Einführung in die Differenzialrechnung

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Lernvideos für den Einsatz im Mathematikunterricht von Frank Schumann (Benutzer:FSchumannCOM)
Die Videos unterliegen der Standard-YouTube-Lizenz, die GeoGebra-Dateien der CC BY-SA 3.0.

Inhaltsverzeichnis

Steigung einer Geraden

In diesem Lernvideo wird das Thema: "Steigung einer Geraden“ vielseitig besprochen. Auf unterschiedlichen Wegen werden entweder die Steigungszahl m oder der Steigungswinkel a einer Geraden g berechnet.

Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate)

Was Sie hier lernen können:

  • Definition Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate)
  • Geometrische Bedeutung des Differenzenquotienten.

Im Lernvideo wird die geometrische Bedeutung des Differenzenquotienten in GeoGebra umfassend illustriert. Zu Beginn wird eine Definition für den Differenzenquotienten aus einfachen Beispielen zur Bestimmung der mittleren Änderungsrate für h ungleich Null erarbeitet.

Differenzenquotient und lineare Funktionen

Was Sie hier lernen können:

  • einen Satz über den Differenzenquotienten bezogen auf alle linearen Funktionen mit f(x)=m*x+n im Intervall [x_0,x_0+h],
  • wie man diesen Satz beweisen kann.

Im Lernvideo wird der Differenzenquotient auf lineare Funktionen angewendet und analytisch durch die Steigungszahl m aus f(x)=m*x+n beschrieben. Es wird ein Satz formuliert und bewiesen.

Differenzenquotient und spezielle quadratische Funktion

Was Sie hier lernen können:

  • einen Satz über den Differenzenquotienten bezogen auf eine spezielle quadratische Funktion f mit f(x)=x^2 im Intervall [x_0,x_0+h],
  • wie man diesen Satz beweisen kann.

Im Lernvideo wird der Differenzenquotient auf eine spezielle quadratische Funktion f angewendet und analytisch durch den Term: 2*x0 + h beschrieben. Es wird ein Satz formuliert. Es folgt eine Übung zur Tätigkeit: Beweisen.

Beobachtungen unter dem Graphen-Mikroskop

Was Sie hier lernen können:

  • das Beobachten veränderlicher und konstanter Parameter,
  • das Beschreiben eigener Beobachtungen,
  • Eigenschaften von Funktionen und ihren Graphen unter einem „Mikroskop“.

Im Lernvideo (ohne Ton) werden an der Funktion f mit f(x) = 0.1*x2 zwei Simulationsexperimente in GeoGebra demonstriert, die das „Erforschen“ zur Linearisierung differenzierbarer Funktionen anschaulich motivieren sollen.

Das Tangentenproblem

Was Sie hier lernen können:

  • die Idee des Linearisierens einer Funktion an einer Stelle aus dem Definitionsbereich der Funktion,
  • Grenzübergang für den Differenzenquotienten für h gegen null,
  • was man unter der Ableitung einer Funktion an einer Stelle aus dem Definitionsbereich versteht,
  • was man unter der Tangente einer Funktion an einer Stelle aus dem Definitionsbereich versteht.

Im Lernvideo wird der Begriff der lokalen Steigung einer Funktion, die sich an der Stelle x_0 unter dem „Graphen-Mikroskop“ linearisieren lässt, durch verschiedene Simulationsexperimente in GeoGebra induktiv erarbeitet. Das Tangentenproblem entwickelt sich aus dem Verschwinden der Sekante für h gegen null (numerische Division durch null!). Es folgt eine Definition für die Ableitung f Strich von x null in einer für Lernende der Klassenstufe 10 angemessenen Fachsprache. Eine exakte Definition für den Grenzübergang des Differenzenquotienten für h gegen null ist auf Grund der eingeschränkten Begriffsbildung didaktisch nicht angebracht.

Ableitung einer Funktion an der Stelle x_0

Was Sie hier lernen können:

  • wie man einen Differenzenquotienten an der Stelle x_0 aufstellt und für eine nachfolgende Grenzwertbetrachtung für h gegen null umformt
  • wie man aus dem Differenzenquotienten eine Vermutung für die Ableitung einer Funktion an der Stelle x_0 gewinnen kann.

Im Lernvideo werden Übungen am Differenzenquotienten zur Berechnung der Ableitung f Strich von x_0 exemplarisch angeleitet.

Gleichung der Tangente in x_0

Was Sie hier lernen können:

  • wie man eine Gleichung für eine Tangente an der Stelle x_0 bestimmen kann.

Im Lernvideo wird die allgemeine Gleichung einer Tangente t zu einer differenzierbaren Funktion f an der Stelle x_0 hergeleitet. Ein Rechenbeispiel verdeutlicht die Anwendung dieser allgemeinen Tangentengleichung.

Graphisch Ableiten

Was Sie hier lernen können:

  • wie man in GeoGebra den Graphen einer Ableitungsfunktion skizzieren kann.

Im Lernvideo wird gezeigt, wie man in GeoGebra einen Funktionsgraphen graphisch ableitet. Es wird die Lageveränderung der Tangente t an der Stelle x_A näher untersucht.

Potenzregel vermuten

Was Sie hier lernen können:

  • wie man in GeoGebra eine Vermutung für eine Regel zur Ableitung einfacher Potenzfunktionen mit f(x)=x^n und n Element der Menge aller ganzen Zahlen finden kann.

Im Lernvideo wird die Potenzregel zur Ableitung von Potenzfunktionen mit ganzzahligem Exponenten induktiv gewonnen. Auf einen Beweis der Potenzregel wird verzichtet.

Oben offene Schachtel (3D)

Was Sie hier lernen können:

  • den Aufbau einer Optimierungsaufgabe
  • die Definition: lokales Maximum einer Funktion
  • die Definition: globales Maximum einer Funktion.

Im Lernvideo wird eine Extremwertaufgabe – oben offene Schachtel - analysiert, eine Zielfunktion analytisch beschrieben und auf graphischem Wege gelöst. Dabei werden zwei zentrale Begriffe aus der Kurvendiskussion eingeführt: lokales und globales Maximum. Im Lernvideo wird darauf verwiesen, dass im bevorstehenden Unterricht Verfahren zur rechnerischen Bestimmung lokaler Extrema mittels Differenzialrechnung eingeführt werden. GeoGebra ab Version 5 erforderlich.

Monotonie und Ableitung

Was Sie hier lernen können:

  • einen Satz über den Zusammenhang von Monotonie einer Funktion und deren Ableitung in offenen Intervallen
  • wie man den Satz anwenden kann, um Monotonie-Untersuchungen durchzuführen.

Im Lernvideo wird ein Satz über den Zusammenhang: Monotonie und Ableitung in offenen Intervallen exemplarisch erarbeitet.

Lokale Extrema und VZW-Kriterium

Was Sie hier lernen können:

  • wie man mithilfe eines Satzes die Existenz und Art eines lokalen Extremums rechnerisch nachweisen kann.

Im Lernvideo werden der Satz vom Vorzeichenwechselkriterium (VZW-Kriterium) und seine Anwendung auf differenzierbare Funktionen zum Nachweis lokaler Extrema erläutert. Dabei werden Begriffe, wie Extremum, Extremstelle, lokales Maximum, lokales Minimum, Hoch- und Tiefpunkte in Anwendungen beschrieben.

Extremwertaufgabe (ohne Nebenbedingungen)

Was Sie hier lernen können:

  • woran man eine Extremwertaufgabe erkennen kann
  • wie man eine einfache Extremwertaufgabe (ohne Nebenbedingung) rechnerisch und graphisch lösen kann
  • wie man eine Extremwertaufgabe variieren kann.

Im Lernvideo wird eine einfache Extremwertaufgabe, ohne Nebenbedingung, in 4 Schritten rechnerisch gelöst. Animationen unterstützen die Anschauung zur Lösungsfindung. Für das weitere Üben zum Lösen von Extremwertaufgaben wird die Ausgangsaufgabe variiert, indem der rechte Rand des Definitionsbereiches der Zielfunktion verändert wird. Dabei entstehen lokale Extrema, die in der Ausgangsaufgabe noch nicht existent waren.