Funktionenscharen

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Funktionsschar

Grundlegend unterscheiden sich Funktionsscharen kaum von normalen Funktionen. Der einzige Unterschied besteht darin, dass in Funktionsscharen neben der Variablen noch ein weiterer Parameter auftritt. Setzt man für diesen Parameter verschiedene Werte ein, erhält man einzelne der unendlich vielen Funktionen, die zu einer Funktionsschar gehören. Man kennzeichnet eine Funktionsschar mit dem Parameter als Index, um sie von normalen Funktionen abzugrenzen f (x)=x2−k k Indem man den Parameter k durch einen Wert ersetzt (auch im Index), erhält man einzelne Funktionen f (x)= x2 −2 2 f (x)= x2 0 f (x)=x2+3 −3 Die Funktionsscharen kann man wie alle anderen Funktionen mit einer Kurvendiskussion auf charakteristische Punkte und den Verlauf untersuchen. Dabei muss man aber eine Besonderheit von Funktionsscharen beachten. Es kann passieren, dass sich z.B. bei negativen und positiven Werten des Parameters ein vollständig anderer Verlauf zeigt. In diesem Fall muss man eine Fallunterscheidung durchführen und den Verlauf für positive und negative Werte einzeln ermitteln. Besonders häufig wird diese Fallunterscheidung bei Extrem- und Wendepunkten benötigt. Zum Beispiel hat g (x)= x4 −kx2 für k ≤0 genau einen Tiefpunkt k und für k > 0 zwei Tiefpunkte und einen Hochpunkt Wenn die Extrem- oder Wendepunkte (wie bei der Funktion g) von dem Parameter (hier k) abhängen, so hat die Funktionsschar nicht einen dieser Punkte an einer bestimmten Stelle, sondern viele, die jeweils bei einem anderen Wert für den Parameter auftreten.

Ortslinie

Der Graph, auf dem die Extrempunkte/Wendepunkte aller Funktionen einer Schar liegen, heißt Ortslinie der Extrempunkte/Wendepunkte.

Um die Gleichung zu ermitteln, setzt man die x-Koordinate der Extrempunkte/Wendepunkte zunächst mit x gleich ( x = px , wenn der Punkt P(px py )ist) und stellt diese Gleichung nach dem Parameter (in dem Fall k) um. Dann setzt man die y-Koordinate mit y gleich ( y = py ) und setzt danach den zuvor ermittelten Wert für den Parameter in diese Gleichung ein. Wenn man dann noch die Gleichung so weit wie möglich vereinfacht, erhält man die Funktion für die Ortslinie des entsprechenden Punktes. Um klar zu machen, dass es sich um eine Funktion handelt, wird das y= noch durch den Namen einer Funktion, z.B. t(x)=, ersetzt.

Gemeinsame Punkte

Zur Bestimmung aller gemeinsamer Punkte der Funktionsschar verwendet man den Ansatz f_a(x)=f_b(x) mit der Voraussetzung a\neq b. Alle Lösungen dieser Gleichung sind die x-Koordinaten der gemeinsamen Punkte.

Kriterien für Extrempunkte

Eine Funktion, die differenzierbar ist, besitzt an der Stelle eines Extrempunktes eine Steigung von null (notwendige Bedingung). Jedoch liegt nicht an jeder Stelle mit einer Steigung von null ein Extrempunkt vor, möglich ist auch ein Sattelpunkt. Diese Unterschiede kann man mit dem Monotoniesatz beweisen (hinreichende Bedingung). Diese Bedingungen sind bei der Untersuchung von Funktionsscharen von großer Bedeutung.

Für eine Funktion f mit der Ableitung f` und f`` in einem Intervall gilt:
1. Wenn f`an der Stelle xe eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel hat, dann ist xe Extremstelle von f. 2. Wenn f`(xe) = 0 und zugleich f``(xe) ungleich null ist gilt, dann ist xe Extremstelle von f.
Insbesondere hat dann der Graph von f
a) im Fall f``(xe) < 0 einen Hochpunkt bei xe,
b) im Fall f``(xe) > 0 einen Tiefpunkt bei xe.