BMT10 2009

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Kurzinfo
Die Inhalte dieser Seite wurden der Digitalen Schule Bayern vom ISB zur Veröffentlichung der Jahrgangsstufentests in Form von interaktiven Lernpfaden zur Verfügung gestellt. Die Aufgaben sind frei. Autorentexte und Bilder unterliegen dem jeweiligen Lizenzinhaber und bedürfen dessen Genehmigung zur Veröffentlichung.
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Aufgabe 1

In einer Zeitschrift findet Herr Otto folgendes Diagramm, das auszugsweise den Kraftstoffverbrauch seines PKW-Typs in Abhängigkeit von der gefahrenen Geschwindigkeit zeigt.

a) Mit welcher Geschwindigkeit darf Herr Otto laut Diagramm höchstens fahren, damit der Verbrauch nicht über 9,0 Liter pro 100 km steigt?

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höchstens 130 km/h

b) Berechnen Sie, um wie viel Prozent bei einer Autobahnfahrt der Kraftstoffverbrauch laut Diagramm steigt, falls Herr Otto dort durchgehend mit einer Geschwindigkeit von 160 km/h anstatt 100 km/h fährt.

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37,5 %

c) Wie weit kommt Herr Otto bei gleichmäßigem Verbrauch mit 1,0 Liter Kraftstoff, wenn er für 100 km 8,3 Liter benötigt? Kreuzen Sie denjenigen Wert an, der dem Ergebnis am nächsten liegt.

0,08 km oder 0,8 km oder 7 km oder 8,3 km oder 12 km oder 14 km

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12 km

Aufgabe 2

Berechnen Sie die Werte der folgenden Terme.

a)

$27^\frac{2}{3}=$ [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] $= \left(3^3\right)^\frac{2}{3}=3^2=9$

b)

$2^{-3}+\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}=$ [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] $= \left(\frac{1}{2}\right)^3+2=\frac{1}{8}+2=2\frac{1}{8}$

Aufgabe 3

a) Im nebenstehenden Koordinatensystem ist der Graph der Funktion $x\mapsto y=\frac{1}{x}$ mit Definitionsmenge D = IR\{0} für x > 0 eingetragen. Ergänzen Sie im Bereich x < 0 den noch fehlenden Teil des Graphen.

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b) Tragen Sie in das obige Koordinatensystem den Graphen der auf ganz IR definierten Funktion $x\mapsto y=\frac{1}{5}x$ ein.

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c) Bestimmen Sie rechnerisch, welche reellen Zahlen die Gleichung $\frac{1}{5}x=\frac{1}{x}$ lösen.

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$\frac{1}{5}x=\frac{1}{x}$ multiplizieren mit 5x

$\textstyle x^2=5$

$x_1 = \sqrt5; x_2 = -\sqrt5$

d) Erklären Sie die Bedeutung der Lösungen der Gleichung für die beiden Graphen im obigen Koordinatensystem.

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Die beiden Graphen schneiden sich an den Stellen $\sqrt5$ und $-\sqrt5$.

Aufgabe 4 Entscheiden Sie, ob folgende Aussagen über Vierecke jeweils wahr oder falsch sind. 1. In jedem Parallelogramm halbieren die Diagonalen einander. wahr falsch 2. In jedem Parallelogramm stehen die Diagonalen aufeinander senkrecht. wahr falsch 3. In jedem achsensymmetrischen Trapez stehen die Diagonalen aufeinander senkrecht. wahr falsch 4. In jedem achsensymmetrischen Trapez halbieren die Diagonalen einander. wahr falsch Punkte: 0 / 0

Aufgabe 5 Peter wirft gleichzeitig einen roten und einen blauen Spielwürfel (Laplacewürfel). Er sagt zu seiner Schwester Susi: „Es gibt 11 verschiedene Augensummen: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 und 12. Also wird jede Augensumme mit der Wahrscheinlichkeit $\textstyle\frac{1}{11}$ erzielt.“ a) Susi widerspricht: „Die Augensummen sind nicht gleich wahrscheinlich, denn beispielsweise ...“ Setzen Sie Susis Erklärung sinnvoll fort. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] ... muss für die Augensumme 2 jeder der Würfel eine 1 zeigen, für die Augensumme 3 gibt es zwei Möglichkeiten: der rote Würfel zeigt eine 1, der blaue eine 2 oder umgekehrt. Es ist also wahrscheinlicher, die Augensumme 3 zu würfeln als die Augensumme 2. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man bei einem Wurf mit diesen zwei Laplacewürfeln die Augensumme 8 erzielt. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{5}{36}$ Begründung: Insgesamt gibt es 36 mögliche Resultate beim Werfen zweier Würfel. 5 von ihnen ergeben die Augenzahl 8: 2 6; 3 5; 4 4; 5 3; 6 2 Nach Laplace beträgt die Wahscheinlichkeit also 5/36.

Aufgabe 6a Lea betrachtet den Vollmond. Mit einer kleinen Kunststoffperle, die sie 50 cm vor ihr Auge hält, kann sie den Mond genau abdecken. Lea weiß, dass die Perle einen Durchmesser von 5 mm hat und dass der Monddurchmesser 3500 km beträgt. Berechnen Sie aus diesen Angaben, wie weit der Mond etwa von der Erdoberfläche entfernt ist. Der Lösungsweg muss nachvollziehbar sein. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 350 000 km Lösungsidee: Strahlensatz anwenden

Aufgabe 6b In einem einfachen Modell bewegt sich der Mond mit einer konstanten Bahngeschwindigkeit auf einer Kreisbahn mit dem Radius 384000 km um die Erde. Für einen Umlauf um die Erde benötigt der Mond 27 Tage. Kreuzen Sie den Zahlenterm an, mit dem sich die Bahngeschwindigkeit des Mondes in km/h berechnen lässt. (!$\frac{27\cdot24}{\pi\cdot384000}$) (!$\frac{\pi\cdot384000^2\cdot24}{27}$) (!$\frac{2\pi\cdot192000}{27\cdot24}$) (!$\frac{2\pi\cdot384000}{27\cdot24\cdot3600}$) ($\frac{2\pi\cdot384000}{27\cdot24}$) (!$\frac{27\cdot24}{2\pi\cdot192000^2}$)

Aufgabe 7 a) Es gilt $6^2=\left(\sqrt11\right)^2+5^2$. Verwenden Sie diese Gleichung, um mit Hilfe des Satzes von Pythagoras eine Strecke der Länge $\sqrt11$ cm zu konstruieren. Markieren Sie diese Strecke in der Zeichnung. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Zeichung: Lösungsidee: Die gesuchte Strecke ist eine Kathete in einem rechtwinkligen Dreieck, bei dem die Hypotenuse 6 cm und die andere Kathete 5 cm lang ist. Konstruktionsidee: Thaleskreis über der 6 cm langen Strecke [AB] konstruieren, Eckpunkt C auf dem Thaleskreis durch einen Kreis um A (oder B) mit Radius 5 cm bestimmen, die Strecke [BC] (oder [AC]) ist die gesuchte Strecke b) Vereinfachen Sie den Term (n +1)2 - n2 und beschreiben Sie, wie sich damit jede Strecke, deren Längenmaßzahl die Wurzel aus einer ungeraden Zahl größer 1 ist, mit Hilfe des Satzes von Pythagoras konstruieren lässt. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] (n +1)2 - n2 = n2 + 2n + 1 - n2 = 2n + 1 (Der Wert des Terms ist stets eine ungerade Zahl.) Konstruktion: Die gesuchte Strecke ist die zweite Kathete in einem rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenusenlänge n+1 und der Kathetenlänge n.