Modellieren mit quadratischen Funktionen

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Allgemeine Grundlagen: Quadratischen Funktionen

Definition

Quadratische Funktionen sind im allgemeinen von der Form

f(x)=ax^2+bx+c mit a nicht 0.

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Wie die Parabel aussieht kann an den Parametern a,b,c abgelesen werden. Der Parameter a gibt an, ob die Parabel nach oben (a>0) oder nach unten (a<0) geöffnet ist und ob sie gestreckt (|a|>1) oder gestaucht (|a|<1) ist. Am Parameter c lässt sich die Verschiebung in y-Richtung ablesen und die Veränderung von b bedeutet eine Verschiebung sowohl in y-Richtung, als auch in x-Richtung.

Scheitelpunkt

Der Scheitelpunkt ist das Maximum bzw. Minimum einer quadratischen Funktion und legt die Lage des Funktionsgraphen fest. Wir können eine quadratische Form mithilfe quadratischer Ergänzung in die Scheitelpunktsform

f(x)=a(x-x_s)^2+y_s

umformen und den Scheitelpunkt (x_s,y_s) direkt ablesen.

Nullstellen

Die Nullstellen x_1,x_2einer quadratischen Funktion f(x)=x^2+px+q (Normalform) können mit der sogenannten p-q-Formel



x_1=-p/2+sqrt((p/2)^2-q), x_2=-p/2-sqrt((p/2)^2-q)



berechnet werden.
Eine andere Möglichkeit bietet der Satz von Vieta:

x_1+x_2=-p, x_1*x_2=q.


Kernlehrpläne

In den Kernlehrplänen (G8) befinden sich für das Ende der Sekundarstufe I folgende, für quadratische Gleichungen relevante Erwartungen:

  • Die SuS lösen einfache quadratische Gleichungen die unmittelbar auf ein Lösungsverfahren (z.B. Faktorisieren, pq-Formel) rechnerisch, grafisch, oder durch Probieren angewendet werden können
  • Sie stellen funktionale Zusammenhänge - insbesondere lineare und quadratische - in sprachlicher Form, in Tabellen, als Grafen und in Termen dar
  • Sie wenden quadratische Funktionen zur Lösung von Problemstellungen an
  • Sie verwenden Kenntnisse über quadratische Gleichungen zum Lösen inner- und außermathematischer Probleme
  • Sie stellen quadratische Funktionen mit eigenen Worten in verschiedenen Darstellungsformen dar, wechseln zwischen diesen Formen und bennen ihre Vor- bzw. Nachteile
  • Sie deuten die Parameter der quadratischen Funktion in der grafischen Form und nutzen diese in Anwendungsformen

Eine ausführlichere Zusammenfassung der für die quadratischen Funktionen relevanten Forderungen in den Kernlehrplänen findet man hier: Quadratische Funktionen und Gleichungen


Der komplette Lehrplan für das Fach Mathematik findet sich auf der Seite des Schulministeriums unter folgendem Link: Kernlehrplan Mathematik (G8)

Anwendung von GeoGebra und CAS

Mit dem Schieberegler können die SuS unkompliziert die Parameter varieren und die Auswirkungen für den Graphen sichtbar machen.


Darstellung mit der Normalform

Mit den Parametern a=0.5, b=2, c=1

Darstellung mit der Scheitelform

Der Scheitelpunkt der Parabel liegt im Punkt S(1|2) und es gilt a=1.

Aufgabe 1

Die folgende Datei ist das Bild vom Berliner Bogen am Anckelmannsplatz in Hamburg.


a. Bestimme zeichnerisch mit GeoGebra die Funtionsgleichung des Brückenbogens.

b. Im Hamburger Stadtwiki [1] findet man folgende Daten zum Gebäude:
Breite: 70m
Höhe (Bogenscheitel): 36m
Überprüfe rechnerisch die in a. ermittelte Funktionsgleichung. Welche Schwiergikeit ergibt sich dabei?

Aufgabe 2

Ein 20 Meter langer Zaun soll rechteckig so angelegt werden, dass dieser die größtmögliche Fläche einschließt.

Eine Funktion dafür soll über Geogebra dargestellt werden. Mit welchen Seitenlängen ist die Fläche am größten?

Versuche zunächst ein Rechteck so zukonstruieren, dass dessen Umfang immer gleich bleibt, während Breite und Länge beliebig verstellbar sind.

Aufgabe 3

Freier Fall

Als freier Fall ist die durch das Schwerefeld der Erde bewirkte beschleunigte Bewegung eines Körpers frei vom Einfluss weiterer äußerer Kräfte definiert. Während des freien Falls befindet sich der Körper im Zustand der Schwerelosigkeit. Unter diesen Umständen ist der Luftwiderstand bei der folgenden Aufgabe zu vernachlässigen:


Von der Spitze eines Turmes lässt man einen Stein fallen. Nach 4 Sekunden schlägt dieser auf den Boden auf.

Hinweis: Zur Berechnung der Aufgaben soll der Taschenrechner herangezogen werden!

a) Wie hoch ist der Turm? Erstelle ein s-t-Diagramm.

b) Mit welcher Geschwindigkeit trifft der Stein auf dem Boden auf? Erstelle ein v-t-Diagramm.

c) Nach welcher Zeit hat der Stein die Hälfte seines Fallweges zurückgelegt?

d) Welche Zeit braucht der Stein zum Durchfallen der letzten 20m?

Didaktischer Kommentar

Dynamische Geometrie-Software, wie GeoGebra oder auch ein CAS eignen sich sehr gut für die graphische Darstellung von quadratischen Funktionen, da man die Bedeutung der Parameter sehr gut und ohne großem Aufwand veranschaulichen kann. Dabei sollte man allerdings beachten, dass für das richtige Verständnis der Funktionen die Darstellung in der Wertetabelle nicht außer Acht gelassen werden darf.

Quellen