Optimierungsprobleme

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Inhaltsverzeichnis

Motivation

Mathematisch modellierbare Optimierungsprobleme sind ein wesentlicher Gegenstand anwendungsorientierter Mathematik. Also solche haben sie die Entwicklung der Differentialrechnung wesentlich mitgeprägt. Anwendung finden Optimierungsprobleme in Teilgebieten wie die Variationsrechnung und Operations Research.

In diesem Artikel werden wir neben der klassischen Herangehensweise auch eine Möglichkeit aufzeigen, wie man mit Hilfe des TI-nSpire auf eine Lösung kommen kann, ohne auf die Differentialrechnung zurückgreifen zu müssen.

Klassisches Lösungsverfahren

Wir haben ein mathematisierbares Optimierungsproblem gegeben. Folgende Schritte können als Lösungsverfahren durchgeführt werden:

  1. Mathematische Modellierung des Problems und Angabe der Extremalbedingung (evtl. Anlegen einer beschrifteten Skizze; Benennung aller wichtigen Größen; Angabe einer Gleichung für die Größe, für die ein Extremum (Max./Min.) bestimmt werden soll; in der Regel hängt die Extremalgröße von mehreren Parametern ab)
  2. Nebenbedingung angeben (Gleichungen aufstellen, die angeben, wie die Parameter voneinander abhängen)
  3. Zielfunktion angeben und Definitionsbereich bestimmen (Reduktion der Parameter in der Extremalbedingung durch die Nebenbedingungen)
  4. Globales Extremum bestimmen (Lokale Extrema bestimmen und prüfen, ob Randextrema vorliegen.)
  5. Bezug zur Aufgabe herstellen

Aufgaben

Bestimmung eines optimalen Kastens

Stift.gif   Aufgabe

Ein rechteckiges Stück Pappe mit den Seitenlängen 20cm und 32cm wird durch Abschneiden von Quadraten an den Ecken und Aufbiegen der Seitenflächen zu einem oben offenen Kasten gefaltet. Wie groß sind die Abmessungen des volumengrößten Kastens?

Optimierung einer Dose

Stift.gif   Aufgabe

Handelsübliche Konservendosen haben eine (angenähert) zylindrische Form. Wie sind die Dosen zu dimensionieren wenn der Materialverbrauch minimal werden soll? Das Volumen der Dose betrage 500 ml. (Da die Dicke des Bleches an Wand, Deckel und Boden gleich sein soll, kann der Materialverbrauch der Oberfläche gleichgesetzt werden.) Die Oberfläche des Zylinders soll minimal werden.

Lehrplan/Zentrale Ideen

Ideen

Die Lösung von Extremwertaufgaben entspricht im Wesentlichen der Idee des funktionalen Zusammenhangs aus dem Lehrplan der Sek. II. Durch das Aufstellen der Extremalbedingung, der Nebenbedingungen und schließlich der Zielfunktion, werden die Zusammenhänge aus dem Optimierungsproblem "erfasst, beschrieben und quantifiziert". Ein wesentlicher Bestandteil der anwendungsorientierten Optimierungsprobleme ist, im Sinne der Idee des funktionalen Zusammenhangs, das "Aufspüren" mathematischer Beziehungen im vorliegenden Problem, welches hauptsächlich durch das Aufstellen der Extremal- Nebenbedingungen repräsentiert wird.

Lehrplan

Der Lehrplan für die Sekundarstaufe II sieht das Bearbeiten von Extremwertaufgaben, im Sinne der Fortführung der Differentialrechnung, im Grundkurs sowie Leistungskurs der Jahrgangsstufe 12 vor.

Didaktischer Kommentar

Die Auswahl unserer beiden Aufgaben zeigt, dass es mit Hilfe des TI-nSpires möglich ist neben dem klassichen Lösungsverfahren einen interaktiven Lösungsweg einzuschlagen, der weitestgehend auf Kenntnisse der Differentialrechnung verzichtet. Der "Zug-Modus", das heißt das direkte Verändern der Meßwerte mit anschließender Übertragung in die Wertetabelle und in ein Schaubild, ermöglicht eine Alternative zur Entdeckung des funktionalen Zusammenhangs. Dieses Verfahren ist als präformal zu beschreiben und somit auch für die Sek I relevant, da das Aufstellen einer Zielfunktion im Allgemeinen nicht notwendig ist, die extremale Eigenschaft jedoch trotzdem untersucht werden kann. Die Behandlung des Themas Optimierungsprobleme kann also an die Voraussetzungen der Lerngruppe individuell angepasst werden.

Der Einsatz des TI-nSpires beim klassischen Lösungsverfahren sollte sich darauf beschränken die Extrema auszurechnen. Eine Lösung des Optimierungsproblemes ausschließlich mit dem TI-nSpire ist umständlich und unnötig.

Die gemeinsame Verwendung beider Möglichkeiten wirkt einem Lösungsschematismus ohne Reflexion der Methodenangemessenheit und anderen Problemen entgegen, die beim klassischen Lösungsverfahren entstehen können. Einige dieser seien im folgenden genannt:

  • Die Mittel der Veranschaulichung sind beschränkt, die traditionelle Lernumgebung ist starr.
  • Es gibt ausschließlich geschlossene Aufgaben - Eine Problematisierung der Existenz einer Lösung findet nicht statt.
  • Die heuristische Dimension wird vernachlässigt.
  • Es fehlen Aufgaben, die die Grenzen des Lösens mittels der schulüblichen Differenzialrechnung aufweisen.

Quellen

  • Mathematik mit TI83 und TI83plus, Extremwertaufgaben; Tinhof, Friedrich; Trauner Verlag
  • Computerunterstützte Behandlung geometrischer Extremwertaufgaben; Schumann, Heinz; Franz Becker Verlag; 2000
  • Elemente der Mathematik 12/13, Grundkurs NRW: Griesel, Heinz und Postel, Helmut; Schroedel Verlag; 2005
  • Pocket Teacher Mathematik: Kammermeyer, Fritz und Zerpies, Roland; Cornelsen Verlag; 2005, 5. Auflage
  • Richtlinien und Lehrpläne für die Sekundarstufe II - Gymnasium/Gesamtschule in NRW: Ministerium für Schule und Weiterbildung, Wissenschaft und Forschung des Landes NRW; Ritterbach Verlag; 1999, 1. Auflage