Trassierung und Interpolation

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Trassierung

Beim Verbinden von zwei Trassen (Straßen, Gleisen, …), deren Verlauf durch zwei Funktionen f und g gegeben ist, muss an einer Stelle x0 gelten:

f(x0) = g(x0) nahtloser Übergang

f(x0) = g(x0) ∧ f´(x0) = g´(x0) glatter Übergang

f(x0) = g(x0) ∧ f´(x0) = g´(x0) ∧ f´´(x0) = g´´(x0) krümmungsfreier Übergang

Polynom-Interpolation

Es sind n Datenpunkte (x0,y0), …, (xn-1,yn-1) gegeben.

Dazu wird eine ganzrationale Funktion f vom Grad ≤ n-1 gesucht, für die an den Stützstellen gilt

f(xi) für i = 0 , …, n-1.

Da f(x) = an-1 xn-1 + … + a1 x+ a0 ist, führen diese Bedingung auf ein LGS.


Probleme:

-Der Graph der Funktion f kann sich zwischen den gegebenen Punkten stark davon entfernen

-Globale Änderung des Graphen bei Änderung eines Punktes

(Kubische -) Spline - Interpolation

Es sind n Datenpunkte gegeben. Dazu wird die Spline-Funktion folgendermaßen bestimmt:

-Die Spline-Funktion ist abschnittsweise definiert, und zwar für die n-1 Abschnitte zwischen den Stellen, die zu den Datenpunkten gehören. Man nennt diese auch Stützstellen.

-In jedem Abschnitt ist der Funktionsterm ganzrational vom Grad ≤ 3.

-An den Stützstellen erfüllt die dort definierte Teilfunktion die Interpolationsbedingung.

-An den inneren Stützstellen ist der Übergang der Teilfunktion krümmungsfrei.

-An den Enden der Spline-Funktion ist die 2. Ableitung gleich null. Der Graph ist dort ungekrümmt.

Vergleich Interpolation, Spline-Interpolation, Regression

Mit dem Verfahren der Interpolation erhält man einen ganzrationalen Funktionsterm, dessen Graph durch die gegebenen Punkte verläuft. Allerdings kann sich der Graph zwischen den gegebenen Punkten stark von diesen entfernen.

Mit der Spline-Interpolation erhält man eine abschnittsweise definierte Funktion durch die gegebenen Punkte, die eine möglichst geringe Krümmung aufweist und deren Graph sich daher auch zwischen den gegebenen Punkten nur wenig von diesen entfernt. Trotz des höheren Rechenaufwandes liefert die Spline-Interpolation daher häufig das brauchbare Ergebnis.

Ist es nicht erforderlich, dass der Graph genau durch die gegebenen Punkte verläuft, sondern diese nur möglichst gut annähert, empfiehlt es sich, mithilfe der Regression einen möglichst einfachen Funktionsterm zu ermitteln.

[1]

  1. Elemente der Mathematik 11 / 12. Schülerband. Sekundarstufe 2. Niedersachsen