Experimente: Zuordnungen

Einführung

Zuordnungen weisen den Werten aus einem Bereich einen oder mehrere Werte aus einem anderen Bereich zu (z.B. "Zeit --> Füllhöhe" oder "Gefahrene km --> Taxikosten").

Darstellungsformen

Die wichtigsten Darstellungsformen von Zuordnungen sind die Wertetabelle, das Streudiagramm und der Graph.

Wertetabelle

In einer Wertetabelle wird jedem Element der ersten Menge (Definitionsmenge) genau ein Element der zweiten Menge (Wertemenge) zugeordnet.

Beispiel

Streudiagramm

In einem Streudiagramm werden je zwei einander zugeordnete Elemente der Wertetabelle durch ein Symbol (meistens durch einen Punkt) in einem Koordinatensystem dargestellt. Dabei ist das Element der Definitionsmenge der x-Wert und das Element der Wertemenge der y-Wert.

Beispiel

Graph

Um eine Zuordnung graphisch darzustellen, wird eine Funktion durch die Punkte eines Streudiagramms gelegt. Die Funktion einer proportionalen Zuordnung hat die Form $y = nx$, einer antiproportionalen Zuordnung die Form $y = \frac {c}{x}$ und einer linearen Zuordnung die Form $y = nx + b$.

Beispiel

für eine lineare Zuordnung: $y = 0.5x + 0.5$

für eine proportinale Zuordnung: $y = x$

für eine antiproportionale Zuordnung: $y = \frac {1} {x}$

Kompetenzen

Alle Informationen zu den Kompetenzen stammen aus dem Kernlehrplan für das Gymnasium - Sekundarstufe I (G8) in Nordrhein-Westfalen, der von dem Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen 2007 herausgegeben wurde.

Inhaltsbezogene Kompetenzen:

Funktionen - Beziehungen und Veränderung beschreiben und erkunden

Schülerinnen und Schüler:

• stellen Zuordnungen mit eigenen Worten, in Wertetabellen, als Grafen und in Termen dar und wechseln zwischen diesen Darstellungen (Darstellen)
• interpretieren Grafen von Zuordnungen und Terme linearer funktionaler Zusammenhänge (Interpretieren)
• identifizieren proportionale, antiproportionale und lineare Zuordnungen in Tabellen, Termen und Realsituationen (Anwenden)
• wenden die Eigenschaft von proportionalen, antiproportionalen und linearen Zuordnungen sowie einfache Dreisatzverfahren zur Lösung außer- und innermathematischer Problemstellungen an (Anwenden)

Prozessbezogene Kompetenzen:

Modellieren - Modelle erstellen und nutzen

Schülerinnen und Schüler:

• übersetzen einfache Realsituationen in mathematische Modelle (Mathematisieren)
• überprüfen die im mathematischen Modell gewonnenen Lösungen an der Realsituation und verändern ggf. das Modell (Validieren)
• ordnen einem mathematischen Modell eine passende Realsituation zu (Realisieren)

Werkzeuge - Medien und Werkzeuge verwenden

Schülerinnen und Schüler:

• nutzen mathematische Werkzeuge (Tabellenkalkulation, Geometriesoftware, Funktionenplotter) zum Erkunden und Lösen mathematischer Probleme (Erkunden)
• nutzen den Taschenrechner (Berechnen)
• tragen Daten in elektronischer Form zusammen und stellen sie mithilfe einer Tabellenkalkulation dar (Darstellen)

Fachlicher Hintergrund

Proportionale Zuordnungen

Definition Eine Zuordnung heißt proportional, wenn bei einer Zuordnung $x -> y$ zu dem n-fachen der Größe $x$ auch das n-fache der Größe $y$ gehört. Der Graph einer proportionalen Zuordnung beschreibt eine Gerade, die immer durch den Ursprung verläuft. Ihre Zuordnungsvorschrift lautet $y=nx$.

Das heißt konkret: Verdoppelt (verdreifacht, vervierfacht, ...) man die Größe $x$, so verdoppelt (verdreifacht, vervierfacht, ...) sich auch die $x$ zugeordnete Größe $y$.

Halbiert (drittelt, viertelt, ... ) man die Größe $x$, so halbiert (drittelt, viertelt, ... ) sich auch die $x$ zugeordnete Größe $y$.

Daraus folgt, dass die Größen $x$ und $y$ proportional sind, wenn die Quotienten der Paare $(x,y)$ konstant sind.

Lineare Zuordnungen

Definition Eine Zuordnung heißt linear, wenn bei einer Zuordnung $x -> y$ die Zunahme der $x$-Werte um eine Einheit immer die gleiche Zunahme bzw. Abnahme der $y$-Werte zur Folge hat. Der Graph einer linearen Zuordnung beschreibt eine Gerade, deren Zuordnungsvorschrift $y=nx+b$ lautet.

Antiproportionale Zuordnungen

Definition Eine Zuordnung heißt antiproportional, wenn bei einer Zuordnung $x -> y$ zum n-fachen der Größe x auch der n-te Teil der Größe y gehört. Der Graph einer antiproportionalen Zuordnung beschreibt eine Hyperbel mit der Zuordnungsvorschrift $y = \frac {c}{x}$.

Das heißt konkret: Verdoppelt (verdreifacht, vervierfacht, ...) man die Größe $x$, so halbiert (drittelt, viertelt, ...) sich auch die $x$ zugeordnete Größe $y$.

Halbiert (drittelt, viertelt, ... ) man die Größe $x$, so verdoppelt (verdreifacht, vervierfacht, ... ) sich auch die $x$ zugeordnete Größe $y$.

Daraus folgt, dass die Größen $x$ und $y$ antiproportional sind, wenn die Produkte der Paare $(x,y)$ konstant sind.

Zusammenfassung

Aufgaben / Experimente

Aufgabe 1 (Wassergefäß)

Bildreihe anzeigen

Bildreihe verstecken

Aufgabe 1 In eine zylinderförmige Vase wird mit konstantem Zulauf Wasser eingelassen. Der Durchmesser der kreisförmigen Grundfläche beträgt 4,4cm, die Höhe der Vase 23cm. (a) Lies anhand der Bilderreihe geeignete Werte für die Zuordnung "Zeit -> Höhe des Wasserstandes" ab. Erstelle eine Wertetabelle, übertrage die Daten in den TI-Nspire und lasse dir die Punkte im Koordinatensystem anzeigen. (b) Versuche eine passende Funktion durch die Punkte zu legen. Um was für eine Zuordnung handelt es sich? (c) Wie lange dauert es, bis der Zylinder komplett mit Wasser gefüllt ist? Wie lange würde es dauern, bis eine 1m große Vase mit gleichem Wasserzulauf gefüllt ist? (d) Berechne die Zuflussgeschwindigkeit des Wassers in l/sec. (e) Wie müsste man den Versuchsaufbau ändern, um (1) eine lineare, nicht proportionale Zuordnung zu erhalten? (2) keine der speziellen Zuordnungen zu erhalten?

Lösungsvorschlag

Lösung (a) Zunächst werden die Messwerte mit Hilfe der Applikation Lists & Spreadsheets als Wertetabelle eingegeben. Bei Graphs unter der Option Streudiagramm kann man sich die Wertepaare dann anzeigen lassen. Wertetabelle&Streudiagramm anzeigen Wertetabelle&Streudiagramm verstecken (b) Unter dem Grafiktyp Funktion kann man nun eine Funktion zeichnen lassen und diese verschieben, bis sie die Zuordnung gut beschreibt. Es handelt sich also um eine proportionale Zuordnung. Funktion anzeigen Funktion verstecken (c) Nach 27sec ist die Vase gefüllt, bei einer 1m hohen Vase würde es 1min59sec dauern. (d) Die Steigung m der Funktion gibt den Zulauf in $\frac {cm} {sec}$ an. Multipliziert mit der Kreisfläche($A=\pi r^2$) ergibt sich der Zulauf in $\frac {cm^3} {sec}$. $A= \pi(2,2cm)^2= 15.2cm^2 --> A*m = (15,2*0,84) \frac {cm^3} {sec} =12.78 \frac {cm^3} {sec} = 0,0128l\frac {l} {sec}$ (e) (1) Man könnte eine teilweise gefüllte Vase benutzen. (2) Eine Möglichkeit wäre ein Zufluss, der sich mit der Zeit ändert oder eine bauchige Vase zu benutzen.

Aufgabe 2 (abbrennende Kerze)

Materialien: eine möglichst dünne Kerze, ein Lineal oder ein Zollstock, eine Uhr

Aufgabe 2 a) Messe die Höhe der Kerze vom Boden bis zum Dochtansatz. Lasse nun die Kerze abbrennen und messe viermal nach 10 Minuten die Höhe der Kerze. Trage diese Werte in eine Wertetabelle (im TI-Nspire) ein. Lasse dir nun ein Streudiagramm anzeigen. b) Bestimme mit dem TI-Nspire (näherungsweise) einen Graphen für die Zuordnung. Welche Zuordnungsform entspricht dem Graphen? c) Nach welcher Zeitdauer ist die Kerze abgebrannt? d) Wie lange würde es dauern bis eine ein Meter hohe Kerze mit der gleichen Abbrenngeschwindigkeit abgebrannt ist? e) Wie müsste eine Kerze aussehen, damit der Graph der Zuordnung eine (1) proportionale oder eine (2) antiproportionale Zuordnung beschreibt?

Lösungsvorschlag

Am Beispiel des nachfolgendem Experimentes:

Experiment anzeigen

Experiment verstecken

Lösung a) Tippe die gemessenen Werte mit der Applikation Lists & Spreadsheats in eine Wertetabelle. Wähle als Definitionsmenge zeit und als Wertemenge höhe. Wertetabelle anzeigen Wertetabelle verstecken Öffne nun die Applikation Graphs und ändere unter menu --> 3:Grafiktyp --> 4:Streudiagramm den Funktionstyp zu einem Streudiagramm. Trage x<--zeit und y<--höhe ein. Verändere schließlich den Sichtbereich durch Verschieben und Minimieren mit dem Mauszeiger. Streudiagramm anzeigen Streudiagramm verstecken b) Verändere den Funktionstyp durch menu --> 3:Grafiktyp --> 1:Funktion und zeichne eine Funktion der Form $y = nx + b$ ein. Verschiebe diese, bis sie den Punkten der Zuordnung ziemlich genau entspricht. Graph anzeigen Graph verstecken Die Funktion beschreibt eine lineare Zuordnung ($y = -0.213x + 8.37$). c) Setze in der Funktion $y$ gleich 0 und berechne $x$. Die Lösung ist ungefähr 40. Also ist die Kerze nach 40 Minuten abgebrannt. d) Die Höhe der Kerze wird von 8.4 cm auf 100 cm verändert. Deshalb wird die Funktion ebenfalls hinsichtlich der Anfangshöhe bzw. des $y$-Startwertes verändert. Daraus ergibt sich die Funktion $y = -0.213x + 100$. Löse diese wie in c). Die ein Meter hohe Kerze brennt ungefähr 469 Minuten. e) (1) Eine Kerze, die durch eine proportionale Funktion beschrieben werden kann, existiert nicht, da sie bei 0 Minuten 0 Höhe haben müsste. (2) Eine Kerze, die durch eine antiproportionale Funktion beschrieben werden kann, muss bei einer doppelten (n-fachen) Zeitspanne auch auf die Hälfte (auf den nten Teil) abgebrannt sein. Zudem muss man die Anfangshöhe beim Zeichnen des Graphen außenvor lassen, da ein Graph einer antiproportionalen Zuordnung auf der $y$-Achse nicht definiert ist.

Aufgabe 3 (Maßband)

Die nachfolgende Aufgabenstellung behandelt die antiproportionalen Zuordnungen

Aufgabe 3 Du kannst das dir vorliegende Maßband in 20 Streifen von je 5 cm Länge zerschneiden. Wie viele Streifen erhälst du, wenn jeder Streifen 10 cm (15 cm, 20 cm) lang werden soll? Stelle zunächst eine Vermutung auf, wie viele Streifen von je 10 cm (15 cm, 20 cm) du erhältst. Überprüfe nun deine Annahmen, indem du die vorliegenden Maßbänder wie angegeben zerschneidest. Trage anschließend die ermittelten Werte in eine Wertetabelle ein (TI-Nspire). Bestimme nun mit Hilfe des TI-Nspire zeichnerisch eine Funktion, die den Zusammenhang zwischen Streifenlänge und Anzahl der Streifen darstellt. Versuche dazu, eine passende Funktion durch die Punkte zu legen. Welche Eigenschaften hat die zuvor behandelte Zuordnung? Um welche Zuordnung handelt es sich? Plotte abschießend die ermittelte Funktion mit der Applikation Graphs. Betrachte die geplottete Funktion, indem du mehrere Verkleinerungsschritt vornimmst. Was fällt dir mit Blick auf die Werte für x (Streifenlänge) auf?

Lösungsvorschlag

Lösung Wähle zunächt die Applikation Lists & Spreadsheets aus. Fasse dort die ermittelten Werte in einer Wertetabelle zusammen. Wertetabelle anzeigen Wertetabelle verstecken Öffne nun im Hauptmenü die Applikation Data & Statistics. Die zuvor eingetragenen Werte werden nun im Form eines Streudiagramms dargestellt. Wähle als x-Variable die Länge der Streifen und als y-Variable die Anzahl der Streifen. Streudiagramm anzeigen Streudiagramm verstecken Im Menü wählst du nun unter Analysieren den Befehl Funktion zeichnen. Gib nun für f1(x) eine Funktion ein, die dem Verlauf des Streudiagramms ungefähr entspricht. Funktionssuche anzeigen Funktionssuche verstecken Gib als Funktionsvorschrift f1(x)=100/x ein. Funktionsgraph 1 anzeigen Funktionsgraph 1 verstecken Wähle nun die Applikation Graphs und erstelle eine Funktion mit der Funktionsvorschrift $y = \frac {100}{x}$. Die auf diese Weise geplottete Funktion ist für folgende x-Werte definiert: x<0 und x>0, jedoch nicht für x=0. Für die Maßbandaufgabe sind nur die positiven x-Werte relevant. Funktionsgraph 2 anzeigen Funktionsgraph 2 verstecken Die Funktion beschreibt eine antiproportionale Zuordnung, bei der in Bezug auf die Aufgabenstellung nur die positiven x-Werte betrachtet werden. Beschrieben wird eine Hyperbel mit der Zuordnungsvorschrift $y = \frac {c}{x}$.

Zusatz: Aufgabe 4 (Dreiecke)

Die nachfolgende Aufgabenstellung behandelt eine proportionale Zuordnung. Von besonderem Interesse ist der Rückgriff auf bereits bekannte Inhalte aus dem Geometrieunterricht.

Aufgabe 4 Legt vier DIN-A4-Blätter Papier deckungsgleich übereinander und schneidet sie entlang einer Diagonalen durch. Ihr erhaltet insgesamt acht deckungsgleiche rechtwinklige Dreiecke. Die beiden Dreiecksseiten, die den rechten Winkel einschließen, nennt man Katheten, die dritte Seite, die also dem rechten Winkel gegenüberliegt, heißt Hypothenuse.Schneidet nun von jeden der acht Dreiecke parallel zur Hypothenuse jeweils einen Streifen ab, alle jedoch verschieden breit. Somit erhaltet ihr acht verschieden große rechtwinklige Dreiecke. Kennzeichnet diese mit den Ziffern 1 bis 8 und messt die Längen ihrer Katheten. a) Übertrage die Messergebnisse beider Katheten in eine Wertetabelle. b) Suche nach einer Beziehung zwischen den Längen der beiden Katheten. Ermittle dazu eine Funktionsvorschrift. c) Berechne mit Hilfe dieser Funktionsvorschrift, wie lang die kleinere Kathete desjenigen Dreiecks sein muss, dessen größere Kathete 50 cm lang ist.

Lösungsvorschlag

Lösung Wähle zunächt die Applikation Lists & Spreadsheets aus. Fasse dort die ermittelten Werte in einer Wertetabelle zusammen. Wertetabelle anzeigen Wertetabelle verstecken Öffne nun im Hauptmenü die Applikation Data & Statistics. Die zuvor eingetragenen Werte werden nun im Form eines Streudiagramms dargestellt. Wähle als x-Variable die Länge kleineren Kathete und als y-Variable die Länge der größeren Kathete. Streudiagramm anzeigen Streudiagramm verstecken Im Menü wählst du nun unter Analysieren den Befehl Funktion zeichnen. Gib nun für f1(x) eine Funktion ein, die dem Verlauf des Streudiagramms ungefähr entspricht. Die gesuchte Funktion ist $f(x) = \frac {3} {2} x$ Funktionssuche anzeigen Funktionssuche verstecken In die vorliegenden Funktionsvorschrift können Werte für x bzw. für y eingesetzt werden (z.B. $y=50$). Auf diesem Weg lässt sich die Länge einer Kathete in Abhängigkeit der anderen Kathete berechnen.

Didaktischer Kommentar

Die Schüler/innen erlernen im Rahmen des Unterrichtsthemas "Funktionen" das Erstellen einer Wertetabelle, die graphische Darstellung der gesammelten Daten sowie das Ermitteln und Aufstellen von Funktionsvorschriften. Erfreulicherweise bietet das Thema eine Anknüpfung an realitätsnahe Aufgaben, die den Alltag der Schüler aufgreifen. Auf diesem Weg kann die Motivation der Schüler/innen gesteigert und ihr Interesse sowie auch das Verständnis gestärkt werden.

Ein weiterer Motivationsfaktor ist die Handlungsorientierung, auf die im Bereich der Funktionen zurückgegriffen wird. Schüler/Schülerinnen können wie oben dargestellt verschiedene Experimente durchführen und mit den zuvor ermittelten Werten im Folgenden weiterarbeiten. Auf dieser enaktiven Ebene (Lernen durch Handlen am konkreten Material) wird vorallem die Verstehensorientierung bedient. Dies wird besonders an der Stelle deutlich, wenn die Schüler/innen sich überlegen müssen, welche Funktion einen ähnlichen Verlauf wie das Streudiagramm aufzeigt. Nicht selten müssen die Schüler/innen an dieser Stelle auf bekannte Inhalte zurückgreifen (Funktionstypen, Normalform, Scheitelpunktsform...).

Bei der unterrichtlichen Behandlung dieses Themenbereiches bietet sich der Einsatz des Taschenrechners besonders an. Schüler/Schülerinnen können mit Hilfe des Taschenrechners die zuvor eigenständig ermittelten Versuchswerte sichern und im weiteren Verlauf problemlos auf diese zurückgreifen. In diesem Zusammenhang erlernen sie auch den Umgang mit dem Taschenrechner beim Erstellen von Tabellen. Desweiteren ermöglicht der Taschenrechner ohne große Umstände ein Variieren der Variablen. Besonders die graphische Darstellung in Form von Streudiagrammen und daran angepassten Funktionen ermöglicht einen gutes bildliches Verständnis.

Links

• Kernlehrplan für das Gymnasium - Sekundarstufe I (G8) in Nordrhein-Westfalen

Literatur

• Cukrowicz, Jutta; Theilenberg, Joachim und Prof. Dr. Zimmermann, Bernd (Hrsg.)(2003). MatheNetz 7. Braunschweig: Westermann.
• Greulich, Jörgens, Jürgensen-Engl, Riemer, Schmitt-Hartmann (2007). Lambacher Schweizer 7. Stuttgart: Klett.
• Herling, Jochen u.a. (2008). Mathematik 7. Braunschweig: Westermann.