Experimente: Zuordnungen
Inhaltsverzeichnis |
Einführung
Zuordnungen weisen den Werten aus einem Bereich einen oder mehrere Werte aus einem anderen Bereich zu (z.B. "Zeit --> Füllhöhe" oder "Gefahrene km --> Taxikosten").
Darstellungsformen
Die wichtigsten Darstellungsformen von Zuordnungen sind die Wertetabelle, das Streudiagramm und der Graph.
Wertetabelle
In einer Wertetabelle wird jedem Element der ersten Menge (Definitionsmenge) genau ein Element der zweiten Menge (Wertemenge) zugeordnet.
Beispiel
Streudiagramm
In einem Streudiagramm werden je zwei einander zugeordnete Elemente der Wertetabelle durch ein Symbol (meistens durch einen Punkt) in einem Koordinatensystem dargestellt. Dabei ist das Element der Definitionsmenge der x-Wert und das Element der Wertemenge der y-Wert.
Beispiel
Graph
Um eine Zuordnung graphisch darzustellen, wird eine Funktion durch die Punkte eines Streudiagramms gelegt.
Die Funktion einer proportionalen Zuordnung hat die Form , einer antiproportionalen Zuordnung die Form
und einer linearen Zuordnung die Form
.
Beispiel
für eine lineare Zuordnung:
für eine proportinale Zuordnung:
für eine antiproportionale Zuordnung:
Kompetenzen
Alle Informationen zu den Kompetenzen stammen aus dem Kernlehrplan für das Gymnasium - Sekundarstufe I (G8) in Nordrhein-Westfalen, der von dem Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen 2007 herausgegeben wurde.
Inhaltsbezogene Kompetenzen:
Funktionen - Beziehungen und Veränderung beschreiben und erkunden
Schülerinnen und Schüler:
- stellen Zuordnungen mit eigenen Worten, in Wertetabellen, als Grafen und in Termen dar und wechseln zwischen diesen Darstellungen (Darstellen)
- interpretieren Grafen von Zuordnungen und Terme linearer funktionaler Zusammenhänge (Interpretieren)
- identifizieren proportionale, antiproportionale und lineare Zuordnungen in Tabellen, Termen und Realsituationen (Anwenden)
- wenden die Eigenschaft von proportionalen, antiproportionalen und linearen Zuordnungen sowie einfache Dreisatzverfahren zur Lösung außer- und innermathematischer Problemstellungen an (Anwenden)
Prozessbezogene Kompetenzen:
Modellieren - Modelle erstellen und nutzen
Schülerinnen und Schüler:
- übersetzen einfache Realsituationen in mathematische Modelle (Mathematisieren)
- überprüfen die im mathematischen Modell gewonnenen Lösungen an der Realsituation und verändern ggf. das Modell (Validieren)
- ordnen einem mathematischen Modell eine passende Realsituation zu (Realisieren)
Werkzeuge - Medien und Werkzeuge verwenden
Schülerinnen und Schüler:
- nutzen mathematische Werkzeuge (Tabellenkalkulation, Geometriesoftware, Funktionenplotter) zum Erkunden und Lösen mathematischer Probleme (Erkunden)
- nutzen den Taschenrechner (Berechnen)
- tragen Daten in elektronischer Form zusammen und stellen sie mithilfe einer Tabellenkalkulation dar (Darstellen)
Fachlicher Hintergrund
Proportionale Zuordnungen
Definition
Eine Zuordnung heißt proportional, wenn bei einer Zuordnung |
Das heißt konkret:
Verdoppelt (verdreifacht, vervierfacht, ...) man die Größe , so verdoppelt (verdreifacht, vervierfacht, ...) sich auch die
zugeordnete Größe
.
Halbiert (drittelt, viertelt, ... ) man die Größe , so halbiert (drittelt, viertelt, ... ) sich auch die
zugeordnete Größe
.
Daraus folgt, dass die Größen und
proportional sind, wenn die Quotienten der Paare
konstant sind.
Lineare Zuordnungen
Definition
Eine Zuordnung heißt linear, wenn bei einer Zuordnung |
Antiproportionale Zuordnungen
Definition
Eine Zuordnung heißt antiproportional, wenn bei einer Zuordnung |
Das heißt konkret:
Verdoppelt (verdreifacht, vervierfacht, ...) man die Größe , so halbiert (drittelt, viertelt, ...) sich auch die
zugeordnete Größe
.
Halbiert (drittelt, viertelt, ... ) man die Größe , so verdoppelt (verdreifacht, vervierfacht, ... ) sich auch die
zugeordnete Größe
.
Daraus folgt, dass die Größen und
antiproportional sind, wenn die Produkte der Paare
konstant sind.
Zusammenfassung
Aufgaben / Experimente
Aufgabe 1 (Wassergefäß)
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Lösungsvorschlag
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Aufgabe 2 (abbrennende Kerze)
Materialien: eine möglichst dünne Kerze, ein Lineal oder ein Zollstock, eine Uhr
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Lösungsvorschlag
Am Beispiel des nachfolgendem Experimentes:
Öffne nun die Applikation Graphs und ändere unter menu --> 3:Grafiktyp --> 4:Streudiagramm den Funktionstyp zu einem Streudiagramm. Trage x<--zeit und y<--höhe ein. Verändere schließlich den Sichtbereich durch Verschieben und Minimieren mit dem Mauszeiger.
Die Funktion beschreibt eine lineare Zuordnung (
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Aufgabe 3 (Maßband)
Die nachfolgende Aufgabenstellung behandelt die antiproportionalen Zuordnungen
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Lösungsvorschlag
Wähle zunächt die Applikation Lists & Spreadsheets aus. Fasse dort die ermittelten Werte in einer Wertetabelle zusammen. Öffne nun im Hauptmenü die Applikation Data & Statistics. Die zuvor eingetragenen Werte werden nun im Form eines Streudiagramms dargestellt. Wähle als x-Variable die Länge der Streifen und als y-Variable die Anzahl der Streifen. Im Menü wählst du nun unter Analysieren den Befehl Funktion zeichnen. Gib nun für f1(x) eine Funktion ein, die dem Verlauf des Streudiagramms ungefähr entspricht. Gib als Funktionsvorschrift f1(x)=100/x ein. Wähle nun die Applikation Graphs und erstelle eine Funktion mit der Funktionsvorschrift Die Funktion beschreibt eine antiproportionale Zuordnung, bei der in Bezug auf die Aufgabenstellung nur die positiven x-Werte betrachtet werden. Beschrieben wird eine Hyperbel mit der Zuordnungsvorschrift |
Zusatz: Aufgabe 4 (Dreiecke)
Die nachfolgende Aufgabenstellung behandelt eine proportionale Zuordnung. Von besonderem Interesse ist der Rückgriff auf bereits bekannte Inhalte aus dem Geometrieunterricht.
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Lösungsvorschlag
In die vorliegenden Funktionsvorschrift können Werte für x bzw. für y eingesetzt werden (z.B. |
Didaktischer Kommentar
Die Schüler/innen erlernen im Rahmen des Unterrichtsthemas "Funktionen" das Erstellen einer Wertetabelle, die graphische Darstellung der gesammelten Daten sowie das Ermitteln und Aufstellen von Funktionsvorschriften. Erfreulicherweise bietet das Thema eine Anknüpfung an realitätsnahe Aufgaben, die den Alltag der Schüler aufgreifen. Auf diesem Weg kann die Motivation der Schüler/innen gesteigert und ihr Interesse sowie auch das Verständnis gestärkt werden.
Ein weiterer Motivationsfaktor ist die Handlungsorientierung, auf die im Bereich der Funktionen zurückgegriffen wird. Schüler/Schülerinnen können wie oben dargestellt verschiedene Experimente durchführen und mit den zuvor ermittelten Werten im Folgenden weiterarbeiten. Auf dieser enaktiven Ebene (Lernen durch Handlen am konkreten Material) wird vorallem die Verstehensorientierung bedient. Dies wird besonders an der Stelle deutlich, wenn die Schüler/innen sich überlegen müssen, welche Funktion einen ähnlichen Verlauf wie das Streudiagramm aufzeigt. Nicht selten müssen die Schüler/innen an dieser Stelle auf bekannte Inhalte zurückgreifen (Funktionstypen, Normalform, Scheitelpunktsform...).
Bei der unterrichtlichen Behandlung dieses Themenbereiches bietet sich der Einsatz des Taschenrechners besonders an. Schüler/Schülerinnen können mit Hilfe des Taschenrechners die zuvor eigenständig ermittelten Versuchswerte sichern und im weiteren Verlauf problemlos auf diese zurückgreifen. In diesem Zusammenhang erlernen sie auch den Umgang mit dem Taschenrechner beim Erstellen von Tabellen. Desweiteren ermöglicht der Taschenrechner ohne große Umstände ein Variieren der Variablen. Besonders die graphische Darstellung in Form von Streudiagrammen und daran angepassten Funktionen ermöglicht einen gutes bildliches Verständnis.
Links
Literatur
- Cukrowicz, Jutta; Theilenberg, Joachim und Prof. Dr. Zimmermann, Bernd (Hrsg.)(2003). MatheNetz 7. Braunschweig: Westermann.
- Greulich, Jörgens, Jürgensen-Engl, Riemer, Schmitt-Hartmann (2007). Lambacher Schweizer 7. Stuttgart: Klett.
- Herling, Jochen u.a. (2008). Mathematik 7. Braunschweig: Westermann.