Lotto 6 aus 49

Lotto 6 aus 49

Wahrscheinlichkeit für weniger als 6 Richtige und Zusatzzahl.

Die Definition der Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses A ist wie folgt definiert:

$P(A)=$ Anzahl aller Möglichkeiten, die zu A gehören / Anzahl aller Möglichkeiten des Zufallsversuchs

Beim deutschen Lotto werden aus 49 Zahlen 6 angekreuzt. Die Anzahl der Möglichkeiten, dieses zu tun, ist:

${49 \choose 6} =\frac {49!} {6! \cdot 43!}=\frac {49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44} {6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}=13.983.816$

Die Anzahl der Möglichkeiten, von 6 Gewinnzahlen genau 6 anzukreuzen, ist:

${6 \choose 6} =\frac {6!} {6! \cdot 0!}=1$

Das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit bestimmt werden soll, lautet:

A: sechs Richtige im Lotto

Zu A gehört genau eine Möglichkeit von insgesamt 13.983.816 Möglichkeiten.

Damit ist $P(A)=\frac {1} {13.983.816} \approx 0,000.000.072$

die Wahrscheinlichkeit, bei einem Tipp genau 6 Richtige zu haben.

Als neues Ereignis definieren wir B: 4 richtige im Lotto.

Das bedeutet, von den 6 Gewinnzahlen wurden 4 angekreuzt, 2 der angekreuzten Zahlen gehören zu den 49 – 6 = 43 nicht Gewinnzahlen.

Die Anzahl der Möglichkeiten von 6 Gewinnzahlen 4 anzukreuzen ist:

${6 \choose 4} =\frac {6!} {4! \cdot 2!}=\frac {6 \cdot 5} {2 \cdot 1}=\frac {30} {2}=15$

Die Anzahl der Möglichkeiten von den 43 nicht Gewinnzahlen 2 anzukreuzen ist:

${43 \choose 2} =\frac {43!} {2! \cdot 41!}=\frac {43 \cdot 42} {2 \cdot 1}=\frac {1806} {2}=903$

Damit ist die Anzahl der Möglichkeiten für 4 richtige im Lotto:

${6 \choose 4}\cdot {43 \choose 2} =15 \cdot 903= 13.545$

Zu B gehören also insgesamt 13.545 Möglichkeiten von insgesamt 13.983.816 Möglichkeiten.

Damit ist $P(B)=\frac {13.545} {13.983.816}\approx 0,00097$ die Wahrscheinlichkeit bei einem Tipp genau 4 Richtige zu haben.

Folgendes Schema soll noch mal die Notwendigkeit der Multiplikation von 15 mit 903 veranschaulichen:

1 .......... 903 2 aus 43 1 ggggnn .......... ggggnn   . . .......... .   . . .......... .   . . .......... .   15 ggggnn .......... ggggnn     4 aus 6

In einer Zeile bleiben die angekreuzten Gewinnzahlen (gggg) gleich, die angekreuzten nicht Gewinnzahlen (nn) ändern sich. In einer Spalte bleiben die angekreuzten nicht Gewinnzahlen (nn) gleich, die angekreuzten Gewinnzahlen (gggg) ändern sich.

Als neues Ereignis definieren wir C: 5 Richtige mit Zusatzzahl.

Anzahl der Möglichkeiten für:

5 Gewinnzahlen angekreuzt (5 aus 6) ${6 \choose 5}=6$

1 Zusatzzahl angekreuzt (1 aus 1) ${1 \choose 1}=1$

0 Nicht Gewinnzahlen angekreuzt (0 aus 42) ${42 \choose 0}=1$

$P(C)=\frac {{6 \choose 5} \cdot {1 \choose 1} \cdot {42 \choose 0}} {{49 \choose 6}}=\frac {6 \cdot 1 \cdot 1} {13.983.816}=\frac {6} {13.983.816}\approx 0,000.000.429$

ist die Wahrscheinlichkeit bei einem Tipp genau 5 Richtige mit Zusatzzahl zu haben.

Sie ist sechmal so groß wie die für 6 Richtige.

Zusatzinformationen

In Deutschland betreibt der Deutsche Lotto- und Totoblock, der Zusammenschluss der Landes-Lotteriegesellschaften, das Lottospiel. Man kann zusätzlich am Spiel Super 6 und Spiel 77 teilnehmen. Zu den 6 Zahlen werden zudem noch eine Zusatzzahl und eine Superzahl gezogen. Die Zusatzzahl wird aus den restlichen 43 Kugeln als siebte, nach den ersten 6 Zahlen, gezogen. Sie erhöht bei den niedrigeren Gewinnklassen den Gewinn um eine Stufe.

Demgegenüber ergibt sich die Superzahl (nur) für den Jackpot aus den Zahlen 0 bis 9, die auf dem Lottoschein bereits vorgemerkt ist. Das ist sozusagen ein weiteres Los - allerdings mit der Auswirkung, dass diese Chance um das Zehnfache niedriger wird. Die Superzahl wird nach der Ziehung der Lottozahlen aus einer Extratrommel, die 10 Kugeln mit den Nummern 0 bis 9 enthält, gezogen.

Gewinnklassen

Klasse	Anzahl der richtigen	Wahrscheinlichkeit bei einem Tipp (= W)	bei zwölf Tipps
Kl.1	6 mit Superzahl	$\frac {{6 \choose 6}} {{49 \choose 6}} \cdot \frac {1} {10}=\frac {1} {13.983.816} \cdot \frac {1} {10}\approx 0,000000715 %$	$\approx 0,00000858 %$
Kl.2	6	$\frac {{6 \choose 6}} {{49 \choose 6}}=\frac {1} {13.983.816} \approx 0,00000715 %$	$\approx 0,0000858 %$
Kl.3	5 mit Zusatzzahl	$\frac {{6 \choose 5} \cdot {1 \choose 1} \cdot {42 \choose 0}} {{49 \choose 6}}=\frac {6} {13.983.816}\approx 0,0000429 %$	$\approx 0,000515 %$
Kl.4	5	$\frac {{6 \choose 5} \cdot {43 \choose 1}} {{49 \choose 6}} - W(Kl3) =\frac {258 - 6} {13.983.816}\approx 0,00180 %$	$\approx 0,0216 %$
Kl.5	4 mit Zusatzzahl	$\frac {{6 \choose 4} \cdot {1 \choose 1} \cdot {42 \choose 1}} {{49 \choose 6}}=\frac {630} {13.983.816}\approx 0,00450 %$	$\approx 0,0540 %$
Kl.6	4	$\frac {{6 \choose 4} \cdot {43 \choose 2}} {{49 \choose 6}} - W(Kl5) =\frac {13545 - 630} {13.983.816}\approx 0,0924 %$	$\approx 1,10 %$
Kl.7	3 mit Zusatzzahl	$\frac {{6 \choose 3} \cdot {1 \choose 1} \cdot {42 \choose 2}} {{49 \choose 6}}=\frac {17220} {13.983.816}\approx 0,123 %$	$\approx 1,47 %$
Kl.8	3	$\frac {{6 \choose 3} \cdot {43 \choose 3}} {{49 \choose 6}} - W(Kl7)=\frac {246820 - 17220} {13.983.816}\approx 1,64 %$	$\approx 18,0 %$
	2	$\frac {{6 \choose 2} \cdot {43 \choose 4}} {{49 \choose 6}}=\frac {1.851.150} {13.983.816}\approx 13,2 %$	$\approx 81,8 %$
	1	$\frac {{6 \choose 1} \cdot {43 \choose 5}} {{49 \choose 6}}=\frac {5.775.588} {13.983.816}\approx 41,3 %$	$\approx 99,8 %$
	0	$\frac {{6 \choose 0} \cdot {43 \choose 6}} {{49 \choose 6}}=\frac {6.096.454} {13.983.816}\approx 43,6 %$	$\approx 99,9 %$

Bei zwölf Tipps berechnet sich die Wahrscheinlichkeit nur für die oberen Gewinnklassen aus dem Zwölf-fachen der Wahrscheinlichkeit für einen Tipp. Allgemein ist die Formel des Modells "Urnenmodell ohne Zurücklegen" anzuwenden, wobei man sich dem Komplementärereignis (W(Komplementärereignis) = 1 - W(Ereignis)) bedienen kann und wegen der großen Zahlen im Zähler und Nenner annäherungsweise bei 3 Stellen Genauigkeit 1 - (1 - W)^12 rechnen darf (siehe auch Diskussion).

Grafische Darstellung

Beeinflussung der Gewinnhöhe

Zwar ist die Wahrscheinlichkeit eines Gewinns nicht beeinflussbar, dies trifft aber nicht auf die Höhe des Gewinns zu. Denn zwar werden die Zahlen zufällig gezogen, nicht aber zufällig angekreuzt. Durch antizyklisches Tippverhalten kann deshalb im Gewinnfall die Gewinnsumme optimiert werden, die Gewinnchance selbst bleibt davon allerdings unberührt. Strategien um die Gewinnsumme zu erhöhen: Meiden der Geburtstagszahlen 1-12 und 1-31 sowie der 19 Meiden von grafischen Zahlenmustern Meiden ganzer Reihen direkt nebeneinander liegender Zahlen Zahlen am Rand Zahlenpaare 16, 40, 41 Zwar sind alle Zahlen gleich wahrscheinlich, da viele Menschen aus Bequemlichkeit auf bestimmte Zahlen, z.B. den eigenen Geburtstag setzen, fällt bei deren Ziehung die Gewinnsumme oft deutlich niedriger aus, z.B. umgerechnet 8.000 EUR für 6 Richtige im Jahr 1984, oder weniger als 200 EUR für 5 Richtige bei der 1999 gezogenen Zahlenreihe 2, 3, 4, 5, 6. Das Meiden häufig getippter Zahlen und das Bevorzugen selten getippter Zahlen ist die einzige Möglichkeit, beim Lottospiel den Erwartungswert des Gewinns positiv beeinflussen zu können. Lotto, Wikipedia – Die freie Enzyklopädie, 2.11.06 - Der Text ist unter der Lizenz „Creative Commons Attribution/Share Alike“ verfügbar; zusätzliche Bedingungen können anwendbar sein. Siehe die Nutzungsbedingungen für Einzelheiten. In der Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.

Übung Erläutern Sie, wie man mit Hilfe dieser Informationen die Gewinnwahrscheinlichkeit steigern kann. Gibt es ähnliche Strategien bei anderen Glücksspielen wie Roulette? Informatik: Schreiben Sie eine Lottozahlenausfüllhilfe, die einige dieser Informationen berücksichtigen.

Siehe auch

• Mathematik in der Oberstufe
• Urnenmodell
• Wahrscheinlichkeit