Winkel im Raum

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Allgemeine Formel,für die Ermittlung des Winkels zwischen 2 Skalaren

 \cos(\alpha) = \frac {\vec{a} * \vec{b}} {\left| \vec{a} \right| * \left| \vec{b} \right|}

1. Beträge ausrechnen

 \left| \vec{a} \right| = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}

 \left| \vec{b} \right| = \sqrt{{b_1}^2 + {b_2}^2 + {b_3}^2}

2. Skalarprodukt ausrechnen

 {\vec{a} * \vec{b}}= {a_1}*{b_1}+{a_2}*{b_2} +{a_3}*{b_3}

3. Einsetzen

 \cos(\alpha) = \frac {\vec{a} * \vec{b}} {\left| \vec{a} \right| * \left| \vec{b} \right|}

Beispiel:

\vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)


\vec{b} = 
\left( \begin{array}{c} -2 \\ 6 \\ -4 \end{array} \right)

1.

 \left| \vec{a} \right| = \sqrt{{1}^2 + {-3}^2 + {2}^2} = \sqrt{14}

 \left| \vec{b} \right| = \sqrt{{-2}^2 + {6}^2 + {-4}^2} = \sqrt{56}

2.

\vec{a} * \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) * \left( \begin{array}{c} -2 \\ 6 \\ -4 \end{array} \right) = 1 * \left(-2\right) + \left(-3\right) * 6 + 2 * \left(-4\right) = -28

3.

 \cos(\alpha) = \frac {-28} {\sqrt{14} * \sqrt{56}} = -1

-->  \alpha = 180^\circ

Vorgehen Winkel zwischen 2 Geraden

  1. Richtungsvektoren beider Geraden ermitteln
  2. Überprüfung, ob Geraden sich schneiden. Falls ja, kann der Schnittwinkel ermittelt werden:
  3. Richtungsvektoren in allgemeine Formel einsetzen