Stammfunktionen

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Inhaltsverzeichnis

Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung

  • eine Funktion f(x) wird integriert zu einer Integralfunktion I_a mit I_a(x) = \int_a^xf(t)dt
  • diese wird daraufhin nach x differenziert (Ableitung wird gebildet), wobei man wieder die Ausgangsfunktion f erhält


Es gilt: Wenn f eine stetige Funktion ist, dann ist die Ableitung der Integralfunktion die Integrandenfunktion f:

I_a'(x) = f(x)

Integration mithilfe von Stammfunktionen

Berechnen von Integralen mithilfe von Stammfunktionen

  • eine Funktion F heißt Stammfunktion/ Aufleitung zu einer gegebenen Fuktion f, wenn f die Ableitung von F ist

Es gilt: F'(x) = f(x)

  • die Stammfunktion F und die Integralfunktion I_a unterscheiden sich um eine Konstante c

I_a(x) = F(x) + c

  • um c zu ermitteln, setzt man x = a und die Gleichung insgesamt mit 0 gleich

0 = I_a(a)=F(a)+c,

also c=-F(a)

  • das ermittelte c setzt man in die Ausgangsgleichung I_a(x) = F(x) + c ein

Somit folgt: \int_a^xf(t)dt = I_a(x) = F(x) - F(a)

Beispiele

  • für  f(x) = 3x^2 - 6x + 2 gilt  F(x) = \frac {3} {3} x^{2+1} - \frac {6} {2} x^{1+1} + \frac {2} {1} x + c , also  F(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + c
  • für  g(x) = \sqrt [2] {x} gilt  G(x) = x^{\frac {1} {2} + 1} , also  G(x) = \sqrt [3] {x^2}
  • für  h(x) = \frac {2} {x} gilt  H(x) = \frac {2} {-2 * x^{1+1}} , also  H(x) = - \frac {1} {x^2}
  • für  i(x) = 3 * e^{3x-2} gilt  I(x) = \frac {3} {3} * e^{3x-2} , also  I(x) = e^{3x-2}