Grundlagen quadratischer Funktionen

aus ZUM-Wiki, dem Wiki für Lehr- und Lerninhalte auf ZUM.de
Wechseln zu: Navigation, Suche


Mathematik-digital Pfeil-3d.png
Lernpfad

Lernziele: Sie kennen

  • die allgemeine Form (oder Polynomdarstellung) einer quadratischen Gleichung und
  • die Scheitelpunktform einer quadratischen Gleichung,
  • die Begriffe
    • Parabel,
    • gestreckt,
    • gestaucht,
    • gespiegelt,
    • nach unten bzw. oben geöffnet,
    • vertikale und
    • horizontale Verschiebung.

Sie können

  • beschreiben, wie Graphen quadratischer Funktionen aus der Normalparabel entstehen,
  • Graphen quadratischer Funktionen mit einer Wertetabelle oder
  • über geeignete Veränderungen der Normalparabel zeichnen,
  • die Scheitelpunktform in die allgemeine Form und
  • die allgemeine Form in die Scheitelpunktform überführen.

Sie wissen, dass Graphen quadratischer Funktionen

  • keine,
  • eine oder
  • zwei Nullstellen haben.


Sie kennen das alles schon? Dann geht es hier direkt zu den Übungen Pfeil 2.gif   Übungen

Ansonsten sind Sie hier richtig.


Beispiel: Handelt es sich um quadratische Funktionen?
Kann man das am Graphen erkennen?
W 0 1 Beispiel.PNG W 0 2 Beispiel.PNG W 0 3 Beispiel.PNG W 0 4 Beispiel.PNG W 0 5 Beispiel.PNG W 0 6 Beispiel.PNG
Kann man das an der Funktionsvorschrift erkennen?
f(x)=x^3+x^2 g(x)=2(x-3)(x-1) h(x)=3-7x^2
i(x)=-2x+3 j(x)=-x^2+2x-1 k(x)=(x-5)^2 l(x)=-(x+1)^2-3
Am Ende dieses Kapitels sollten Sie diese Fragen ohne Probleme beantworten können.


Maehnrot.jpg
Merke:

Eine Funktion der Form f(x)=ax^2+bx+c mit a \ne 0 heißt quadratische Funktion oder ganzrationale Funktion zweiten Grades. Diese Darstellungsform einer quadratischen Funktion wird auch Polynomdarstellung genannt.

Der Graph einer quadratischen Funktion heißt Parabel.

Die Symmetrieachse einer Parabel heißt Parabelachse, die beiden symmetrischen Teile der Parabel sind die Parabeläste.

Der Schnittpunkt der Parabel mit ihrer Achse heißt Scheitelpunkt. Der Scheitelpunkt wird mit S(x_s;y_s)bezeichnet. Der Scheitelpunkt ist immer der höchste oder tiefste Punkt der Parabel.

Der Graphen der Funktion f(x)=x^2 und f(x)=-x^2 heißen Normalparabel bzw. (an der x-Achse) gespiegelte Normalparabel.


Beispiel - Teil 2: Handelt es sich um quadratische Funktionen?
Die Frage: "Kann man das am Graphen erkennen?" lässt sich jetzt schon beantworten. Sucht man nach Symmetrieachsen, so stellt man schnell fest:
W 0 1 Beispiel.PNG Der Funktionsgraph ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, also gibt es keine Symmetrieachse. Es ist keine Parabel, also nicht der Graph einer quadratischen Funktion. W 0 2 Beispiel.PNG Der Funktionsgraph ist achsensymmetrisch und der Schnittpunkt mit der Achse ist der höchste Punkt. Es ist eine Parabel, also der Graph einer quadratischen Funktion.
W 0 3 Beispiel.PNG Der Funktionsgraph ist punktsymmetrisch, also gibt es keine Symmetrieachse. Es ist keine Parabel, also nicht der Graph einer quadratischen Funktion. W 0 4 Beispiel.PNG Der Funktionsgraph ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, also gibt es keine Symmetrieachse. Es ist keine Parabel, also nicht der Graph einer quadratischen Funktion.
W 0 5 Beispiel.PNG Der Funktionsgraph ist achsensymmetrisch und der Schnittpunkt mit der Achse ist der tiefsten Punkt. Es ist eine Parabel, also der Graph einer quadratischen Funktion. W 0 6 Beispiel.PNG Der Funktionsgraph ist achsensymmetrisch, aber der Schnittpunkt ist nur der höchste Punkt in einer kleinen Umgebung. Es ist keine Parabel.
Die Frage "Kann man das an der Funktionsvorschrift erkennen?" kann jetzt auch beantwortet werden. Lässt sich die gegebene Funktionsvorschrift in die Polynomdarstellung f(x)=ax^2+bx+c überführen, so handelt es sich um eine quadratische Funktion.
———————————————
f(x)=x^3+x^2 Es handelt sich nicht um eine quadratische Funktion, da x in der dritten Potenz - also x^3 - vorkommt.
———————————————
g(x)=2(x-3)(x-1) Hier müssen die Klammern aufgelöst werden. Man erhält f(x)=2x^2-8x+8
und erkennt beim Vergleich mit der allgemeinen Form a=2, b=-8 und c=8. Es handelt sich also um eine quadratische Funktion.
———————————————
h(x)=3-7x^2 Hier ist es leichter, man stellt die Summanden um und erhält: f(x)=-7x^2+3. Der Vergleich mit der allgemeinen Form liefert a=-7, b=0 und c=3. Es handelt sich also um eine quadratische Funktion.
———————————————
i(x)=-2x+3 Hier fehlt der quadratische Teil ax^2, der Vergleich mit der allgemeinen Form liefert a=0, dies ist aber nicht erlaubt. Außerdem wissen Sie natürlich, dass es sich um eine lineare Funktion handelt.
———————————————
j(x)=-x^2+2x-1 Das geht schnell, der Vergleich liefert: a=-1, b=2 und c=-1. Es handelt sich also um eine quadratische Funktion.
———————————————
f(x)=(x-5)^2 Hier braucht man die zweite binomische Formel und erhält f(x)=x^2-10x+25. Der Vergleich mit der allgemeinen Form liefert a=1, b=-10 und c=25. Es handelt sich also um eine quadratische Funktion.
———————————————
f(x)=-(x+1)^2-3 Hier braucht man die erste binomische Formel, muss eine Klammer auflösen und zusammenfassen, um f(x)=-x^2-2x-4 zu erhalten. Der Vergleich mit der allgemeinen Form liefert a=-1, b=-2 und c=-4. Es handelt sich also um eine quadratische Funktion.
———————————————
Wer jetzt Angst bekommt: die Umformungsschritte werden im Folgenden noch ausführlich erklärt. Aber es schadet auf keinen Fall, sich an die vergangenen Schuljahre zu erinnern und die Regeln und Formel nachzulesen.

Offensichtlich können Parabeln ganz unterschiedlich im Koordinatensystem liegen. Und es gibt auch verschiedene Darstellungsformen quadratischer Funktionen, die sich in die allgemeine Form überführen lassen. Im Folgenden soll geklärt werden, wie der Graph einer quadratischen Funktion und die Lage der Parabel zusammenhängen. Dabei geht es zunächst darum, wie der Graph einer quadratische Funktion aus der Normalparabel entsteht.

Hier geht es weiter Pfeil 2.gif   Entstehung aus der Normalparabel