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Lehrbuch Darstellende Geometrie

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DG-Grafik.png

Darstellende Geometrie (öfter auch Konstruktive Geometrie genannt) ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich damit beschäftigt, aus einem dreidimensionalen Körper (geometrische Körper, Bauwerke, Darstellung des Geländes usw.) ein zweidimensionales Abbild zu erstellen. Es muss also ein räumlicher Gegenstand auf ein flaches Blatt gezeichnet werden.

Sie findet vor allem Anwendung in den Ingenieurwissenschaften und ist z.B. Pflichtfach für angehende Bauingenieure und Architekten. Bauingenieure brauchen für ihre Bauvorhaben Pläne, bei denen sie alle wichtigen Informationen ablesen können müssen. Die Architekten entwerfen solche Pläne und erstellen auch anschauliche Bilder, damit sich die Bauherren ihr zukünftiges Haus vorstellen können.

Eine gewisse Ähnlichkeit hat die Darstellende Geometrie mit dem Technischen Zeichnen, das sich aber mehr mit dem Zeichnen von Konstruktionsplänen von Maschinen und Maschinenteilen beschäftigt. Es werden aber ähnliche Prinzipien verwendet.

Inhaltsverzeichnis

Ein Überblick zu Darstellungsarten

Maßgenau oder anschaulich?

Bei der Reduktion von zwei auf drei Dimensionen gehen zwangsläufig Informationen verloren und so ist es nicht möglich, dass eine Zeichnung sowohl anschaulich als auch gleichzeitig maßgenau ist.

  • Für den Laien, Bauherren, das Bewilligungsgremium ...
muss eine Zeichnung anschaulich sein.
  • Für den Fachmann, Handwerker, Bauunternehmer, die Genehmigungsbehörde ...
muss eine Zeichnung maßstäblich sein.
siehe auch Zeichnungen (Projektionsarten, Anschaulichkeit, Maßstäblichkeit)

Der Architekt etwa braucht anschauliche Zeichnungen, um seinen Entwurf besser vorstellen zu können. Allerdings fällt es in dieser Zeichnung schwer, die genauen Längen und Entfernungen abzulesen. Dafür gibt es Konstruktionspläne, die zwar ein Ablesen von Maßen ermöglichen, aber für den Laien wenig anschaulich sind.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, um möglichst wenig Informationen beim zweidimensionalen Zeichnen zu verlieren.

  • Verwendung von zwei Zeichnungen (2-Tafel-Projektion)
  • Maßangaben (Kotierte Projektion)
  • Übereck-Darstellungen (Axonometrie und Perspektive)
  • Grafische Elemente (Schatten und Helligkeitsstufen)
siehe auch Beispiele

Beispiel: Bei den folgenden Abbildern eines Hauses kann man leicht alle genauen Maße für Länge, Breite und Höhe ablesen. Die Darstellungen sind aber wenig anschaulich. Natürlich können geübte Augen sich daraus ein "Bild machen". Die meisten können dies aber nicht.

DG Bild1.png

Bei diesen beiden nächsten Bildern hat man zwar einen besseren räumlichen Eindruck, aber die Maße lassen sich, vor allem im rechten, perspektiv dargestellten Bild, nur schwer ablesen.

DG Bild2.png

Abbildungsarten

Die Abbildung eines Körpers auf die Ebene ist ein Vorgang, bei dem z.B. alle Eckpunkte eines Körpers auf die gleiche Art und Weise auf das Blatt gebracht werden.

Man verwendet dazu eine Technik, die einem ständig im Leben – als Schattenwurf – begegnet: Projektion. (Beispielbild dazu hier)

Bei allen Arten von Abbildungen verwendet man das gemeinsame Grundprinzip, dass die wichtigsten Punkte und Kurven eines Objektes mit Hilfe von gedachten Strahlen (Geraden) auf eine Bildtafel (Ebene) abgebildet (projiziert) werden.

Je nachdem, wie diese (Projektions)strahlen zur Bildtafel stehen bzw. wo sie sich miteinander treffen, unterscheidet man verschiedene Projektionsarten:

Parallelprojektion

Bei der Parallelprojektion sind die Abbildungsstrahlen parallel. Ein Modell für eine solche Abbildung ist der Schattenwurf bei Sonnenlicht, da aufgrund der großen Entfernung der Beleuchtungsquelle die Lichtstrahlen nahezu parallel verlaufen.

Man unterscheidet bei der Parallelprojektion noch die beiden Fälle:

Eine Normalprojektion
  • orthogonale Parallelprojektion (Normalprojektion)
Die Strahlen stehen senkrecht zur Bildtafel.
Darstellungsverfahren, die sich der orthogonalen Parallelprojektion bedienen:
  • Eintafelverfahren (kotierte Projektion)
  • Zweitafelverfahren
  • orthogonale Axonometrie
  • schiefe Parallelprojektion
Die Strahlen stehen nicht senkrecht zur Bildtafel.
Darstellungsverfahren, die sich der schiefen Parallelprojektion bedienen:
  • Grundrissaxonometrie
  • Aufrissaxonometrie


Beispiel für eine orthogonale Parallelprojektion:

Beispiel SenkrParallelProjektion.png

Die Abbdildungsstrahlen fallen senkrecht auf die Bildebene. Es werden nur die wichtigsten Punkte projiziert.

450px-DG1.1-1b.png

Wenn man die Eckpunkte abgebildet hat und sie richtig verbindet, erhält man die Parallelprojektion.

450px-DG1.1-1c.png

Das entstehende Bild ist recht anschaulich und gibt einen guten Eindruck vom räumlichen Bild des Körpers.

Beispiel für eine schiefe Parallelprojektion:

Bild fehlt noch

Im Unterschied zur senkrechten Parallelprojektion, fallen hier die Strahlen schräg auf die Bildebene.

Bild fehlt noch
Bild fehlt noch

Das Bild ist ebenfalls noch recht anschaulich, aber dadurch, dass die Frontseite des Würfels parallel zur Bildebene dargestellt wird, kann man seine Maße besser erkennen. So erscheint aber die Form etwas verfälscht.

WICHTIG: Bei der Parallelprojektion sind die Bilder paralleler Geraden auch wieder parallel.!

Zentralprojektion

Wenn die Projektionsstrahlen alle durch einen gemeinsamen Punkt (das Projektionszentrum oder den Augpunkt) gehen, sind sie nicht parallel zueinander. Durch die Zentralprojektion projizierte Geraden "flüchten" (verjüngen) sich zum Projektionszentrum hin.

Diese Projektion kommt unserem natürlichen Sehen am nächsten und erzeugt eine große Anschaulichkeit. Allerdings nimmt die Maßgerechtigkeit und Winkeltreue ab.

Darstellungsverfahren, die sich der Zentralprojektion bedienen:
  • Fotografie
  • Perspektive
  • Schatten bei Kunstlicht (nahe, zentrale Lichtquelle)
WICHTIG: Bei der Zentralprojektion schneiden sich die Bilder paralleler Geraden im Allgemeinen in einem Punkt (außer wenn sie parallel zur Bildebene liegen).

Eigenschaften der Projektionsarten

Projektionen sind im allgemeinen ...

  • ... punkttreu, das heißt, ein Punkt A wird auf nur einen Punkt A' abgebildet.
Es kommen also keine neuen Ecken dazu. Umgekehrt kann es sein, dass Punkte scheinbar verschwinden, weil Strecken hintereinander in einer Linie abgebildet werden.
  • ... geradentreu, das heißt, eine Gerade g wird auf nur eine Gerade g' abgebildet.
Sonderfall: Geht eine Gerade durch das Projektionszentrum (das bedeutet im Fall der Parallelprojektion Parallelität zur Projektionsrichtung), so ist ihr Bild g' ein Punkt. Man nennt g dann auch projizierend.
  • ... inzidenzerhaltend, das heißt, wenn P auf g liegt, liegt P' auf g'.
  • ... tangenterhaltend, das heißt, Tangenten an Kurven gehen in Tangenten an die Bildkurven über.

Die Besonderheiten der Parallelprojektion:

  • Die Bilder paralleler Geraden sind im Allgemeinen wieder parallel (Ausnahmen: projizierende Geraden)
  • Parallele Geradenstücke werden im gleichen Verhältnis verzerrt.
Bild fehlt noch
  • Ebene Figuren erscheinen im Bild unverzerrt, wenn sie parallel zur Bildtafel liegen.
Bild fehlt noch
  • Ebene Figuren erscheinen im Bild auch dann unverzerrt, wenn sie in einer Ebene x liegen, die spiegelsymmetrisch zu einer Ebene y ist, die zu den Projektionsstrahlen senkrecht sind.

Parallelprojektion

Zuerst werden wir uns mit den Parallelprojektionen beschäftigen. In diesem Kapitel werden nicht nur verschiedene Projektionsarten vorgestellt, sondern auch Techniken, wie aus vorhandenen Bildinformationen ein räumlich wirkendes Bild erstellt werden kann.

Zwei- und Dreitafelprojektion

Wie schon vorher erwähnt, gehen bei der Reduktion von drei auf zwei Dimensionen Bild-Informationen verloren. Ein Möglichkeit, dies auszugleichen, ist die Verwendung von mehreren Bildern des gleichen Objektes. Zeigt man ein Objekt aus verschiedenen Blickrichtungen, so kann man alle nötigen Informationen über das Aussehen erhalten.

Eine spezielle Anwendung dieser Idee ist die sogenannte Dreitafelprojektion. Dabei werden spezielle Ansichten verwendet und zwar diejenigen, die ein Objekt von oben (Grundriss), von vorne (Aufriss) und von der Seite (Seitenriss). Man nennt sie die Normalrisse.

Mathematisch gesehen kann man das so erklären, dass jeder Punkt des Objektes zunächst in einem räumlichen Koordinatensystem als P(x|y|z) beschrieben wird. Dann wird jeweils eine der Koordinaten gleich 0 gesetzt, um eine ebene Darstellung zu ermöglichen. Dies entspricht einer Projektion in jeweils eine der Grundebenen.

  • Die Projektion P(x|y|0) in die xy-Ebene nennt man den Grundriss; nach neuer Norm teilweise auch Draufsicht oder Aufsicht.
  • Die Projektion P(0|y|z) in die yz-Ebene nennt man den Aufriss; nach neuer Norm Vorderansicht.
  • Die Projektion P(x|0|z) in die xz-Ebene nennt man den Seitenriss (oder Kreuzriss); nach neuer Norm Seitenansicht.
Man beachte: Bei jeder der drei Ansichten handelt es sich um eine senkrechte Parallelprojektion!

Beispiel: Ein räumlicher Gegenstand wird auf die drei Grundebenen projiziert.

Das Haus Dreitafelobjekt.PNG soll in Dreitafel-Projektion dargestellt werden.

Grund Auf Seitenriss.PNG

Dazu werden die Eckpunkte auf die Grundebenen projiziert und miteinander verbunden.

Die Dreitafelprojektion kann dabei so verstanden werden, dass das Kooridnatensystem mit den drei Bildern aus den Grundebenen an einer Achse "auseinander geschnitten" werden und flach hingelegt werden.

Dreitafelprojektion.PNG

Um die einzelnen Punkte einander zuordnen zu können, werden sie mit dem Buchstaben des Raumpunktes bezeichnet und je nach Rissebene mit einem bis drei Strichen versehen. Punkt P im Grundriss wird als P' bezeichnet, im Aufriss P'' und im Seitenriss P'''.

Die hier zusätzlich eingezeichneten dünnen, grauen Linien werden als Ordner bezeichnet. Bei einer korrekten Zeichnung müssen die Projektionen eines Punktes auf einem Ordner liegen, der immer senkrecht zur Rissachse (im Prinzip die Koordinatenachse, die in der Dreitafelprojektion zwischen zwei Rissen liegt) steht.

Wie die Überschrift schon angedeutet hat, kann man eine Zweitafelprojektion verwenden, d.h. es werden nur zwei der drei Risse verwendet. Dies reicht auch aus, um die Position eines Punktes im Raum eindeutig festzulegen, da bereits in zwei Rissen alle drei Koordinaten eines Punktes ablesbar sind.

Bild fehlt noch

Bei dem Beispiel-Ojekt würden man vielleicht Auf- und Seitenriss verwenden, da man mit diesen beiden Bildern, den Gegenstand am besten erkennen kann.

Wichtige Begriffe: Der Punkt P wird in einer Zweitafelprojektion in Grund- und Aufriss dargestellt.

  • Grundriss: Senkrechte Projektion des Punktes P auf die waagerechte Ebene \pi_1 (Grundrissebene oder -tafel, x-y-Ebene), wo er als P' bezeichnet wird.
  • Aufriss: Senkrechte Projektion des Punktes P auf die Senkrechte Ebene \pi_2 (Aufrissebene oder -tafel, y-z-Ebene), wo er als P'' bezeichnet wird.
  • Risskante: Ist die Schnittkante der Grundrissebene \pi_1 und der Aufrissebene \pi_2, auch als k_{12} bezeichnet.
  • Ordner: Der Ordner verbindet P' und P'' und steht senkrecht auf die Risskante k_{12}.

Merke: Grund und Aufriss eines Punktes liegen immer auf einem Ordner. Ein Punkt P ist durch seinen Grund- und Aufriss immer eindeutig bestimmt.

Beispiele für Zweitafelprojektionen

Hier einige Beispiele für die Darstellung einfacher Körper in der Zweitafelprojektion.

Zunächst einige Körper, die den gleichen Grundriss haben. Unterscheidbar werden sie durch den Aufriss.

Bild fehlt noch

Hier noch ein paar Bilder. Man beachte, das nicht sichtbare Linien (wären nur von unten sichtbar!) gestrichelt dargestellt werden.

Bild fehlt noch

Übung 1: Finde die passende Dreitafelprojektion zu den gegebenen Körpern.

Übung 2: Beantworte die Fragen und kreuze dazu die passenden Körper an.

Zweitafelprojektion von Punkten

In der folgenden Zeichnung sieht man einige Sonderlagen von Punkten in der Zweitafelprojektion.

Punkte in ZTP 1.png

  • Punkt A liegt mitten im Raum
  • Punkt B liegt auf der Grundrissebene. Folglich hat er die Höhe Null und so liegt B im Aufriss auf der Risskante.
  • Punkt C liegt hinter der Aufrissebene.
  • Punkt D liegt unter der Grundrissebene.

Merke: Der Aufriss eines Punktes muss in der Zweitafelprojekt nicht immer über der Risskante liegen. Ebenso liegt der Grundriss nicht immer unterhalb der Risskante.

Übung 1: Übertrage die vier Punkte in das räumliche Bild und verbinde die Punkte zu einem Viereck ABCD. Zeichne die Teile der Verbindungslinien dort gestrichelt, wo sie hinter der Aufrisseben bzw. unterhalb der Grundrissebene liegen. Welche Art von Viereck bilden diese vier Punkte?

Übung 2:

Zweitafelprojektion von Geraden

Die Projektion einer Gerade ist im Allgemeinen wieder eine Gerade.

Gerade in ZTP.png

Es gibt einige Sonderlagen von Geraden, die zu speziellen Darstellungen in der Zweitafelprojektion führt.

  • Eine zu \pi_1 parallele Gerade nennt man Höhenlinie, eine zu \pi_2 parallele entsprechend Frontlinie. Man nennt solche Geraden auch Hauptgeraden.
Merke: Der Grundriss einer Höhenlinie ist im Grundriss unverzerrt. Der Aufriss einer Frontlinie ist im Aufriss unverzerrt.
  • Eine zu \pi_1 bzw. \pi_2 senkrecht stehende Gerade nennt man Erst- bzw. Zweitprojizierende.
  • Eine Gerade, deren Grund- und Aufriss ein Ordner ist, nennt man Angelehnte Gerade.

Gerade in ZTP Sonderfaelle.png

Hier muss unbedingt die Beschriftung in Grund- und Aufriss beachtet werden, da gerade die Projizierenden teilweise wie Punkte erscheinen.


Die Durchstoßungspunkte einer Gerade mit den Rissebenen nennt man Spurpunkte.

Spurpunkte von -Gerade in ZTP.png

Die Spurpunkte lassen sich aus Grund- und Aufriss einer Geraden konstruieren. Dazu sucht man z.B. im Aufriss, wo der Aufriss der Geraden die Risskante schneidet. Auf dem dazugehörigen Ordner findet man im Grundriss den dazugehörigen Grundriss zum Schnittpunkt der Geraden mit der Grundriss-Ebene.

Anleitung: Bestimmung der Spurpunkte einer Geraden
Verlängere jeweils Grund- und Aufriss der Geraden, bis sie die Risskante schneiden. Beim Schnittpunkt des Grundrisses mit 
der Risskante, legt man einen Ordner an. Dort wo dieser den Aufriss der Gerade schneidet, liegt der Aufriss des Spurpunktes 
mit der \pi_2-Ebene. 
Es kann vorkommen, dass es nur einen oder gar keinen Spurpunkt gibt. Je nachdem, ob ein Riss parallel zur Risskante ist.

Übung: Bestimme die Spurpunkte der drei Geraden mit der Grund- und Aufrissebene.

Übung: Gegeben sind Grund- und Aufrisse der Kanten eines fünfeckigen Prismas. Bestimme zeichnerisch die Schnittfigur des Prismas mit der Grundrissebene.

Zwei Geraden

Merke: Die Risse paralleler Geraden sind in Grund- und Aufriss auch parallel.

Bild fehlt noch

Übung: Liegen die vier Punkte in einer Ebene? Tipp: Wie liegen die einzelnen Seiten zueinander?

Schnittpunkte von Geraden

Zwei Geraden im Raum können sich schneiden oder aber auch nicht. Dann nennt man sie Windschief.

Schneiden sich zwei Geraden g_1 und g_2 in einem Punkt S, so ist diese auch im Grund- und Aufriss zu erkennnen. Die Schnittpunkte S_1 und S_2 müssen dabei auf einem Ordner liegen.

Bild fehlt noch

Wenn dagegen zwei Gerade windschief sind, so liegen die Schnittpunkte S' von g_1' und g_2' im Grundriss und T'' von g_1'' und g_2'' im Aufriss auf verschiedenen Ordnern.

Bild fehlt noch
Anleitung: Bestimmung des Schnittpunktes von zwei Geraden


Wahrer Schnittwinkel

Bei sich schneidenden Geraden interessiert oft der Schnittwinkel zwischen den Geraden. Allerdings zeigen die Schnittwinkel in Grund- und Aufriss in den seltensten Fällen den wahren Schnittwinkel.

Nur wenn beide Geraden parallel zu einer der Rissebenen liegt, kann der Winkel aus 
der Zeichnung abgelesen werden.

Für rechte Winkel ist die Voraussetzung weniger streng:

Ein rechter Winkel erscheint auf einer der Rissebenen in wahrer Größe, wenn wenigstens eine der 
Schenkel parallel zu dieser Rissebene liegt.
Aufgabe: Wo sind bei diesem Bild die Winkel in wahrer Größe abgebildet. Markiere diese Winkel farbig.
Bild fehlt noch

Zweitafelprojektion von Ebenen

Es gibt verschiedene Möglichkeiten Ebenen im Raum festzulegen.

  1. Durch drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegt.
  2. Durch eine Gerade und einen Punkt, der nicht auf dieser Geraden liegt.
  3. Durch zwei sich schneidende oder parallele Geraden.
Aufgabe: Durch die Punkte A, B und C wird ein Dreieck und damit eine Ebene \varepsilon festgelegt. Von einem Punkt P \in \varepsilon 
ist P'' gegeben. Bestimme P'.
Bild fehlt noch
Tipp: Verwende Hilfsgeraden, die durch P'' verlaufen. Nutze dazu die Punkte A, B oder C und 
die Strecken. Sie können helfen, da man von ihnen Grund- und Aufriss kennt.

Die Schnittgeraden einer Ebene \varepsilon mit den Rissebenen heißen, falls sie existieren, Spuren von \varepsilon. Sie werden üblicherweise verwendet, um die Lage von Ebenen darzustellen.

Wichtig ist dabei, dass man nicht die zwei Geraden in Grund und Aufriss nicht als Grund- und Aufriss einer Geraden missversteht. Es sind (meist) zwei getrennte Geraden, die, wenn sie sich schneiden, dies auf der Risskante tun.

Aufgabe: Wo ist der Aufriss von der Spurgeraden s_1 und wo der Grundriss von s_2?
Bild fehlt noch

Hier einige Sonderlagen von Ebenen.

zwei Bilder fehlen noch
Aufgabe: Zeichne in sowohl in Grund- und Aufriss und auch im Schrägbild die Höhenlinie durch P ein.
Bild fehlt noch
Aufgabe: Zeichne in sowohl in Grund- und Aufriss und auch im Schrägbild die Frontlinie durch P ein.
Bild fehlt noch
Aufgabe: Eine Ebene \varepsilon ist durch ihre Spuren s_1 und s_2 festgelegt. Von dem Punkt P \in \varepsilon 
ist der Aufriss P'' gegeben. 
Bestimme P' und die Hauptgeraden durch P, die auf \varepsilon liegen.
Bild fehlt noch
Aufgabe: Eine Ebene \varepsilon ist mit Hilfe der zwei Hauptgeraden h_1 und h_2 durch P gegeben. Bestimme die Spuren von \varepsilon.
Bild fehlt noch

Axonometrie

Arten von Axonometrien

Schiefe Axonometrie

Orthogonale Axonometrie

Darstellung von geradlinig begrenzten Körpern

Anleitungen

Darstellung von Kurven

Darstellung von Flächen

Zentralprojektion

Neue Bezeichnungen

Spurpunkt, Fluchtpunkt, Spurgerade, Fluchtgerade,Fallgerade

Perspektivischer Bilder bei senkrechter Bildtafel

Hilfskonstruktionen

Spiegelung an einer Ebene

Schattenkonstruktion

Perspektivischer Bilder bei geneigter Bildtafel

Rekonstruktionen aus perspektivischen Bildern

Abbildung von Kurven und Flächen