Exponentieller Zerfall: Simuliert mit Würfeln

Einführung in das Thema

Beliebte Einführungen in die Thematik des exponentiellen Zerfalls in der Schule sind etwa die Abbauzeiten von Medikamenten im Körper oder auch der Zerfall von radioaktiven Elementen. Eine alternative Herangehensweise, die mit Hilfe des TI-Nspire CAS möglich ist und gleichzeitig eine Verbindung zur Wahrscheinlichkeitsrechnung liefert, ist eine Simulation des exponentiellen Zerfalls mit Würfeln. Diese wird im Folgenden näher erläutert.

Notwendige Voraussetzungen

Die Schülerinnen und Schüler sollten

• eine gute Vorstellung vom Funktionsbegriff haben

• mit relativen Wahrscheinlichkeiten umgehen können

• Tabellenkalkulation und Funktionenplotter des Taschenrechners nutzen können

Aufgabenstellung für die Schülerinnen und Schüler

Aufgabe In einem Würfelspiel wird im ersten Schritt mit 100 Würfeln gleichzeitig gewürfelt. Nun werden alle Würfel mit der Augenzahl 6 aus dem Spiel genommen. Die restlichen Würfel werden erneut geworfen, die Sechsen werden wieder aus dem Spiel genommen. Das Spiel wird so lange fortgesetzt, bis alle Würfel aus dem Spiel sind. Durch welche Funktionsvorschrift könnte beschrieben werden, wie viele Würfel nach n Würfen noch im Spiel sind? Stellt Vermutungen auf. Simuliert das Würfelspiel mit Hilfe des Taschenrechners. Als Hilfe dazu könnt ihr die Tabelle in der folgenden Datei verwenden (versucht die benutzten Formeln nachzuvollziehen!). Datei:Simulation zerfall.tns Stellt das Ergebnis grafisch dar und lasst zusätzlich die von euch vermutete Funktion einzeichnen. Wie kommt es zu den Abweichungen zwischen den beiden Kurven? Nach wie vielen Würfen ist in der Simulation die Hälfte der Würfel aus dem Spiel? Stimmt dies etwa mit der Anzahl an Würfen überein die man im Normalfall erwarten würde? Wiederholt die Simulation mit einer anderen Würfel-Anzahl, was ändert sich dabei an der Funktionsvorschrift, die die Simulation beschreibt? Nach wievielen Schritten sind hierbei die Hälfte der Würfel aus dem Spiel? Vergleicht dies Ergebnis mit Aufgabe 4 - was fällt euch auf?

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Da in dem beschriebenen Würfelspiel nach jedem Wurf die gewürfelten Sechsen aus dem Spiel genommen werden und die Wahrscheinlichkeit, mit einem Würfel eine Sechs zu würfeln, bei $\frac{1}{6}$ liegt, ist die Vermutung nahe, dass die gesuchte Funktionsvorschrift $f(n)=(\frac{5}{6})^n*100$ lautet.

Die bereitgestellte Datei enthält nun die folgende Tabelle:

Merke: Auf Grund einer neueren Firmware des TI-Nspire kann es zu Problemen bei der Durchführung der Lösung kommen, da die genutzte Folge in der dargestellten Lösung nicht abbricht. Gelöst werden kann dieses Problem, indem die Folge auf eine bestimmte Anzahl von Ausgabewerten begrenzt wird. Dazu wird die gewünschte Schrittzahl einfach wie hier (mit der Begrenzung von 50 Schritten) zu sehen ist, in die Folge eingefügt: Allerdings muss beachtet werden, dass mit einer Begrenzung der Schrittzahlen nicht sichergestellt werden kann, dass das Experiment erst beendet wird sobald alle Würfel aus dem Spiel sind.

Die beiden dargestellten rekursiven Folgen beschreiben in der ersten Spalte die Nummer des Wurfes sowie im zweiten Fall die Anzahl der übrigen Würfel. Zu verstehen ist die zweite Folge so: Zunächst werden mit der Funktion randint die Würfe im jeweiligen Schritt simuliert. Dann werden mit Hilfe von iffn Einsen für jede gewürfelte Sechs ausgegeben, diese werden schließlich mit sum aufsummiert und von den übrigen Würfeln des letzten Schrittes subtrahiert.

Das Problem dieser Folge ist nun allerdings, dass von dem Taschenrechner Errors ausgegeben werden sobald alle Würfel aus dem Spiel sind. Für die weitere Bearbeitung der Aufgabe hat dies allerdings keine Konsequenzen.

Mit Hilfe der Applikation Data & Statistics lassen sich die ermittelten Werte grafisch darstellen. Dazu unter den Menü-Punkten "X-Variable hinzufügen" bzw. "Y-Variable hinzufügen" auf die Tabellendaten verweisen.

Plotten Sie anschließenend die vermutete Funktion. Die Unterschiede zwischen Daten und Kurve kommen offenbar daher, dass es sich um ein Zufallsexperiment handelt, weshalb Abweichungen zum "perfekten" Ergebnis völlig normal sind.

Wiederholt man den Versuch mit einer anderen Würfel-Anzahl, so ändert sich in der Funktionsvorschrift lediglich der konstante Faktor. Startet man mit einer sehr hohen Würfel-Anzahl, so scheinen die Daten offenbar exakt auf dem Graphen zu liegen, was allerdings an dem Maßstab liegt.

Vergleicht man bei verschiedenen Versuchen die erwarteten Schrittzahlen, die erforderlich sind um die Hälfte der Würfel aus dem Spiel zu bekommen, so sind diese natürlich identisch bei ca. 3,8.

Lehrplanbezug und geförderte Kompetenzen

Die Thematik des exponentiellen Zerfalls gliedert sich in den Bereich der Exponentialfunktionen in der Jahrgangsstufe 10 (die seit G8 nicht mehr zu Sekundarstufe I gehört) ein und schließt sich normalerweise an das exponentielle Wachstum an. Die dargestellte Aufgabe bietet sich zur Einführung an und fördert hauptsächlich die folgenden zentralen Ideen des Lehrplans:

• Idee des Messens

• Idee des funktionalen Zusammenhangs

• Idee der Wahrscheinlichkeit

• Idee des mathematischen Modellierens

Zusätzlich werden unter anderem die folgenden Kompetenzen gefördert:

• Selbstständiges Arbeiten

• Argumentieren

Didaktischer Kommentar

Die dargestellte Aufgabe bietet eine gute Möglichkeit, die Gebiete der Analysis und der Stochastik miteinander zu verknüpfen, indem der funktionale Zusammenhang zwischen dem Würfelexperiment und dem exponentiellen Zerfall herausgestellt wird.

Der Einsatz des Taschenrechners bietet sich hier besonders an, da mit seiner Hilfe das Experiment schnell mehrmals durchgeführt werden kann und auch die Startwerte variiert werden können, wodurch der Zerfallsprozess und seine funktionale Struktur deutlich absehbar werden. Per Hand dagegen würde sich dieses Experiment für die Unterrichtsgestaltung wohl für zu aufwändig herausstellen, einmal in Bezug auf das Auswürfeln der Ergebnisse (was im Gegensatz zur Taschenrechnernutzung – wenn überhaupt – nur einmal gemacht werden könnte), aber auch was die grafische Auswertung und den Vergleich mit der Zerfallsfunktion betrifft.

Wert sollte bei der Durchführung des Beispiels auch darauf gelegt werden, die benutzte rekursive Folge, die das Würfelspiel simuliert, ausführlich zu erklären. Auf Grund deren Komplexität sollte die Folge allerdings vom Lehrer bereitgestellt werden – aber dann auch mit den Schülern besprochen werden, damit klar wird was der Taschenrechner eigentlich macht und wieso durch die Folge wirklich die Würfe simuliert werden.

Eine Problematik bei der dargestellten Lösung ist leider, dass der Taschenrechner Fehlermeldungen ausgibt, sobald im Experiment alle Würfel aus dem Spiel sind - denn zu diesem Zeitpunkt gibt die Folge vor "mit 0 Würfeln zu Würfeln", was offenbar nicht möglich ist. Deshalb sollte auch das Zustandekommen der Fehlermeldung an die Schüler weitergegeben werden.