Rotationskörper

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Inhaltsverzeichnis

Volumen eines Rotationskörpers um die x-Achse

Definition

Integralformel für das Volumen eines rotationssymmetrischen Körpers
"Rotiert die Fläche unter dem Graphen einer Funktion f über dem
Intervall [a;b] um die x-Achse, dann gilt für das Volumen V des entstehenden Rotationskörpers:
V=	\pi*\int\limits_{a}^{b} (f(x))^2\, \mathrm{d}x
Merke: Gleich große Flächen können Rotationskörper mit unterschiedlichen Volumina erzeugen[1]

Vorgehen

1. Aufschreiben von V=	\pi*\int\limits_{a}^{b} (f(x))^2\, \mathrm{d}x

2. Bestimmen der Funktion g(x) =  (f(x))^2

3. Bestimmen der Stammfunktion G(x) zu g(x)

4. Berechnung von V=	\pi*\int\limits_{a}^{b} (f(x))^2\, \mathrm{d}x = \pi* (G(b) -G(a))

Beispiel

geg: f(x)=x^3

Intervall [1;5]


ges: Rotationsvolumen um die x-Achse


Lsg:


V=	\pi*\int\limits_{1}^{5} (f(x)=x^3)^2\, \mathrm{d}x=\pi*\int\limits_{1}^{5} (g(x=x^6))\, \mathrm{d}x=\pi*( G(5)-G(1))=\pi*((\frac 1 7 *5^7)-(\frac 1 7 * 1^7))=\pi * (\frac {78125} {7} -\frac 1 7)\approx 35061,97

Rotationsvolumen der Fläche zwischen 2 Funktionen

Will man das Rotationsvolumen der Fläche zwischen 2 Funktionen f(g) und g(x) berechnen, verwendet man

V=	\pi*\int\limits_{a}^{b} [(f(x))^2-(g(x))^2]\, \mathrm{d}x = \pi*[(F(b)-F(a))-(G(b)-G(a))]

wobei F(x) die Stammfunktion zu h(x) = (f(x))^2 ist und G(x) die Stammfunktion zu i(x) = (g(x))^2, f(x) muss über g(x) liegen (im Zweifelsfall den Betrag des Ergebnisses nehmen).

Volumen eines Rotationskörpers um die y-Achse

Vorgehen

  1. Bestimmung der Umkehrfunktion \rightarrow 1. Gleichung nach x auflösen 2. Variablentausch (Umkehrfunktion ist nur vorhanden, wenn f stetig und streng monoton steigend ist)
  2. Einsetzen der Umkehrfunktion in die Gleichung V=	\pi*\int\limits_{a}^{b} (f(x))^2\, \mathrm{d}x
  3. Volumen berechnen

Beispiel

geg: f(x) =x^2 +1

Intervall: [3;10]

ges: Rotationsvolumen an der y-Achse

Lsg:

1. f(x)=x^2 +1

x=\sqrt{y-1}\rightarrow nach x aufgelöst

y=\sqrt{x-1}\rightarrow Variablentausch


2. V=	\pi*\int\limits_{3}^{10} (f(x)=\sqrt {x-1})^2\, \mathrm{d}x=\pi*\int\limits_{3}^{10} (f(x)=x-1)\, \mathrm{d}x=\pi*( F(10)-F(3))= \pi * ((\frac 1 2 * 10^2-10)-( \frac 1 2 * 3^2-3)) = \pi *38,5 \approx 120,95

  1. Elemente der Mathematik SII - Ausgabe 2009 für Niedersachsen