Ebenen im Raum

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Parameterdarstellung einer Ebene

  • eine Ebene E ist durch einen Punkt A mit dessen Stützvektor \overrightarrow{OA} und zwei von ihm ausgehenden, nicht parallel verlaufenden Richtungsvektoren \vec u und \vec vbestimmt
  • es ergibt sich eine Ebenengleichung bzw. Parameterdarstellung

E: \overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OA} + s*\vec u + t * \vec v

  • für jeden Punkt X in der Ebene gibt es zwei Parameter s und t ∈ R

Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene

  • um die Lage von Gerade zu Ebene ermitteln zu können, muss man die beiden dazugehörigen Gleichungen gleichsetzen

Man erhält die Vektorgleichung: \overrightarrow{OB}+t*\vec z = \overrightarrow{OA}+r* \vec u + s* \vec v

  • diese stellt man so um, dass auf der rechten Seite ein parameterunabhängiger Vektor steht und auf der linken Seite die Vektoren mit Parameter
  • es ergibt sich ein lineares Gleichungssystem, durch das man die Parameter ermitteln kann

Es gilt:

  1. Das lineare Gleichungssystem hat genau eine Lösung, d.h. die Gerade schneidet die Ebene in einem Punkt S.
  2. Das lineare Gleichungssystem hat keine Lösung, d.h. die Gerade verläuft parallel zur Ebene und hat mit dieser keinen gemeinsamen Punkt.
  3. Das lineare Gleichuungssystem hat unendlich viele Lösungen, d.h. die Gerade liegt in der Ebene.

Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen

  • um die Lage zweier Ebenen zueinander ermitteln zu können, muss man die beiden Parameterdarstellungen der Ebenen miteinander gleichsetzen
  • man verfährt ebenso, wie bei der Lagebeziehung von Gerade zu Ebene und erhält letztendlich ein lineares Gleichungssystem, welches durch Umformen die Parameter liefert

Es gilt:

  1. Das lineare Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen und es ergibt sich eine Beziehung zwischen den Parametern einer Ebenengleichung. Das bedeutet, dass sich die Ebenen in einer Schnittgeraden g schneiden.
  2. Das lineare Gleichungssystem hat keine Lösung: Das bedeutet, dass die Ebenen parallel zueinander liegen und keinen gemeinsamen Punkt haben.
  3. Das lineare Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen und zwischen den Parametern einer Ebene gibt es keine Beziehung. Das bedeutet, dass die Parameterdarstellungen dieselbe Ebene beschreiben.