Brüche und Bruchrechnung

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Brüche als Anteile

Für was man es braucht:
Brüche sind wichtige Hilfsmittel zur Beschreibung von Anteilen. Später helfen sie auch, wenn eine Division nicht zu einer ganzen Zahl führt. Dann kann man mit Brüchen rechnen und hat immer das genaue Ergebnis.
Cake quarters.svg Der Kuchen wurde in vier gleiche Teile geteilt, dann ist jedes Stück \frac{1}{4} vom gesamten Kuchen.

Es wurde also schon \frac{1}{4} des Kuchens gegessen und 3 von den \frac{1}{4}-Stücken, also \frac{3}{4}, des Kuchens ist noch übrig.

⇒ Interaktive Online-Übungen mit Kontrolle
GeoGebra-Tube: Bruchteile am Rechteck, Kreis, Strecke ablesen
Realmath: Seite mit Übungen zu Brüchen ... die passenden Übungsseiten zum Thema findest du in den Abschnitten Bruchteile, Bruchteile von Größen, Das Ganze bestimmen, Ganzes oder Bruchteil bestimmen
⇒ Aufgaben-Blatt zum Ausdruck mit Übungen
Brüche als Flächenanteile Aufgaben - Lösungen
Brüche als Anteile von Zahlen Aufgaben - Lösungen

Begriffe

Für was man es braucht:
Die folgenden Begriffe sind die Grundlage für jede weitere Benutzung von Brüchen.
\frac{\rm Z\ddot{a}hler}{\rm Nenner} = \rm Z\ddot{a}hler : \rm Nenner    Die "Trennlinie" zwischen Zähler und Nenner ist der Bruchstrich. Er symbolisiert das Divisionszeichen.
2 \frac{5}{8}= 2 + \frac{5}{8}    Eine gemischte Zahl besteht aus einer ganzen Zahl und einem Bruch.
\frac{5}{8}    Bei einem echten Bruch ist der Zählers kleiner als der des Nenners. Der Bruches ist also kleiner 1.
(Ergänzung ab Klasse 7: Das größer/kleiner bezieht sich jeweils auf den Betrag!)
\frac{8}{5}    Bei einem unechten Bruch ist der Zählers größer als der des Nenners. Der Bruches ist also größer 1.
(Ergänzung ab Klasse 7: Das größer/kleiner bezieht sich jeweils auf den Betrag!)
Bruch: \frac{2}{1} ... und der Kehrwert davon: \frac{1}{2}    Den Kehrwert eines Bruchs erhält man durch Vertauschen von Zähler und Nenner.
\frac{0}{13} = 0    Ist der Zähler eines Bruchs gleich Null, so ist der ganze Bruch gleich Null.
\frac{7}{0}    Das Teilen durch Null ist verboten, deshalb darf im Nenner nie Null stehen!
\frac{5}{3}, \frac{3}{3}, \frac{1}{3}    Brüche nennt man gleichnamig, wenn alle Nenner identisch sind.
\frac{5}{8}, \frac{3}{2}, \frac{1}{8}    Brüche nennt man ungleichnamig, wenn nicht alle Nenner gleich sind.
\frac{6}{8} = \frac{6:2}{8:2}=\frac{3}{4}    Beim Kürzen werden Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl (hier die Zwei) dividiert. Man kann maximal durch den größten gemeinsamen Teiler des Nenners und des Zählers dividieren. Der Wert des Bruches bleibt dabei erhalten. Um einen Faktor zu finden, mit dem man kürzen kann, können die Teilbarkeitsregeln angewendet werden.
\frac{3}{2} = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3}=\frac{9}{6}    Beim Erweitern werden Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl ≠ 0 (hier mit der Drei) multipliziert, dabei bleibt der Wert des Bruches erhalten.


⇒ Aufgaben-Blatt zum Ausdruck mit Übungen
Erweitern und Kürzen: Aufgaben - Lösungen

Rechnen mit Brüchen

Für was man es braucht:
Bei komplizierten Rechen-Aufgaben kann es vorkommen, dass man keine ganzzahligen Ergebnisse hat. Statt zu runden kann man dann auch meist Brüche verwenden und hat dann kleine Zähler und Nenner, mit denen ohne Rundungsfehler einfach rechnen kann.
\frac{5}{8} + \frac{3}{8} - \frac{1}{8} = \frac{5+3-1}{8} = \frac{7}{8}    Addieren und Subtrahieren gleichnamiger Brüche: Die Zähler werden addiert oder subtrahiert und der Nenner wird beibehalten.
\frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{12} + \frac{6}{12} - \frac{4}{12} = \frac{5}{12}    Addieren und Subtrahieren ungleichnamiger Brüche: Die Nenner werden auf ein gemeinsamen Nenner gebracht (ein Vielfaches beider Nenner) und somit zu gleichnamigen Brüchen. Dann geht man vor, wie dort beschrieben.
\frac{5}{8} \cdot \frac{3}{2} = \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 2} =  \frac{15}{16}    Multiplizieren von Brüchen: Zähler werden mit Zähler multipliziert, Nenner mit Nenner.
\frac{5}{8} : \frac{2}{3} = \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 2} = \frac{15}{16}    Division von Brüchen: Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert multipliziert.

Ein weiteres Beispiel: Datei:BruchDivision.png


⇒ Aufgaben-Blatt zum Ausdruck mit Übungen
Addition und Subtraktion: Aufgaben - Lösungen
Multiplikation und Division: Aufgaben - Lösungen
Gemischte Rechenaufgaben: Aufgaben - Lösungen