Wachstum modellieren

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Inhaltsverzeichnis

Exponentialfunktion

Durch Exponentialfunktionen lassen sich Wachstums- und Abnahmeprozesse beschreiben.

Die Exponentialfunktion kann durch f(x)=ax, wobei a > 0 ist, beschrieben werden.

Falls a > 1 ist, spricht man von einer Wachstumsfunktion.

Falls 0 < a < 1 liegt, spricht man von einer Zerfallsfunktion.

Die e-Funktion

e-Funktion

Die Exponentialfunktion f mit f(x) = ex und  x \in\mathbb{R} wird e-Funktion genannt.

  • Für alle Werte von x gilt ex x > 0. Somit hat ex keine Nullstellen.
  • e^0=1
  • f(x)=e^x=\begin{cases}
  \lim_{e^x\to\infty},  & \text{wenn }\lim_{x\to\infty}\\
  \lim_{e^x\to 0}, & \text{wenn }\lim_{x\to -\infty}
\end{cases}
  • Die Ableitung von ex ist ex (f'(x)=e^x)

e als Basis für jedes exponentielle Wachstum

Jedes exponentielle Wachstum kann mit e als Basis geschrieben werden:

f(t)=a{\cdot} bt

f(t)=a \cdot e k  \cdot t mit k = ln(b)

Der natürliche Logarithmus

Definition

Der Logarithmus zur Basis e heißt natürlicher Logarithmus und wird mit ln bezeichnet.

Als natürliche Logarithmusfunktion bezeichnet man die Funktion f mit f(x) = ln(x) und x > o.

ln-Funktion

Zusammenhang mit der e-Funktion

Der natürliche Logarithmus wird als Umkehrfunktion der e-Funktion bezeichnet.

Der Graph der ln-Funktion entsteht durch Spiegelung der e-Funktion an der Winkelhalbierenden y=x.

Logarithmengesetze

Für den Spezialfall zur Basis e:

  • ln(x*y)=ln(x)+ln(y)
  • ln(\frac{x}{y})=ln(x)-ln(y)
  • ln(x^t)=t*ln(x)

Ableitung des natürlichen Logarithmus

Die Funktion f mit f(x)=ln(x) hat für alle x>0 die Ableitung f'(x)=1÷x

Exponentielles/-r Wachstum/Zerfall

Exponentielles Wachstum

Bei einem exponentiellen Wachstum geht man von einem unbegrenztem Wachstum aus, welcher durch die Funktion

N(t) = N0 \cdot e k\cdot t , k > 0

beschrieben wird. Dabei ist die Wachstumsgeschwindigkeit N'(t) proportional zum Bestand N(t), welches sich in der Ableitung erkennen lässt:

: N'(t) = k  \cdot N0 \cdot e k\cdot t, k > 0

Verdopplungszeit

Jeder exponentielle Wachstumsprozess hat eine charakteristische Verdopplungszeit.

T=\frac{ln2}{k}

Exponentieller Zerfall

Bei einem exponentiellen Zerfall geht man von einem ungestörten Zerfall aus, welcher durch die Funktion

N(t) = N0 \cdot e -k \cdot t , k > 0

beschrieben wird. Dabei ist auch hier die Zerfallsgeschwindigkeit proportional zum Bestand N(t), welches sich in der Ableitung erkennen lässt:

: N'(t) = -k  \cdot N0  \cdot e -k\cdot t, k > 0

Halbwertszeit

Jeder exponentielle Zerfallsprozess hat eine charakteristische Halbwertszeit.

T=\frac{ln2}{k}

Begrenztes Wachstum

Begrenztes Wachstum

Die Wachstumsgeschwindigkeit N' ist proportional zur Differenz G - N'(t), wobei G die Obergrenze für den Bestand N ist.

Die Wachstumsgleichung lautet:

N'(t) = k · (G - N(t)), k > 0

Die Wachstumsfunktion lautet: N(t) = G - c · e-kt

Beispiel: Verbreitung einer Krankheit

Ein Farmer besitzt G Tiere. N(t) ist die Anzahl der Tiere, die die Krankheit zum Zeitpunkt t kennen. Dabei handelt es sich um das Modell des begrenzten Wachstums, da die Krankheit maximal alle G Tiere befallen kann. G heißt Grenzbestand. Die Anzahl der Tiere, die noch nicht von der Krankheit infiziert sind verkleinert sich beständig. Zur Zeit t ist die Anzahl dieser Tiere gleich G - N(t).

Der Zuwachs ΔN an infizierten Tieren ist daher proportional zu Δt und zur Anzahl der bereits infizierten Tiere G - N(t). Aus diesen Proportionalitäten lassen sich die oben angeführte Wachstumsgleichung und die Wachstumsfunktion ableiten.

Logistisches Wachstum

Logistisches Wachstum

Allgemeine Darstellung der Funktion

Die Wachstumsfunktion lautet:

 N(t)=\frac{a\cdot G}{a+(G-a)e^{-G\cdot t\cdot k}}

Anzeichen logistisches Wachstum

  1. Wachstumsprozess läuft zunächst ungebremst
  2. Übergang in begrenztes Wachstum --> Modell beinhaltet Grenzbestand G, der nicht überschritten wird

Dabei ist der Bestandszuwachs ΔN proportional zum Zeitintervall Δt, zum Bestand N(t) und zum Reservoir G - N(t). Daraus resultiert die Wachstumsgleichung:

 N'(t)= k\cdot N(t)(G-N(t))

Damit ist die Wachstumsgeschwindigkeit N'(t) proportional zum Bestand N(t) und zur Different G - N(t).

Erläuterung

a = Anfangsbestand

G = Grenzbestand

k = Wachstumsfaktor

Der dazugehörige Graph des logistischen Wachstums weist einen typischen s-förmigen Verlauf auf. (Siehe Abbildung rechts)

Beispiel: Kaninchenpopulation

Bei einer Population von Tieren kann man oft von dem Modell des logistischen Wachstums ausgehen. Werden beispielsweise eine bestimmte Anzahl an Kaninchen (Anfangsbestand: a) auf einer Insel angesiedelt, können sie sich zu Anfang ungestört vermehren (exponentielles Wachstum). Mit der Zunahme der Tiere nimmt jedoch das Nahrungsangebot ab, da die Kaninchen das Gras schneller abfressen als es nachwachsen kann. Daraus resultierend nimmt die Vermehrung der Kaninchen ab (begrenztes Wachstum). Das bedeutet, dass die Insel nur eine bestimmte Anzahl an Kaninchen verträgt (Grenzbestand: G).

Wendepunkte beim logistischen Wachstum

Am Wendepunkt eines Graphen liegt die größte Steigung vor. Das bedeutet, dass an diesem Punkt die Wachstumsgeschwindigkeit am größten ist. Bei dem logistischen Wachstum ist dies der Fall, wenn der Bestand N(t) den halben Grenzbestand erreicht hat.

Dies ist zum Zeitpunkt:

 t= \frac {ln (\frac {G}{N(0)}-1)}{k\cdot G}

der Fall.

Weiterführende Links

https://www.youtube.com/watch?v=UQYt8HyY37Q