Exponential, Logarithmus ...). Dann wird darüber informiert, dass wir nun erst einmal bei den einfachsten Graphen beginnen, den Geraden:

Frage: Wie kann ich die Lage einer Linie/Geraden erfassen?

Mögliche Vorschläge sollten durchgegangen werden. Vorher sollte ein Koordinatensystem vorgegeben werden, z.B. der Rand des Bildes.

Dann sollen die Schüler in GeoGebra anfangen zu arbeiten. Ich würde eine Datei vorbereiten, bei der das Algebra-Fenster ausgeschaltet ist und nur die benötigten Funktionen vorhanden sind.

Mündlich werden den Schülern folgende Arbeitsaufträge gegeben:

  • Zeichne die zwei Punkte ein ... per Befehl A=(3|5) und nicht per Maus, damit es genauer ist.
  • Zeichne mit der Maus eine Gerade durch die zwei Punkte, indem du erst den Geradenbefehl oben anklickst und dann die zwei Punkte.
  • Lies weitere Punkte ab, die auf dem Graphen der linearen Funktion liegen.

Es soll nun eine mathematisch-rechnerische Darstellung für diese Gerade gefunden werden.

Das Folgende würde ich eher im Lehrer-Vortrag ansprechen, wobei Schüler natürlich ihre Gedanke äußern können.

Was bedeutet das? Das Einzeichnen reicht nicht aus, denn ich kann so keine Berechnungen durchführen. Ich brauche vielmehr eine Art Rechenvorschrift, mit der ich z.B. Werte testen kann (ob sie dazu gehören etwa).

Wie geht das? Diese Rechenvorschrift muss auf jeden Fall die Koordinaten-Werte x und y enthalten.

Lösung: Eine Gleichung mit den zwei Unbekannten x und y: Hier muss man mal ansprechen, dass es bei zwei Unbekannten in einer Gleichung, also dem x- und dem y-Wert, mehrere Lösungen geben kann. Das kann an einer einfachen Gleichung gezeigt werden, z.B. x+y=1. Dazu sollte man ruhig auch mal einige Lösungen notieren und in ein Koordinatensystem einzeichnen, um zu zeigen, dass sich tatsächlich eine Gerade als Bild ergibt. Die Gleichung müsste dann der Art a*x+b*y=c sein, wobei a,b und c die Lage der Geraden bestimmen.

Ich würde eigentlich darauf beharren, diese Art der Gleichung zu verwenden, auch wenn ein Schüler eine Gleichung der Art y=mx+b vorschlagen sollte. Grund: Sieht einigermaßen einfacher aus.

Wie findet man die passende Gleichung zu unserer Geraden? Die Schüler könnten Vorschläge machen, wie man a, b, und c bestimmen könnte. Sicher wird auch das Ausprobieren vorgeschlagen. Damit dies einfacher geht, kann wieder GeoGebra verwendet werden.

Arbeitsaufträge:

  • Gib drei Variablen a, b und c an mit einem beliebigen Wert.
  • Mache die Werte sichtbar, dann hat man Schieberegler (Einstellungen: Werte von -5 bis 15, Schrittweite 1).
  • Versuche die Werte für a, b und c heraus zu bekommen, damit die Gleichung a*x+b*y=c mit den entsprechenden Werten identisch mit unser Geraden ist.
  • Probiere aus, ob auch die anderen Punkte, die man abgelesen hat, die Gleichung erfüllen.

Nach dem Suchen können einige Fragen gestellt werden:

  • Kann man die Werte für a, b, und c direkt ablesen aus der Zeichnung?
  • Wie wirken sich die Veränderung von a, b und c auf die Lage der Geraden aus?
  • Es gibt mehrere Lösungen für a, b und C. Wie hängen sie zusammen?
  • Gibt es eine Möglichkeit, die Werte ohne Zeichnung und Probieren zu finden, indem man die Koordinaten der zwei bekannten Punkte verwendet?

Nun kann das Algebra-Fenster von Geogebra zugeschaltet werden.

  • Per Rechtsklick kann man eine andere Darstellung y=mx+d für die Geraden einschalten.
  • Die Gleichung sollte anhand der bekannten Punkte überprüft werden.
  • Erkennt ihr Vorteile oder Nachteile gegenüber der anderen Gleichungs-Art?
  • Gibt es noch andere Werte m und d, die möglich sind?
  • Gibt es noch andere Varianten?
  • Kann man die Werte für m und d direkt ablesen aus der Zeichnung?
  • Wie wirken sich die Veränderung von m und d auf die Lage der Geraden aus? (Wieder Parameter verwenden!)

Am lehrreichsten wäre es sicherlich, wenn die Schüler die Untersuchungen möglichst selbstständig durchführen würden.

  • Es gibt zwei Darstellungsmöglichkeiten für die Gleichung: ax+by=c oder y=mx+n. Welche ist besser für welchen Zweck?

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