Vergleich verschiedener Wachstumsarten

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Die Datei zum Pandemie-Vortrag der T3-Regionaltagung in Luckenwalde: Pdf20.gif Pandemie-Vortrag

Diese Seite dient nicht der Einführung der unterschiedlichen Wachstumsarten, sondern ihrem Vergleich untereinander anhand von Beispielaufgaben. Nichtsdestotrotz werden zu Beginn die verschiedenen Wachstumsarten kurz vorgestellt.

Inhaltsverzeichnis

Was ist Wachstum?

Vor dem Einstieg in die Unterrichtsreihe "Vergleich verschiedener Wachstumsarten" sollte mit den SuS der Begriff Wachstum kurz wiederholt bzw. erläutert werden. Im Anschluss lassen sich die unterschiedlichen Wachstumsarten fokussieren.

Definition

Als Wachstum bezeichnet man den Anstieg einer bestimmten Messgröße pro Zeiteinheit.

Wachstumsarten

Lineares Wachstum

Lineares Wachstum wird auch als gleichmäßiges Wachstum bezeichnet. Es wird durch eine lineare Funktion f(x)=m \cdot x+b beschrieben, wobei b der Anfangswert und m die Wachstumsrate ist. Vielfältige Beispiele derartiger Funktionen erhält man (mit dem TI-Nspire) durch den Einsatz zweier Schieberegler.

LinWachs.jpg

Exponentielles Wachstum

Bei exponentiellem Wachstum ist die momentane Wachstumsgeschwindigkeit f'(x) proportional zum Bestand f(x).

\Rightarrow f'(x)=c \cdot f(x)

Die Lösung dieser DGL ist gegeben durch:

f(x)=a \cdot exp(cx)

wobei a=f(0) der Anfangswert und c eine Konstante ist.

Eine von den SuS erstellte Funktion könnte z.B. so aussehen:

ExpWachs.jpg

Beschränktes Wachstum

Beim beschränkte Wachstum ist die momentane Wachstumsgeschwindigkeit f'(x) proportional zum Sättigungsmanko (K-f(x))

\Rightarrow f'(x)=c \cdot (K-f(x))

Die Lösung dieser DGL ist gegeben durch:

f(x)=K-(K-a) \cdot exp(-cx)

wobei K die Kapazität ist die den Wachstum beschränkt, a=f(0) der Anfangswert und c eine Konstante ist. Eine von den SuS mit dem Rechner aufgestellte Funktion könnte dann so aussehen:

BeschWachs.jpg

Logistisches Wachstum

Beim logistischen Wachstum ist die momentane Wachstumsgeschwindigkeit f'(x) proportional zum Produkt aus Bestand f(x) und Sättigungsmanko (K-f(x)).

\Rightarrow f'(x)=c \cdot (f(x) \cdot (K-f(x)))

Die Lösung dieser DGL ist gegeben durch:

f(x)=\frac{aK }{a+(K-a)exp(-cKx)}

wobei K die Kapazität ist die den Wachstum beschränkt, a=f(0) der Anfangswert und c eine Konstante ist.

Von den SuS mit dem Rechner erstellt könnte dies dann so aussehen:

LogiWachs.jpg

Alte Aufgabe zur Schweinegrippe

Neue Aufgabe

Stift.gif   Aufgabe

Wie Ihr sicher alle mitbekommen habt, steigt die Zahl der Schweinegrippe Erkrankten immer mehr an. Gerade in den Sommerferien haben durch den Tourismus die H1N1 Neuinfektionen rasant zugenommen. Das Robert Koch Institut hat uns für diesen Zeitraum die aktuellen Zahlen über Neuerkrankungen in Deutschland zur Verfügung gestellt. In der Tabelle sind die Anzahl der Neuerkrankungen pro Bundesland angegeben, wobei der Zeitraum in Kalenderwochen gegeben ist. Die Tabelle gibt nicht an, wieviele Erkrankte es zu einem Zeitpunkt insgesamt gibt, sondern nur die Neuerkrankten in einer Woche!


Schaut euch nun gemeinsam die vorliegenden Daten an und besprecht in der Gruppe, um was für ein Wachstum es sich euer Meinung nach handeln könnte.


Folgende Fragen können euch hierbei als Leitfaden helfen:

  • Welche Wachstumsarten kennen wir und wie werden diese charakterisiert?
  • Ist der oben angesprochene Faktor Sommerferien in den Zahlen wiederzuerkennen?
  • Wie kann man den Wachstum graphisch darstellen?
  • Inwiefern sind Vergleiche und Prognosen unter den Bundesländern möglich?


Hier nun die angekündigte Tabelle zur Schweinegrippe:

SGF Neuinfizierte.jpg

und als Download für den TI: Datei:Tabelle neuinf.tns

Lösung

Information icon.svg Lösung

Eingeben der Werte und die Funktion erstellen lassen

Die Zahlen werden in c,3 Lists&Spreadsheet übernommen. Hierbei muss darauf geachtet werden, dass die Werte von Woche zu Woche aufaddiert werden um jeweils die Gesamtanzahl zu betrachten.

Sgf tab.jpg

Nun kann mit b,4,1,1 - F eine Regression vom Taschenrechner erstellt werden. Hierbei kann der Schüler seine Vermutungen ausprobieren und z.B. exponentielles oder beschränktes Wachstum plotten lassen.

Sgf points.jpg Sgf reg.jpg

Sgf ns bay.jpg Sgf nieders fit.jpg


Notwendige Voraussetzungen

  • Kennen Funktionen, Ableitungen und deren Bedeutung.
  • Kennen die unterschiedlichen Wachstumsarten.
  • Können mit dem Taschenrechner umgehen, speziell mit Tabellen und deren graphische Auswertung.

Rolle der Technologie

  • Darstellung/ Veranschaulichung/ Visualisierung der gegebenen Werte.
  • Analyse und Auswertung von Graphen mit Hilfe von Funktionen.

Bezug zum Lehrplan

Funktionen sind ein zentrales Mittel zur mathematischen Beschreibung quantitativer Zusammenhänge. Mit ihnen lassen sich Phänomene der Abhängigkeit, der Veränderung, insbesondere des Wachstums erfassen und analysieren.

Ein weitere Aspekt ist das Formulieren und Diskutieren alternativer mathematischer Modellierungen hinsichtlich ihrer Vor- und Nachteile (z. B. Beschreibung von geradlinigen Bewegungen durch lineare Funktionen bzw. durch Vektoren, Modellieren von Wachstumsprozessen durch lineares, polynomiales, exponentielles, begrenztes Wachstum, diskrete und kontinuierliche Modelle für Veränderungsprozesse).

Prozessbezogene Kompetenzen:

Begriffsbilden Argumentieren Problemlösen Modellieren Gesellschaft Werkzeuge
Strukturieren
Vernetzen
Darstellen
Verbalisieren
Bewerten
Begründen
Erkunden
Lösen
Reflektieren
Strukturieren
Mathematisieren
Beurteilen
Erkunden
Berechnen

Inhaltsbezogene Kompetenzbereiche:

Algebra Funktionen
Darstellen
Interpretieren
Anwenden

Didaktischer Kommentar

Die SuS sollen in dieser Unterrichtseinheit ein Verständnis für die unterschiedlichen Wachstumsarten und deren Bedeutung bekommen. Die Einheit mit Präsentation und Reflexion der Ergebnisse soll ca. 2-3 Stunden in Anspruch nehmen.

Durch das aktuelle Thema und den Realitätsbezug sollen die SuS motiviert werden selbständig eine Theorie zum Wachstum aufzustellen und diese anschließend mit Hilfe des Taschenrechners zu kontrollieren bzw. umzusetzen. Der Taschenrechner dient hier zu Veranschaulichung der Daten und deren Analyse.

Grundsätzlich könnte die Arbeitsphase in 3er-5er Gruppen durchgeführt werden, damit die SuS mögliche unterschiedliche Ansätze diskutieren und besprechen können. Bei der Umsetzung selbst glaube ich kann jeder SuS zumindest die ersten Schritte wie Daten in die Tabelle eingeben und diese graphisch darstellen durchführen. Erst bei dem anschließenden analytischen Teil wird es zu Problemen kommen, wo sich die Gruppenmitglieder aber sicherlich untereinander helfen können.

Ein besonderer Ansporn könnte es sein, dass die SuS ihre Ergebnisse und daraus abgeleitete Prognosen später mit den tatsächlichen Fakten vergleichen können.

Da nicht jede Gruppe jede Wachstumsart behandelt, ist es nötig nachdem die SuS ihre Ergebnisse vorgestellt haben, diese noch mal zu sammeln und nicht benutzte Wachstumsarten nachträglich zu diskutieren.

Quellen