Funktionsuntersuchung

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-> Untersuchung des Graphen einer Funktion auf geometrische Eigenschaften

Inhaltsverzeichnis

Nullstellen

Nullstellen sind die Punkte an denen die untersuchte Funktion die X-Achse schneidet und somit den Funktionswert f(x)=y=0 annimmt.
Zur Berechnung die Funktion, also f(x) oder y, gleich 0 setzen und nach x auflösen.
-> mit Hilfe der pq-Formel bei einer quadratischen Funktion
-> mit Hilfe von Polynomdivision bei deiner Exponentialfunktion

y-Achsenabschnitt

Der Y-Achsenabschnitt ist der Schnittpunkt einer Funktion mit der Y-Achse
Zur Berechnung den Funktionswert für f(0) bestimmen also für x 0 einsetzen und die Funktionsgleichung nach f(x) oder y auflösen.

Ableitungen

Die Ableitung einer Funktion gibt das Steigungsverhalten dieser an. Folglich gibt die zweite Ableitung das Krümmungsverhalten an.
Man leitet eine Funktion ab indem man den oder die Koeffitienten eines jeden x mit dem Exponenten desselben multipliziert und den Exponenten darauf um 1 verringert.Absolutglieder fallen dabei weg.
Bsp.:
f(x)=axb-cxd+e
f´(x)=abxb-1-cdxd-1
f´´(x))=ab(b-1)xb-2-cd(d-1)xd-2
f´´´(x)=ab(b-1)(b-2)xb-3-cd(d-1)(d-2)xd-3

Extrema

Extrema sind Punkte in einem Funktionsverlauf an denen die Tangentensteigung 0 ist und die Funktionssteigung einen Vorzeichenwechsel erfährt.
- notwendiges Kriterium: f ' (x)=0
- hinreichendes Kriterium: f ' (x)=0 ^ f ' ' (x)‡0

-> f ' (x)=0 ^ f ' ' (x)>0 -> Minimum
-> f ' (x)=0 ^ f ' ' (x)<0 -> Maximum

Wendepunkte

Krümmungsverhalten

Wendepunkte sind Punkte an denen die Steigung einer Funktion ein Extremum hat und im Funktionsgraphen somit die Punkte mit höchster bzw. niedrigster Steigung darstellt.
- notwendiges Kriterium: f ' ' (x)=0
- hinreichendes Kriterium: f ' ' (x)=0 ^ f ' ' ' (x)‡0

- wenn f ' ' (x)> 0 -> linksgekrümmt d.h. f ' (x) steigt in diesem Intervall streng monoton

- wenn f ' ' (x)< 0 -> rechtsgekrümmt d.h. f ' (x) fällt in diesem Intervall streng monoton

Grenzwerte

- Verhalten für x -> ∞
- Verhalten für x -> -∞

Symmetrie

- Achsensymmetrie zur y-Achse: f(-x)=f(x), für ganzrationale Funktionen: Term enthält nur gerade Exponenten

- Punktsymmetrie zum Ursprung: f(-x)=-f(x), für ganzrationale Funktionen: Term enthält nur ungerade Exponenten

Monotonieverhalten

Der Graph von f(x) ist auf dem Intervall I...
...streng monoton steigend, wenn f ' (x)>0 für alle x ∈ I
...streng monoton fallend, wenn f ' (x)<0 für alle x ∈ I

Steigungsverhalten

Beschreibung der ersten Ableitung
- wenn f' (x)>0 -> steigt der Graph der Funktion f(x)
- wenn f' (x)<0 -> fällt der Graph der Funktion f(x)

Stetigkeit und Differenzierbarkeit

- Prüfen von Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Integral

- Bestimmtes Integral und Flächenberechnung

Beispiel

Graph der Funktion f(x)=x^3+3x^2+2x

f(x)=x^3+3x^2+2x

f'(x)=3x^2+6x+2
f''(x)=6x+6
f ' ' '(x)=6


Nullstellen bestimmen:

0=x^3+3x^2+2x
0=x(x^2+3x+2) --> x1 =0

x2,3 = - \frac 3 2 ± \sqrt{{\frac 3 2}^2-2}

x2,3 = -1,5 ± \sqrt 0,25

x2 = -1

x3 = -2


y-Achsenabschnitt:

y=0^3+3*0^2+2*0=0


Extrema:

f'(x) =0

0=3x^2+6x+2

0=x^2+2x+ \frac 2 3

x1,2 = - \frac 2 2 ± \sqrt{ \frac 2 2 ^2 - \frac 2 3}

x1,2 = -1 ± \sqrt \frac 1 3

x1 = -0,42265

x2 = -1,57735

f(x)≠0:


6*(-0,42265)+6>0 --> Minimum

6*(-1,57735)+6>0 --> Maximum

y-Wert berechnen:


y = -0,42265^3 + 3*-0,42265^2 + 2*-0,42265 = -0.3849

y = -1,57735^3 + 3*-1,57735^2 +2*-1,57735 = 0,3849


Wendepunkte:

f(x) = 0

0=6x+6 -6 =6x -\frac 6 6 = x -1 = x

f(x)≠0

60

Grenzwerte:

\lim_{x \to \infty} = \infty

\lim_{x \to -\infty} = -\infty

Symmetrie:

Es liegt keinerlei Symmetrie vor.

Monotonieverhalten:

streng monoton steigend: [-\infty;-1,57735]

streng monoton fallend: [-1,57735;-0,42265]

streng monoton steigend: [-0,42265;\infty]

Steigungs- und Krümmungsverhalten:

steigend: [-\infty;-1,57735]

fallend: [-1,57735;-0,42265]

steigend: [-0,42265;\infty]

rechtsgekrümmt: [-\infty;-1]

linksgekrümmt: [-1; \infty]