Bestimmtes Integral und Flächenberechnung

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Das bestimmte Integral

Das bestimmte Integral drückt den orientierten Flächeninhalt aus, den der Graph von f im Intervall [a,b] mit der x-Achse einschließt.
Es gilt:

\int_a^b f(x) dx\;=\;[F(x)]_a^b\;=\;F(b)\;-\;F(a)

falls F(x) eine Stammfunktion von f(x) ist.

Hinweis: Der Flächeninhalt ist orientiert. Das bedeutet, dass Flächen oberhalb der x-Achse positiv und Flächen unterhalb der x-Achse negativ werden.

Flächeninhalt der Fläche zwischen x-Achse und Funktionsgraph

Beispiel: Flächeninhalt der Flächen zwischen der x-Achse und dem Funktionsgraphen
  • Um den Flächeninhalt A der Fläche zwischen dem abgebildeten Graphen der Funktion f und der x-Achse über dem Intervall [a;b] (siehe Bild rechts) zu berechen, bestimmt man zuerst die Nullstellen der Funktion f (hier x, y, z) mit x < y < z und berechnet danach die Integrale und deren Beträge, die man anschließend noch addieren muss:
A = \int_a^x f(x) dx\;+\;\Big|\int_x^y f(x) dx\Big|\;+\;\int_y^z f(x) dx\;+\;\Big|\int_z^b f(x) dx \Big|


  • Eine näherungsweise Berechnug des Flächeninhalts A der Fläche zwischen der x-Achse und dem abgebildeten Graphen der Funktion f lässt sich mithilfe des GTRs machen. Wichtig dabei ist es mit dem Betrag von der Funktion f zu rechnen:
A = \int_a^b \big|f(x)\big|dx

Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen über einem Intervall

1. Um den Flächeninhalt A der Fläche zwischen den Graphen von zwei Funktionen f und g über dem Intervall [a;b] zu berechnen, bestimmt man zunächst die Schnittstellen von f und g innerhalb von [a;b] und berechnet dann:
A = \int_a^x (f(x) \;-\ g(x)) dx\;+\int_x^y (g(x)\;-\ f(x)) dx\;+\int_y^b (f(x) \;-\ g(x)) dx
Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen
2. Auch hier bietet es sich bei der Berechnung mit dem GTR an den Flächeninhalt A der Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen über dem Intervall [a;b] näherungsweise zu berechnen, indem man mit dem Betrag rechnet:
A = \int_a^b \big|f(x) \;-\ g(x) \big|dx
Mithilfe dieser Berechnung müssen die Schnittstellen der beiden Graphen f und g zwischen a und b nicht mehr berechnet werden.

Das uneigentliche Integral

Definition

Auch wenn Flächenstücke ins Unendliche reichen (eine unendlich lange Begrenzungslinie haben), können die Flächeninhalte endlich sein.

  1. Intervall reicht ins Unendliche
    Uneigentliches Integral: Beispiel des 1. Falls
  2. Funktion ist nicht im ganzen Intervall definiert und ist dort unbeschränkt
    Uneigentliches Integral: Beispiel des 2. Falls


(1) Die Funktion f muss stetig sein für alle x > a bzw. für alle x < b. Dann ist:

 \int_a^{+\infty} f(x) dx \;=\displaystyle \lim_{c\to +\infty} \int_a^cf(x) dx
 \int_{-\infty}^b f(x) dx \;=\displaystyle \lim_{c\to -\infty} \int_c^bf(x) dx

(2) Die funktion f muss stetig sein für ]a;b] bzw. für [a;b[. Dann ist:

 \int_a^b f(x) dx \;=\displaystyle \lim_{c\to a} \int_c^bf(x) dx, falls f definiert ist für ]a;b];
 \int_b^a f(x) dx \;=\displaystyle \lim_{c\to b} \int_c^af(x) dx, falls f definiert ist für [a;b[.

Die Integrale links vom Gleichheitszeichen heißen uneigentliche Integrale. Existiert der Grenzwert rechts vom Gleichheitszeichen nicht, bedeutet das, dass das uneigentliche Integral nicht existiert.

Beispiele

  • Gesucht ist der Flächeninhalt A der Fläche unter dem Graphen von f(x)= \frac 1 2 x^2 +1 über dem Intervall [0;2].
1. Bestimmen der Integralfunktion (Stammfunktion):
F(x)=\frac 1 6 x^3 +x
2. Bestimmen des orientierten Flächeninhalts:
A(2)=\int_0^2 f(x)dx = \int_0^2 (\frac 1 2 x^2 +1)dx = (\frac 1 6 * 2^3 +2) - (\frac 1 6 0^3 +0) = \frac 8 6 +2 = \frac {10} {3}



  • Gesucht ist der Flächeninhalt A der Fläche zwischen den Graphen von f und g.
f(x)=x^3-2
g(x)=x^2+2x-2

1. Berechnung der Schnittpunkte:
x^3-2=x^2+2x-2
0=-x^3+x^2+2x
0=x(-x^2+x+2) ==> x_1=0
0=x^2-x-2
x_{2,3}=\frac{1}{2}\pm \sqrt[2]{\frac{1}{2}+2}
x_2=2, x_3=-1

f(-1)=-3 ==> S_1(-1/-3)
f(0)=-2 ==> S_2(0/-2)
f(2)=6 ==> S_3(2/6)


2. Bestimmen der Integralfunktionen:
F(x)=\frac{1}{4}x^4-2x+c
G(x)=\frac{1}{3}x^3+x^2-2x+c
3. Bestimmen des Flächeninhalts:
A_1=\int_{-1}^0\left|(g(x)-f(x)\right|dx=(G(0)-G(-1))-(F(0)-F(-1))=\frac{5}{12}
A_2=\int_0^2\left|(g(x)-f(x)\right|dx=(G(2)-G(0))-(F(2)-F(0))=\frac{8}{3}
A_{ges}=A_1+A_2=\frac{5}{12}+\frac{8}{3}=\frac{37}{12}