Punkte und Vektoren im Raum

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Definition

Vektoren im Raum.png

Ein Vektor mit drei Koordinaten ist ein geordnetes Zahlentripel, das als Apalte geschrieben wird. Es wird mit einem Kleinbuchstaben und einem darüber gesetzten Pfeil bezeichnet.

\vec s = \begin{pmatrix} \color{Blue}y_1 \\ \color{RedViolet}y_2 \\ \color{WildStrawberry}y_3 \end{pmatrix} \to vor (+) / zurück (-)
\to rechts (+) / links (-)
\to oben (+) / unten (-)


Ortsvektor: \overrightarrow{OC}

Ortsvektor vom Punkt C ist \overrightarrow{OC} \to Vektor, der vom Ursprung ausgeht.


Verbindungsvektor: \overrightarrow{AB}

Der Verbindungsvektor bezeichnet die Verschiebung vom Punkt A auf Punkt B.

\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0B} - \overrightarrow{0A}

Länge eines Vektors - Abstand zweier Punkte

Betrag von \vec s = |\vec s| = Länge von \vec s

|\vec s| = \sqrt{{\color{Blue}y_1}^2 + {\color{RedViolet}y_2}^2 + {\color{WildStrawberry}y_3}^2}

Abstand von A zu B = Länge des Vektors \overrightarrow{AB} = |\overrightarrow{AB}|


Vektorenaddition

Vektorenaddition.png

\vec s bezeichnet den Summenvektor von {\color{RedViolet}\vec a} und {\color{ForestGreen}\vec b}.

\vec s = {\color{RedViolet}\vec a} + {\color{ForestGreen}\vec b} = \begin{pmatrix} {\color{Blue}a_1} \\ {\color{RedViolet}a_2} \\ {\color{WildStrawberry}a_3} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} {\color{Emerald}b_1} \\ {\color{ForestGreen}b_2} \\ {\color{Green}b_3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {\color{Blue}a_1} + {\color{Emerald}b_1} \\ {\color{RedViolet}a_2} + {\color{ForestGreen}b_2} \\ {\color{WildStrawberry}a_3} + {\color{Green}b_3} \end{pmatrix}


Vektorensubtraktion

Vektorensubtraktion.png

\vec d = {\color{RedViolet}\vec a} - {\color{ForestGreen}\vec b} = \begin{pmatrix} {\color{Blue}a_1} \\ {\color{RedViolet}a_2} \\ {\color{WildStrawberry}a_3} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} {\color{Emerald}b_1} \\ {\color{ForestGreen}b_2} \\ {\color{Green}b_3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {\color{Blue}a_1} - {\color{Emerald}b_1} \\ {\color{RedViolet}a_2} - {\color{ForestGreen}b_2} \\ {\color{WildStrawberry}a_3} - {\color{Green}b_3} \end{pmatrix}

Vielfache von Vektoren

Vielfache von Vektoren










Gegenvektor


Gegenvektor, Rechengesetze

Der Gegenvektor eines Vektors lässt sich ermitteln, indem der ursprüngliche Vektor mit den Faktor (-1) multipliziert wird.

Rechengesetze für das Vervielfachen von Vektoren


Mittelpunkt einer Strecke zwischen zwei Vektoren

Mittelpunkt einer Strecke